Интеграция оператором запчастей

В математике оператор интегрирования по частям — это линейный оператор, используемый для формулирования интегрирования по частям формул ; наиболее интересные примеры интегрирования операторами частей происходят в бесконечномерных условиях и находят применение в стохастическом анализе и его приложениях.

Определение

Пусть E — банахово пространство такое, что E и его непрерывное сопряженное пространство E ^∗ являются сепарабельными пространствами ; пусть µ — борелевская мера на E . Пусть S — любое (фиксированное) подмножество класса функций, определенных на E . Линейный оператор A : S → L ² ( E , µ ; R ) называется оператором интегрирования по частям для µ, если

$\int _{E}\mathrm {D} \varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{E}\varphi (x)(Ah)(x)\,\mathrm {d} \mu (x)$

для каждого С ¹ функция φ : E → R и все h ∈ S , для которых любая часть приведенного выше равенства имеет смысл. В приведенном выше примере D ( x ) обозначает производную Фреше φ φ в точке x .

Примеры

• Рассмотрим абстрактное пространство Винера i : H → E с абстрактной мерой Винера γ . Возьмем S как множество всех C ¹ функции из E в E ^∗ ; И ^∗ можно рассматривать как подпространство E ввиду включений

$E^{*}{\xrightarrow {i^{*}}}H^{*}\cong H{\xrightarrow {i}}E.$

Для h ∈ S определим Ah по формуле

$(Ah)(x)=h(x)x-\mathrm {trace} _{H}\mathrm {D} h(x).$

Этот оператор A представляет собой оператор интегрирования по частям, также известный как оператор дивергенции ; доказательство можно найти у Элворти (1974).

• Классическое винеровское пространство C ₀ непрерывных путей в R ^н начиная с нуля и определяемый на единичном интервале [0, 1], имеет еще один оператор интегрирования по частям. Пусть S — коллекция

$S=\left\{\left.h\colon C_{0}\to L_{0}^{2,1}\right|h{\mbox{ is bounded and non-anticipating}}\right\},$

т. е. все ограниченные , адаптированные процессы с абсолютно непрерывными путями выборки. Пусть φ : C ₀ → R — любой C ¹ функция такая, что и φ , и D φ ограничены. Для h ∈ S и λ ∈ R что из теоремы Гирсанова следует,

$\int _{C_{0}}\varphi (x+\lambda h(x))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{C_{0}}\varphi (x)\exp \left(\lambda \int _{0}^{1}{\dot {h}}_{s}\cdot \mathrm {d} x_{s}-{\frac {\lambda ^{2}}{2}}\int _{0}^{1}|{\dot {h}}_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s\right)\,\mathrm {d} \gamma (x).$

Дифференцирование по λ и установка λ = 0 дает

$\int _{C_{0}}\mathrm {D} \varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{C_{0}}\varphi (x)(Ah)(x)\,\mathrm {d} \gamma (x),$

где ( Ah )( x ) — интеграл Ито

$\int _{0}^{1}{\dot {h}}_{s}\cdot \mathrm {d} x_{s}.$

То же самое соотношение справедливо и для более общего φ по аргументу аппроксимации; таким образом, интеграл Ито представляет собой оператор интегрирования по частям и его можно рассматривать как оператор бесконечномерной дивергенции. Это тот же результат, что и формула интегрирования по частям, полученная из теоремы Кларка-Окона .

Ссылки

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявена . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. x+113. ISBN  0-486-44994-7 . МИСТЕР 2250060 (см. раздел 5.3)
• Элворти, К. Дэвид (1974). «Гауссовы меры на банаховых пространствах и многообразиях». Глобальный анализ и его приложения (Лекции, Международный сем. курс, Международный центр теоретической физики, Триест, 1972), Vol. II . Вена: Междунар. Агентство по атомной энергии. стр. 151–166. МИСТЕР 0464297