Согласованность (справедливость)

Согласованность , также называется однородностью или последовательность , является критерием оценки правил справедливого разделения . Последовательность требует, чтобы результат применения правила справедливости был справедливым не только для всей проблемы, но и для каждой подзадачи. Каждая часть справедливого дележа должна быть справедливой.

Требование согласованности было впервые изучено в контексте распределения . В этом контексте неспособность обеспечить согласованность называется парадоксом новых штатов : когда новый штат вступает в союз и размер палаты увеличивается, чтобы вместить количество мест, выделенных этому новому штату, это затрагивает некоторые другие, несвязанные штаты. Согласованность также актуальна и для решения других проблем справедливого разделения, таких как проблемы банкротства .

Определение

Существует ресурс для выделения, обозначаемый $h$. Например, это может быть целое число, обозначающее количество мест в палате представителей. Ресурс должен быть распределен между некоторыми $n$ агенты . Например, это могут быть федеральные земли или политические партии . Агенты имеют разные права , обозначенные вектором $t_{1},\ldots ,t_{n}$. Например, t _i может быть долей голосов, набранных партией i . Распределение — это вектор $a_{1},\ldots ,a_{n}$ с $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$. Правило распределения – это правило, согласно которому для любого $h$ и вектор прав $t_{1},\ldots ,t_{n}$, возвращает вектор распределения $a_{1},\ldots ,a_{n}$.

Правило распределения называется когерентным (или унифицированным ), если для каждого подмножества S агентов правило активируется на подмножестве ресурса $h_{S}:=\sum _{i\in S}a_{i}$, и на векторе прав $(t_{i})_{i\in S}$, то результатом будет вектор распределения $(a_{i})_{i\in S}$. То есть: при активации правила на подмножестве агентов, с тем подмножеством ресурсов, которые они получили, результат для них один и тот же.

Обработка связей

Как правило, правило распределения может возвращать более одного распределения (в случае ничьей). В этом случае определение следует обновить. Обозначим правило распределения через $M$, и Обозначим через $M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}$ набор векторов распределения, возвращаемых $M$ на ресурсе $h$ и вектор прав $t_{1},\ldots ,t_{n}$. Правило $M$ называется когерентным, если для каждого вектора распределения выполняется следующее $(a_{i})_{i=1}^{n}\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}$ и любое подмножество S агентов:

• $(a_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}$. То есть каждая часть каждого возможного решения большой проблемы является возможным решением подзадачи.
• Для каждого $(b_{i})_{i\in S}\in M{\Big (}\sum _{i\in S}a_{i};(t_{i})_{i\in S}{\Big )}$ и $(c_{i})_{i\notin S}\in M{\Big (}\sum _{i\notin S}a_{i};(t_{i})_{i\notin S}{\Big )}$, у нас есть $[(b_{i})_{i\in S},(c_{i})_{i\notin S}]\in M{\big (}h;(t_{i})_{i=1}^{n}{\big )}$. То есть, если существуют другие (связанные) решения подзадач, то их установка вместо исходных решений подзадач дает другие (связанные) решения большой проблемы.

Согласованность в распределении

В задачах распределения ресурсы, которые необходимо распределить, являются дискретными , например места в парламенте. Следовательно, каждый агент должен получить целочисленное распределение.

Некогерентные методы: новый государственный парадокс

Одним из наиболее интуитивно понятных правил распределения мест в парламенте является метод наибольшего остатка (LRM). Этот метод требует, чтобы вектор прав был нормализован таким образом, чтобы сумма прав равнялась $h$ (общее количество мест, которые необходимо выделить). Затем каждый агент должен получить свое нормализованное право (часто называемое квотой ) округленное в меньшую сторону. Если остались места, их следует распределить между агентами с наибольшим остатком – наибольшей долей права. Удивительно, но это правило не является последовательным. В качестве простого примера предположим, что $h=5$ а нормированные выплаты Алисы, Боба и Ханы составляют 0,4, 1,35, 3,25 соответственно. Тогда уникальное распределение, возвращаемое LRM, равно 1, 1, 3 (начальное распределение равно 0, 1, 3, а дополнительное место достается Алисе, поскольку ее остаток 0,4 является наибольшим). Теперь предположим, что мы активируем то же правило только для Алисы и Боба с их общим распределением 2. Нормализованные права теперь составляют 0,4/1,75 × 2 ≈ 0,45 и 1,35/1,75 × 2 ≈ 1,54. Следовательно, уникальное распределение, возвращаемое LRM, равно 0, 2, а не 1, 1. Это означает, что в общем решении 1, 1, 3 внутреннее деление между Алисой и Бобом не соответствует принципу наибольшего остатка – это не последовательный.

Другой способ взглянуть на эту несогласованность заключается в следующем. Предположим, что размер дома равен 2 и имеются два штата A, B с квотами 0,4, 1,35. Тогда уникальное распределение, заданное LRM, равно 0, 2 . Теперь к союзу присоединяется новое государство C с квотой 3,25. Для размещения этих новых мест выделено 3 места, а размер дома увеличен до 5. Это изменение не должно повлиять на существующие штаты A и B. Фактически, с LRM затрагиваются существующие штаты : штат A получает место, а государство B теряет место. Это называется парадоксом нового государства .

Парадокс нового штата действительно наблюдался в 1907 году, когда Оклахома стала штатом. Ему была предоставлена ​​справедливая доля в 5 мест, и общее количество мест увеличилось на эту цифру – с 386 до 391 члена. Перерасчет распределения повлиял на количество мест из-за других штатов: Нью-Йорк потерял место, а Мэн получил одно.

Согласованные методы

Каждый метод делителя когерентен. Это следует непосредственно из их описания как последовательностей выбора: на каждой итерации следующим агентом, выбирающим элемент, является агент с самым высоким соотношением (право/делитель). Следовательно, относительный порядок приоритетов между агентами одинаков, даже если мы рассматриваем подмножество агентов.

Свойства когерентных методов

Когда согласованность сочетается с другими естественными требованиями, она характеризует структурированный класс методов распределения. Такие характеристики были доказаны разными авторами. Все результаты предполагают, что правила однородны (« достойны») .

• Хайленд доказал, что если последовательное правило достойного распределения сбалансировано и согласовано , то оно совместимо с методом делителей.
• Балинский и Янг доказал, что если последовательное правило достойного распределения является анонимным и сбалансированным , то это метод рангового индекса (суперкласс методов делителей). Верно и обратное: среди анонимных и сбалансированных методов метод является когерентным тогда и только тогда, когда он является индексно-ранговым методом.
• Балинский и Янг доказал, что если последовательное правило достойного распределения анонимно , согласованно и слабо точно , то оно является методом делителей.
• Балинский и Рачев доказал, что если последовательное правило достойного распределения является анонимным , сохраняющим порядок , слабо точным и полным , то оно является методом делителей.
• Паломарес, Пукельсхайм и Рамирес доказал, что:
  • если последовательное правило достойного распределения анонимно и сбалансировано , то оно монотонно по дому ;
  • если, кроме того, оно еще и согласованно , то оно монотонно по соотношению голосов ;
  • если, кроме того, он также строго точен , то он совместим с методом делителя (то есть возвращает подмножество распределений, возвращаемых методом делителя);
  • если к тому же он еще и полный , то это метод делителей .
• Янг доказал, что единственным методом распределения, который является последовательным расширением естественного двухстороннего правила округления до ближайшего целого числа, является метод Вебстера .

Последовательность в проблемах банкротства

В задачах о банкротстве ресурс для распределения является непрерывным , например, сумма денег, оставленная должником. Каждый агент может получить любую долю ресурса. Однако сумма пособий обычно превышает общий оставшийся ресурс.

Наиболее интуитивно понятным правилом решения таких задач является правило пропорциональности , согласно которому каждый агент получает часть ресурса, пропорциональную его правам. Это правило определенно последовательное. Однако это не единственное последовательное правило: талмудическое правило спорной одежды может быть расширено до последовательного правила разделения.

Согласованность в распределении органов

В большинстве стран количество пациентов, ожидающих трансплантации органов , намного превышает количество доступных органов. Таким образом, большинство стран выбирают, кому передать орган, в определенном порядке приоритетов. Удивительно, но некоторые используемые на практике упорядочения приоритетов не являются последовательными. Например, одно правило, использовавшееся UNOS в прошлом, было следующим:

• Каждому пациенту присваивается персональный балл , основанный на некоторых медицинских данных.
• Каждому пациенту назначается бонус , который в 10 раз превышает долю пациентов, дождавшихся меньше его.
• Приоритет агентов определяется по сумме очков + бонус.

Предположим, что личные баллы каких-то четырех пациентов A, B, C, D равны 16, 21, 20, 23. Предположим, что их время ожидания равно A > B > C > D. Соответственно, их бонусы равны 10, 7,5, 5, 2,5. Таким образом, их суммы равны 26, 28,5, 25, 25,5, а порядок приоритета — B > A > D > C. Теперь, после того как B получает орган, личные баллы A, C, D остаются прежними, но бонусы меняются на 10, 6,67, 3,33, поэтому суммы равны 26, 26,67, 26,33, а порядок приоритета C > D. А. > Это инвертирует порядок между тремя агентами.

Чтобы иметь последовательную расстановку приоритетов, приоритет должен определяться только личными качествами. Например, бонус можно рассчитать по количеству месяцев в очереди, а не по доле пациентов.

См. также

• Парадокс распределения