Sklyanin algebra

В математике , особенно в области алгебры , алгебры Склянина — это класс некоммутативной алгебры, названный в честь Евгения Склянина . Этот класс алгебр впервые был изучен при классификации регулярных алгебр Артина-Шельтера. алгебры глобальной размерности 3 в 1980-х годах. Алгебры Склянина можно разделить на два разных типа: невырожденные алгебры Склянина и вырожденные алгебры Склянина, которые имеют очень разные свойства. Необходимость лучше понять невырожденные алгебры Склянина привела к развитию изучения точечных модулей в некоммутативной геометрии .

Формальное определение

Позволять $k$ быть полем с примитивным кубическим корнем из единицы . Позволять ${\mathfrak {D}}$ быть следующим подмножеством проективной плоскости ${\textbf {P}}_{k}^{2}$:

${\mathfrak {D}}=\{[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]\}\sqcup \{[a:b:c]{\big |}a^{3}=b^{3}=c^{3}\}.$

Каждая точка $[a:b:c]\in {\textbf {P}}_{k}^{2}$ порождает (квадратическую трехмерную) алгебру Склянина,

$S_{a,b,c}=k\langle x,y,z\rangle /(f_{1},f_{2},f_{3}),$

где,

$f_{1}=ayz+bzy+cx^{2},\quad f_{2}=azx+bxz+cy^{2},\quad f_{3}=axy+byx+cz^{2}.$

В любое время $[a:b:c]\in {\mathfrak {D}}$ мы звоним $S_{a,b,c}$ вырожденная алгебра Склянина и всякий раз, когда $[a:b:c]\in {\textbf {P}}^{2}\setminus {\mathfrak {D}}$ мы говорим, что алгебра невырождена.

Характеристики

Невырожденный случай разделяет многие свойства с кольцом коммутативного полинома. $k[x,y,z]$, тогда как вырожденный случай почти не обладает ни одним из этих свойств. Обычно невырожденные алгебры Склянина сложнее понять, чем их вырожденные аналоги.

Свойства вырожденных алгебр Склянина

Позволять $S_{\text{deg}}$ — вырожденная алгебра Склянина.

• $S_{\text{deg}}$ содержит ненулевые делители нуля .
• Серия Гильберта ​ $S_{\text{deg}}$ является $H_{S_{\text{deg}}}={\frac {1+t}{1-2t}}$.
• Degenerate Sklyanin algebras have infinite Gelfand–Kirillov dimension .
• $S_{\text{deg}}$ не является ни левым, ни правым нетеровским .
• $S_{\text{deg}}$ является алгеброй Кошуля .
• Вырожденные алгебры Склянина имеют бесконечную глобальную размерность .

Свойства невырожденных алгебр Склянина

Позволять $S$ — невырожденная алгебра Склянина.

• $S$ не содержит ненулевых делителей нуля .
• Гильберта Ряд ​ $S$ является $H_{S}={\frac {1}{(1-t)^{3}}}$.
• Невырожденные алгебры Склянина нётеровы .
• $S$ это Кошул .
• Невырожденные алгебры Склянина являются алгебрами Артина-Шельтера. обычный. Следовательно, они имеют глобальную размерность 3 и размерность Гельфанда–Кириллова 3.
• существует нормальный центральный элемент. Во всякой невырожденной алгебре Склянина

Примеры

Вырожденные алгебры Склянина

Подмножество ${\mathfrak {D}}$ состоит из 12 точек проективной плоскости , которые порождают 12 выражений вырожденных алгебр Склянина. Однако некоторые из них изоморфны , и существует классификация вырожденных алгебр Склянина на два разных случая. Позволять $S_{\text{deg}}=S_{a,b,c}$ — вырожденная алгебра Склянина.

• Если $a=b$ затем $S_{\text{deg}}$ изоморфен ​ ​ $k\langle x,y,z\rangle /(x^{2},y^{2},z^{2})$, представляющая собой алгебру Склянина, соответствующую точке $[0:0:1]\in {\mathfrak {D}}$.
• Если $a\neq b$ затем $S_{\text{deg}}$ изоморфен ​ ​ $k\langle x,y,z\rangle /(xy,yx,zx)$, представляющая собой алгебру Склянина, соответствующую точке $[1:0:0]\in {\mathfrak {D}}$.

Эти два случая представляют собой искажения друг друга по Чжану. и поэтому имеют много общих свойств.

Невырожденные алгебры Склянина

полинома коммутативного Кольцо $k[x,y,z]$ изоморфна Склянина невырожденной алгебре $S_{1,-1,0}=k\langle x,y,z\rangle /(xy-yx,yz-zy,zx-xz)$ и поэтому является примером невырожденной алгебры Склянина.

Точечные модули

Изучение точечных модулей — полезный инструмент, который можно использовать гораздо шире, чем только для алгебр Склянина. Точечные модули — это способ найти проективную геометрию в базовой структуре некоммутативных градуированных колец . Первоначально изучение точечных модулей применялось для демонстрации некоторых свойств невырожденных алгебр Склянина. Например, чтобы найти их ряды Гильберта и определить, что невырожденные алгебры Склянина не содержат делителей нуля .

Невырожденные алгебры Склянина

В любое время $abc\neq 0$ и $\left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3abc}}\right)^{3}\neq 1$ в определении невырожденной алгебры Склянина $S=S_{a,b,c}$, точечные модули $S$ параметризуются эллиптической кривой . Если параметры $a,b,c$ не удовлетворяют этим ограничениям, точечные модули любой невырожденной алгебры Склянина по-прежнему параметризуются замкнутым проективным многообразием на проективной плоскости . Если $S$ — алгебра Склянина, точечные модули которой параметризованы эллиптической кривой , то существует элемент $g\in S$ который уничтожает все точечные модули, т.е. $Mg=0$ для всех точечных модулей $M$ из $S$.

Вырожденные алгебры Склянина

Точечные модули вырожденных алгебр Склянина не параметризуются проективным многообразием .