Квазирегулярная карта

В математической области квазирегулярные анализа отображения — это класс непрерывных отображений между евклидовыми пространствами R. ^н одной и той же размерности или, в более общем смысле, между римановыми многообразиями одной и той же размерности, которые разделяют некоторые основные свойства с голоморфными функциями одной комплексной переменной.

Мотивация

Теория голоморфных (= аналитических ) функций одной комплексной переменной — одна из самых красивых и самых полезных частей всей математики.

Одним из недостатков этой теории является то, что она имеет дело только с отображениями между двумерными пространствами ( римановыми поверхностями ). Теория функцийнескольких комплексных переменных имеет иной характер главным образом потому, что аналитические функции многих переменных не конформны . Конформные отображения могут быть определены между евклидовыми пространствами произвольной размерности, но когда размерность больше 2, этот класс отображений очень мал: он состоит только из преобразований Мёбиуса .Это теорема Жозефа Лиувилля ; ослабление предположений о гладкости не помогает, как доказал Юрий Решетняк .

Это предполагает поиск обобщения свойства конформности, которое дало бы богатый и интересный класс отображений более высокого измерения.

Определение

Дифференцируемое отображение f области D в R ^н в Р ^н называется K выполняется неравенство если во всех точках D -квазирегулярным ,

$\|Df(x)\|^{n}\leq K|J_{f}(x)|$.

Здесь K ≥ 1 — константа, J _f — определитель Якоби , Df — производная, то есть линейное отображение, определяемое матрицей Якоби , и ||·|| – обычная (евклидова) норма матрицы.

Развитие теории таких отображений показало, что неразумно ограничиваться дифференцируемыми отображениями в классическом смысле и что «правильный» класс отображений состоит из непрерывных отображений в пространстве Соболева W ^{1, н}
_loc, чьи частные производные в смысле распределений имеют локально суммируемую n -ю степень и такие, что приведенное выше неравенство выполняется почти всюду . Это формальное определение K -квазирегулярного отображения. Отображение называется квазирегулярным если оно K -квазирегулярно с некоторым K. , Постоянные отображения исключены из класса квазирегулярных отображений.

Характеристики

Фундаментальную теорему о квазирегулярных отображениях доказал Решетняк:

Квазирегулярные отображения открыты и дискретны .

Это означает, что образы открытых множеств открыты и что прообразы точек состоят из изолированных точек. В размерности 2 эти два свойства дают топологическую характеристику класса непостоянных аналитических функций:каждое непрерывное открытое и дискретное отображение плоской области на плоскость может быть заранее составлено с гомеоморфизмом , так что результатом является аналитическая функция. Это теорема Симиона Стоилова .

Теорема Решетняка подразумевает, что все чисто топологические результаты об аналитических функциях (такие как принцип максимума модуля , теорема Руше и т. д.) распространяются на квазирегулярные отображения.

Инъективные квазирегулярные отображения называются квазиконформными . Простой пример неинъективного квазирегулярного отображения дается в цилиндрических координатах в трехмерном пространстве по формуле

$(r,\theta ,z)\mapsto (r,2\theta ,z).$

Это отображение 2-квазирегулярно. Он гладкий везде, кроме оси z . Замечательным фактом является то, что все гладкие квазирегулярные отображения являются локальными гомеоморфизмами. Еще более примечательно то, что каждый квазирегулярный локальный гомеоморфизм R ^н → Р ^н , где n ≥ 3, является гомеоморфизмом (это теорема Владимира Зорича ).

Это объясняет, почему при определении квазирегулярных отображений неразумно ограничиваться гладкими отображениями: все гладкие квазирегулярные отображения R ^н себе квазиконформны.

Теорема Рикмана

Многие теоремы о геометрических свойствах голоморфных функций одной комплексной переменной были распространены на квазирегулярные отображения. Эти расширения обычно весьма нетривиальны.

Возможно, самым известным результатом такого рода является расширение теоремы Пикара , принадлежащее Сеппо Рикману:

K-квазирегулярное отображение R ^н → Р ^н может опустить не более конечного набора .

Когда n = 2, это пропущенное множество может содержать не более одной точки (это простое расширение теоремы Пикара). Но когда n и его мощность можно оценить сверху через n и K. > 2, опущенное множество может содержать более одной точки , В самом деле, любое конечное множествоможно опустить, как показали Дэвид Драсин и Пекка Панкка.

Связь с теорией потенциала

Если f — аналитическая функция, то log | ж | является субгармоническим и гармоническим вдали от нулей f . Соответствующий факт для квазирегулярных отображений состоит в том, что log | ж | удовлетворяет некоторому нелинейному уравнению в частных производных эллиптического типа .Это открытие Решетняка стимулировало развитие теории нелинейного потенциала , которая рассматривает такого рода уравнения.поскольку обычная теория потенциала рассматривает гармонические и субгармонические функции.

См. также

• Юрии Решетняк
• Владимир Зорич