Оптическая метрика

Оптическая метрика была определена немецким физиком-теоретиком Вальтером Гордоном в 1923 году. изучать геометрическую оптику в искривленном пространстве-времени , заполненном движущимися диэлектрическими материалами.

Пусть u _a — нормированная (ковариантная) 4-скорость произвольно движущейся диэлектрической среды, заполняющей пространство-время, и предположим, что электромагнитные свойства жидкости линейны, изотропны, прозрачны, недисперсионны и могут быть суммированы двумя скалярными функциями: диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость µ .

Тогда оптический метрический тензор определяется как

${\hat {g}}_{ab}=g_{ab}\pm \left(1-{\frac {1}{\epsilon \mu }}\right)u_{a}u_{b},$

где $g_{ab}$ — физический метрический тензор . Знак $\pm$ определяется используемым соглашением о сигнатуре метрики : $\pm$ заменяется знаком плюс (+) для сигнатуры метрики (-,+,+,+), а знак минус (-) выбирается для (+,-,-,-).

Обратный (контравариантный) оптический метрический тензор равен

${\hat {g}}^{ab}=g^{ab}\pm (1-\epsilon \mu )u^{a}u^{b},$

где ты ^а – контравариантная 4-скорость движущейся жидкости.Обратите внимание, что традиционный показатель преломления определяется как n ( x ) ≡ √ εμ .

Характеристики

Важным фактом об оптической метрике Гордона является то, что в искривленном пространстве-времени, заполненном диэлектрическим материалом, электромагнитные волны (в приближении геометрической оптики) следуют геодезическим линиям оптической метрики, а не физической метрики. Следовательно, исследование геометрической оптики в искривленном пространстве-времени с диэлектрическим материалом иногда можно упростить, используя оптическую метрику (заметим, что динамика физической системы по-прежнему описывается физической метрикой).Например, оптическая метрика может использоваться для изучения переноса излучения в звездных атмосферах вокруг компактных астрофизических объектов, таких как нейтронные звезды и белые карлики, а также в аккреционных дисках вокруг черных дыр. В космологии оптическая метрика может использоваться для изучения связи расстояния и красного смещения в космологических моделях, в которых межгалактическая или межзвездная среда имеет неисчезающий показатель преломления.

История

После первоначального введения концепции оптической метрики Гордоном в 1923 году математический формализм оптической метрики был дополнительно исследован Юргеном Элерсом в 1967 году. включая подробное обсуждение геометрическо-оптического приближения в искривленном пространстве-времени и уравнения переноса оптических скаляров . Оптическая метрика Гордона была расширена Бин Ченом и Рональдом Кантовски. включить светопоглощение. В результате исходная реальная оптическая метрика была расширена до комплексной . Оптическая метрика была далее обобщена Робертом Томпсоном. от простых изотропных сред, описываемых только скалярными значениями ε и µ, до бианизотропных, магнитоэлектрически связанных сред, находящихся в искривленном фоновом пространстве-времени.

Приложения

Первое применение теории оптической метрики Гордона к космологии было также сделано Бин Ченом и Рональдом Кантовски.

Соотношение расстояние-красное смещение с поправкой на поглощение в однородной и изотропной вселенной Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW) называется Гордона-Чена-Кантовского. формализмом и может быть использован для изучения поглощения межгалактической среды (или космической непрозрачности) во Вселенной.

Например, можно записать физическую метрику пространства-времени Робертсона-Уокера (используя метрическую сигнатуру (-,+,+,+))

$g=-c^{2}dt^{2}+R^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})\right],$

где $k=1,0,-1$ для закрытой, плоской или открытой вселенной, и $R(t)$ это масштабный коэффициент .С другой стороны, оптическая метрика Вселенной Робертсона-Уокера, заполненной веществом с однородной рефракцией покоя, равна

${\hat {g}}=-{\frac {c^{2}}{n^{2}(t)}}dt^{2}+R^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})\right],$

где $n(t)$ показатель преломления, зависящий от космического времени.

Соотношение светимого расстояния и красного смещения в плоской вселенной FLRW с темным поглощением можно записать

$d_{L}(z)=(1+z){\frac {c}{H_{0}}}e^{-\tau /2}\int _{0}^{z}{\frac {dz'}{h(z')}}$

где z — космологическое красное смещение, c — скорость света, H ₀ , — постоянная Хаббла τ — оптическая глубина, вызванная поглощением (или так называемая космическая непрозрачность), а h(z) — безразмерная кривая Хаббла.

Ненулевая космическая непрозрачность сделает стандартные свечи, такие как сверхновые типа Ia, более тусклыми, чем можно было бы ожидать от прозрачной Вселенной. Это можно использовать как альтернативное объяснение наблюдаемого кажущегося ускорения космического расширения.

Аналоговая гравитация

В аналоговых моделях гравитации «форма Гордона» выражает метрику искривленного пространства-времени как сумму плоской метрики (Минковского) и 4-скоростного поля u:

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+{\big (}1-n^{-2}{\big )}u_{\mu }u_{\nu },$

где n — показатель преломления. Это аналог формы Керра-Шилда, в которой вместо времениподобного используется нулевое векторное поле. Остается открытым вопрос, какое пространство-время можно выразить таким образом. Задача состоит в том, чтобы выбрать системы координат, для которых справедливо указанное выше соотношение. Пространство-время Шварцшильда , описывающее невращающуюся черную дыру, можно выразить таким образом. Был достигнут прогресс в области пространства-времени Керра , описывающего вращающуюся черную дыру, но этот случай остается неуловимым.

Электродинамика в средах, находящихся в искривленном пространстве-времени

Диэлектрическая проницаемость ε и магнитная проницаемость μ обычно понимаются в рамках 3-векторного представления электродинамики через соотношения ${\textstyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}}$ и ${\textstyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}},}$ где ${\textstyle {\vec {E}},{\vec {B}},{\vec {D}},}$ и ${\textstyle {\vec {H}}}$ являются соответственно электрическим полем , плотностью магнитного потока , электрическим смещением и напряженностью магнитного поля , и где ε и μ могут быть матрицами. С другой стороны, общая теория относительности формулируется на языке 4-мерных тензоров. Чтобы получить тензорную оптическую метрику, свойства среды, такие как диэлектрическая проницаемость, проницаемость и магнитоэлектрические связи, должны сначала быть преобразованы в 4-мерные ковариантные тензоры, а электродинамика распространения света через такие среды, находящиеся в фоновом пространстве-времени, также должна быть выражена в виде совместимый 4-мерный способ. Здесь электродинамические поля будут описываться в терминах дифференциальных форм , внешней алгебры и внешней производной . Подобно тому, как 3-векторы обозначаются стрелкой, как в ${\textstyle {\vec {E}},}$ 4-мерные тензоры будут обозначаться жирными символами, например ${\boldsymbol {E}}.$ Музыкальные изоморфизмы будут использоваться для обозначения повышения и понижения индексов с помощью метрики, а точечная запись используется для обозначения сокращения соседних индексов, например ${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {F}}=u^{\alpha }F_{\alpha \beta }.$ Скорость света установлена ​​на $c=1,$ а вакуумная проницаемость и диэлектрическая проницаемость также установлены равными 1.

Фундаментальной величиной электродинамики является потенциальная 1-форма. ${\boldsymbol {A}},$ откуда тензор напряженности поля представляет собой 2-форму ${\textstyle {\boldsymbol {F}}=d{\boldsymbol {A}}.}$ Из нильпотентности внешней производной сразу следуют однородные уравнения Максвелла

$d{\boldsymbol {F}}=0,$

а вариант действия Янга-Миллса

$S=\int {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {F}}\wedge \star {\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {A}}\wedge {\boldsymbol {J}}$

относительно ${\boldsymbol {A}}$ дает неоднородные уравнения Максвелла

$d\star {\mathbf {F} }={\mathbf {J} }$

где ${\boldsymbol {J}}$ – 3-форма зарядового тока. В диэлектрических средах существуют заряды, связанные в нейтральных в остальном атомах. Эти заряды не могут свободно перемещаться, но искажения в распределении заряда внутри атома могут привести к образованию дипольных (или, в более общем смысле, мультипольных) моментов, с которыми связано дипольное поле. Разделение связанных и свободных зарядов в тройной форме зарядового тока ${\textstyle {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{bound}+{\boldsymbol {J}}_{free},}$ связанный источник связан с частным решением, называемым полем поляризации. ${\textstyle {\boldsymbol {P}}}$ удовлетворяющий

$d\star {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {J}}_{bound}.$

Тогда можно написать

$d{\boldsymbol {G}}=d\star ({\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {P}})={\boldsymbol {J}}_{free}$

с определяющим уравнением

${\boldsymbol {G}}=\star ({\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {P}}).$

В линейных средах дипольный момент индуцируется падающим свободным полем таким образом, что поле поляризации линейно пропорционально свободному полю: ${\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {\zeta }}({\boldsymbol {F}})$ (в индексах это $P_{\alpha \beta }=\zeta _{\alpha \beta }{}^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$). Тогда материальное уравнение можно записать

${\boldsymbol {G}}=\star {\boldsymbol {\chi }}{\boldsymbol {F}}.$

${\textstyle {\binom {2}{2}}}$ тензор ${\boldsymbol {\chi }}=\chi _{\alpha \beta }{}^{\mu \nu }$ антисимметричен по каждой паре индексов, и вакуум рассматривается как тривиальный диэлектрик такой, что ${\textstyle {\boldsymbol {\chi }}_{vac}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}.}$ Это означает, что распределение диэлектрического материала в искривленном фоновом пространстве-времени можно полностью описать функционально, задав ${\textstyle \chi }$ и можно описать плавные переходы от вакуума к среде.Электрические и магнитные поля ${\textstyle {\vec {E}},{\vec {B}},{\vec {D}},}$ и ${\textstyle {\vec {H}},}$ как они обычно понимаются в трехвекторном представлении, не имеют независимого существования. Это просто разные части 2-форм. ${\textstyle {\boldsymbol {F}}}$ и ${\boldsymbol {G}},$ как измерено относительно выбранного наблюдателя. Позволять ${\boldsymbol {u}}$ — контравариантный 4-вектор скорости наблюдателя. Тогда можно определить ковариантные 1-формы

${\boldsymbol {E}}={\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {F}},\quad {\boldsymbol {B}}=-{\boldsymbol {u}}\cdot \star {\boldsymbol {F}},$

$\mathbf {D} =-\mathbf {u} \cdot \star \mathbf {G} ,\quad \mathbf {H} =-\mathbf {u} \cdot \mathbf {G} .$

Соответствующие 3-векторы получаются в пространстве-времени Минковского путем взятия чисто пространственных (относительно наблюдателя) частей контравариантных версий этих 1-форм. Эти определения полей 1-формы можно использовать для повторного выражения материального уравнения 2-формы в набор двух уравнений 1-формы.

${\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\varepsilon }}^{c}\cdot {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c}\cdot {\boldsymbol {B}},$

${\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c}\cdot \mathbf {E} .$

где ${\textstyle {\binom {1}{1}}}$ тензоры ${\boldsymbol {\varepsilon }}^{c},{\boldsymbol {\xi }},{\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c},$ и ${\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c}$ являются

${\boldsymbol {\varepsilon }}^{c}=-2({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {u}}^{\flat }),$

${\boldsymbol {\xi }}=2({\boldsymbol {u}}\cdot \star {\boldsymbol {\chi }}\star \cdot {\boldsymbol {u}}^{\flat }),$

${\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c}=-2({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\chi }}\star \cdot {\boldsymbol {u}}^{\flat }),$

${\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c}=2({\boldsymbol {u}}\cdot \star {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {u}}^{\flat }).$

Обратите внимание, что каждый из этих тензоров ортогонален или трансверсален ${\boldsymbol {u}},$ это означает, что ${\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\alpha }}={\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {u}}^{\flat }=0$ для каждого ${\boldsymbol {\alpha }}\in \{{\boldsymbol {\varepsilon }}^{c},{\boldsymbol {\xi }},{\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c},{\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c}\}$, что видно из антисимметрии ${\boldsymbol {\chi }}$ по каждой паре индексов. Поскольку каждое из определенных выше полей 1-формы также трансверсально к ${\boldsymbol {u}},$ мы можем заключить, что каждый ${\boldsymbol {\alpha }}$ является автоморфизмом подпространства кокасательного пространства, определяемого ортогональностью относительно наблюдателя. Другими словами, все действует в чисто пространственном трехмерном пространстве наблюдателя. По этим параметрам ${\boldsymbol {\chi }}$ оказывается

${\boldsymbol {\chi }}={\frac {1}{2}}\left[-({\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {\varepsilon }}^{c}\wedge {\boldsymbol {u}})+\star ({\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {\xi }}\wedge {\boldsymbol {u}})-\star ({\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c}\wedge {\boldsymbol {u}})+({\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c}\wedge {\boldsymbol {u}})\star )\right].$

Хотя показанный выше набор определяющих уравнений 1-формы наиболее естественно следует из ковариантного материального уравнения 2-формы ${\boldsymbol {G}}=\star {\boldsymbol {\chi }}{\boldsymbol {F}}$, это не единственная возможность. Действительно, традиционная трехвекторная формулировка материальных уравнений обычно связывает ${\vec {B}}$ и ${\vec {H}}$ к ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$. Поэтому было бы желательно перегруппировать предыдущий набор отношений в

${\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {\gamma }}_{h}\cdot {\boldsymbol {H}},$

${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {\gamma }}_{e}\cdot {\boldsymbol {E}},$

где ${\boldsymbol {\varepsilon }},{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\gamma }}_{h},{\boldsymbol {\gamma }}_{e}$ связаны с ${\boldsymbol {\varepsilon }}^{c},{\boldsymbol {\xi }},{\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c},{\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c}$ к

${\boldsymbol {\mu }}={\bar {\boldsymbol {\xi }}},$

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}^{c}-{\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c}\cdot {\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c},$

${\boldsymbol {\gamma }}_{e}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {\gamma }}_{e}^{c},$

${\boldsymbol {\gamma }}_{h}={\boldsymbol {\gamma }}_{b}^{c}\cdot {\boldsymbol {\mu }}.$

Четырехмерной инверсии этих тензоров не существует, но столбчатое обозначение ${\bar {\boldsymbol {\xi }}}$ обозначает обратное, определенное относительно подпространства, ортогонального к ${\boldsymbol {u}},$ которая существует и является допустимой операцией, поскольку выше было отмечено, что ${\boldsymbol {\xi }}$ является автоморфизмом этого подпространства. В пространстве-времени Минковского пространственно-пространственная часть (относительно наблюдателя) ${\boldsymbol {u}}$) каждого из этих тензоров эквивалентен традиционному $3\times 3$ материальные матрицы 3-векторной электродинамики. С точки зрения этого альтернативного набора конститутивных тензоров, ${\boldsymbol {\chi }}$ оказывается

${\boldsymbol {\chi }}={\frac {1}{2}}\left[-({\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {\varepsilon }}\wedge {\boldsymbol {u}})+[\star ({\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {h}})+{\boldsymbol {u}}^{\flat }\wedge {\boldsymbol {\gamma }}_{h}]\cdot {\bar {\boldsymbol {\mu }}}\cdot [({\boldsymbol {h}}\wedge {\boldsymbol {u}}\star +{\boldsymbol {\gamma }}_{e}\wedge {\boldsymbol {u}}]\right].$

Здесь,

${\boldsymbol {h}}={\boldsymbol {\delta }}-{\boldsymbol {u}}^{\flat }\otimes {\boldsymbol {u}}$

— оператор проектирования, который уничтожает любые компоненты тензора, параллельные ${\boldsymbol {u}}.$ С ${\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {\delta }}={\boldsymbol {h}},$ затем ${\boldsymbol {h}}$ также служит дельтой Кронекера в подпространстве, ортогональном ${\boldsymbol {u}}.$ В вакууме, ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {h}},{\boldsymbol {\gamma }}_{e}={\boldsymbol {\gamma }}_{h}=0.$

Геометрическая оптика и оптическая метрика

Для света, распространяющегося через линейные диэлектрические среды, неоднородное уравнение Максьюэлла в отсутствие свободных источников представляет собой волновое уравнение для ${\boldsymbol {A}}$ в калибровке Лоренца , $\delta {\boldsymbol {A}}=0$ (здесь $\delta$ — кодифференциал ), заданный формулой

$\star d\star {\boldsymbol {\chi }}d\mathbf {A} =\delta {\boldsymbol {\chi }}d\mathbf {A} =0.$

Предполагается, что аппроксимация плоских волновых решений типа JWKB такая, что

${\boldsymbol {A}}={\hat {\boldsymbol {A}}}e^{-(i\lambda )^{-1}S}$

где амплитуда ${\hat {\boldsymbol {A}}}$ предполагается медленно меняющейся по сравнению с фазовой функцией $S.$ Подключая это приближенное решение к волновому уравнению и сохраняя в пределе только члены старшего порядка $\lambda \to 0$ приводит к

$-({\boldsymbol {k}}^{\sharp }\cdot {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {k}})\cdot {\hat {\boldsymbol {A}}}=0$

где ${\boldsymbol {k}}=dS.$ Для существования решения этого уравнения необходимо

$\det \left({\boldsymbol {k}}^{\sharp }\cdot {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {k}}\right)=0.$

Фактически это определяющее условие выполняется тождественно, поскольку антисимметрия во второй паре индексов на ${\boldsymbol {\chi }}$ показывает, что ${\hat {\boldsymbol {A}}}\propto {\boldsymbol {k}}$ это уже тривиальное решение. Следовательно, любые нетривиальные решения должны находиться в трехмерном подпространстве, ортогональном ${\boldsymbol {k}},$ итак, тензор ${\boldsymbol {k}}^{\sharp }\cdot {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {k}}$ фактически является только трехмерным. Таким образом, определяющее условие недостаточно для предоставления какой-либо информации. Однако классический сопряжение матрицы $M$ связана со своим определителем соотношением $M.\mathrm {adj} (M)=\det(M)I$. Поскольку в этом случае $\det(M)=0$ но $M$ произвольно, то получаем вторичное условие

$\mathrm {adj} \left({\boldsymbol {k}}^{\sharp }\cdot {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {k}}\right)=0.$

Обратите внимание, что сопряжение матрицы по-прежнему остается матрицей, поэтому условие скалярного определителя теперь заменено условием матрицы. Казалось бы, это значительно усложняет проблему, но было показано, что что этот адъюгат имеет вид

$\mathrm {adj} \left({\boldsymbol {k}}^{\sharp }\cdot {\boldsymbol {\chi }}\cdot {\boldsymbol {k}}\right)=P({\boldsymbol {k}}\otimes {\boldsymbol {k}}^{\sharp }),$

где $P$ является полиномом четвертой степени по ${\boldsymbol {k}}.$ Таким образом, условие исчезновения сопряженной матрицы эквивалентно скалярному условию

$P=0.$

Цель теперь состоит в том, чтобы продемонстрировать, что полином $P$ принимает форму

$P\propto \left[{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{+}^{-1}({\boldsymbol {k}}\otimes {\boldsymbol {k}})\right]\left[{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{-}^{-1}({\boldsymbol {k}}\otimes {\boldsymbol {k}})\right].$

Тогда условие $P=0$ удовлетворяется любой из ${\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{\pm }^{-1}({\boldsymbol {k}}\otimes {\boldsymbol {k}})=0$ (записывается с индексами, ${\tfrac {1}{2}}{\mathfrak {g}}_{\pm }^{\mu \nu }k_{\mu }k_{\nu }=0$). На данный момент было показано, что волновые решения уравнений Максвелла в лучевом пределе должны удовлетворять одному из этих двух полиномиальных условий. Тензоры ${\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{\pm }^{-1}$ поэтому определите структуры светового конуса. Тот факт, что их два, подразумевает структуру двойного светового конуса - по одному для каждого из двух состояний поляризации, т.е. двойное лучепреломление. В вакууме легко обнаружить, что ${\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{+}^{-1}={\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{-}^{-1}={\boldsymbol {g}}^{-1}$ вырождается в метрику пространства-времени. Поскольку ${\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{\pm }^{-1}$ определять световые конусы в носителях таким образом, чтобы ${\boldsymbol {g}}^{-1}$ так же, как и для вакуума, их называют оптическими метриками. Однако, возможно, более уместно принять точку зрения, что метрика пространства-времени одновременно служит оптической метрикой в ​​вакууме, что не так уж и удивительно, учитывая, что метрика пространства-времени — единственная доступная структура в вакууме.До сих пор не было сделано никаких предположений относительно формы ${\boldsymbol {\varepsilon }},{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\gamma }}_{e},$ или ${\boldsymbol {\gamma }}_{h},$ таким образом, в настоящее время существует 36 свободно определяемых параметров. Для определения оптической метрики Томпсон накладывает условия, ${\boldsymbol {\gamma }}_{e}$ и ${\boldsymbol {\gamma }}_{h}$ антисимметричны относительно ${\boldsymbol {g}}$ (т.е. антисимметричны, когда индексы на ${\boldsymbol {\gamma }}_{e}$ и ${\boldsymbol {\gamma }}_{h}$ оба либо вверху, либо оба внизу). Условие антисимметрии позволяет записать их в виде

${\boldsymbol {\gamma }}_{e}=({\boldsymbol {h}}\wedge {\boldsymbol {u}})\star \cdot {\boldsymbol {\gamma }}_{e1},$

${\boldsymbol {\gamma }}_{h}=({\boldsymbol {\gamma }}_{h1})^{\sharp }\cdot \star ({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {h}}).$

При таком ограничении обнаруживается, что $P$ является биквадратичным по ${\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {u}}$ и может быть учтено

$P=H_{+}H_{-}$

где

$H_{\pm }={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {u}}.\mathrm {adj} \left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right).{\boldsymbol {u}}^{\flat })\left[(u^{\mu }u^{\nu }-{\frac {1}{2}}W_{\alpha }{}^{\alpha \mu \nu })k_{\mu }k_{\nu }\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}W_{\alpha }{}^{\beta \mu \nu }W_{\beta }{}^{\alpha \sigma \rho }-{\frac {1}{4}}W_{\alpha }{}^{\alpha \mu \nu }W_{\beta }{}^{\beta \sigma \rho }\right)k_{\mu }k_{\nu }k_{\sigma }k_{\rho }}}\right]$

с

$W_{\alpha }{}^{\kappa \mu \nu }=u^{\theta }u_{\pi }\delta _{\theta \psi \beta \varphi }^{\pi \lambda \kappa \rho }g_{\lambda \tau }{\bar {\varepsilon }}_{\sigma }{}^{\tau }g^{\sigma \psi }{\bar {\mu }}_{\alpha }{}^{\beta }g^{\eta \varphi }(\delta _{\rho }^{\mu }+(\gamma _{e1})_{\rho }{}u^{\mu })(\delta _{\eta }^{\nu }+(\gamma _{h1})_{\eta }u^{\nu }).$

Наконец, оптические метрики соответствуют

${\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{\pm }^{\mu \nu }={\frac {\partial ^{2}H_{\pm }}{\partial k_{\mu }\partial k_{\nu }}}.$

Наличие квадратного корня в $H_{\pm },$ и, следовательно, в ${\boldsymbol {\mathfrak {g}}}_{\pm }^{-1},$ показывает, что двулучепреломляющие оптические метрики имеют псевдофинслеровский тип. Ключевой особенностью здесь является то, что оптическая метрика является не только функцией положения, но и сохраняет зависимость от ${\boldsymbol {k}}$. Эти псевдофинслеровы оптические метрики вырождаются в общую, недвулучепреломляющую, псевдориманову оптическую метрику для сред, которые подчиняются обобщению условий Поста в искривленном пространстве-времени.