Квазивидовая модель

Модель квазивидов представляет собой описание процесса дарвиновской эволюции определенных самовоспроизводящихся объектов в рамках физической химии . Квазивид — это большая группа или « облако » родственных генотипов , существующих в среде с высокой скоростью мутаций (в стационарном состоянии). ^[1]), где ожидается, что большая часть потомков будет содержать одну или несколько мутаций относительно родителя. Это контрастирует с видом , который с эволюционной точки зрения представляет собой более или менее стабильный единственный генотип, большая часть потомства которого будет генетически точными копиями. ^[2]

Он полезен главным образом для обеспечения качественного понимания эволюционных процессов самовоспроизводящихся макромолекул, таких как РНК или ДНК , или простых бесполых организмов, таких как бактерии или вирусы (см. также вирусные квазивиды ), а также полезен для объяснения некоторых ранних стадий происхождение жизни . Количественные прогнозы, основанные на этой модели, сложны, поскольку параметры, которые служат ее входными данными, невозможно получить из реальных биологических систем. Квазивидовую модель предложили Манфред Эйген и Питер Шустер. ^[3] на основе первоначальной работы Эйгена. ^[4]

Упрощенное объяснение

Когда биологи-эволюционисты описывают конкуренцию между видами, они обычно предполагают, что каждый вид представляет собой отдельный генотип, потомки которого в большинстве случаев являются точными копиями. (Говорят, что такие генотипы обладают высокой репродуктивной точностью .) С точки зрения эволюции нас интересует поведение и приспособленность этого вида или генотипа с течением времени. ^[5]

Однако некоторые организмы или генотипы могут существовать в условиях низкой точности, когда большинство потомков содержат одну или несколько мутаций. Группа таких генотипов постоянно меняется, поэтому дискуссии о том, какой из генотипов является наиболее подходящим, становятся бессмысленными. Важно отметить, что если многие близкородственные генотипы находятся всего в одной мутации друг от друга, то генотипы в группе могут мутировать друг в друга взад и вперед. Например, при одной мутации на поколение потомок последовательности AGGT может быть AGTT, а внук снова может быть AGGT. Таким образом, мы можем представить себе « облако » родственных генотипов, которое быстро мутирует, причем последовательности перемещаются туда и обратно между разными точками облака. Хотя правильное определение является математическим, это облако, грубо говоря, является квазивидом. ^{[ нужна ссылка ]}^[6]

Квазивидовое поведение существует для большого числа особей, существующих в определенном (высоком) диапазоне скоростей мутаций. ^[7]

Квазивиды, приспособленность и эволюционный отбор

Хотя воспроизводство вида может быть в основном точным, периодические мутации приводят к появлению одного или нескольких конкурирующих генотипов. Если мутация приводит к большей репликации и выживаемости, мутантный генотип может превзойти родительский генотип и доминировать над видом. отдельного генотипа Таким образом, отдельные генотипы (или виды) можно рассматривать как единицы, над которыми действует отбор, и биологи часто говорят о приспособленности . ^[8]

Однако у квазивидов мутации распространены повсеместно, и поэтому приспособленность отдельного генотипа становится бессмысленной: если одна конкретная мутация приводит к увеличению репродуктивного успеха, она не может иметь большого значения, потому что потомство этого генотипа вряд ли будет точными копиями с те же свойства. Вместо этого важна связность облака . Например, последовательность AGGT имеет 12 (3+3+3+3) возможных одноточечных мутантов AGGA, AGGG и так далее. Если 10 из этих мутантов представляют собой жизнеспособные генотипы, которые могут воспроизводиться (и некоторые из их потомков или внуков могут снова мутировать обратно в AGGT), мы будем считать эту последовательность хорошо связанным узлом в облаке. Если вместо этого только два из этих мутантов являются жизнеспособными, а остальные являются летальными мутациями, то эта последовательность плохо связана, и большинство ее потомков не будут воспроизводиться. Аналогом приспособленности квазивида является тенденция ближайших родственников внутри облака иметь хорошие связи, а это означает, что большее количество мутантных потомков будет жизнеспособным и даст начало дальнейшим потомкам внутри облака. ^[9]

Когда приспособленность одного генотипа становится бессмысленной из-за высокой скорости мутаций, естественной единицей отбора становится облако в целом или квазивид.

Применение к биологическим исследованиям

Квазивиды представляют собой эволюцию вирусов с высокой скоростью мутаций, таких как ВИЧ , а иногда и отдельных генов или молекул в геномах других организмов. ^[10]^[11]^[12] Модели квазивидов также были предложены Хосе Фонтанари и Эммануэлем Дэвидом Танненбаумом для моделирования эволюции полового размножения. ^[13] также были показаны в композиционных репликаторах (на основе Гарда модели абиогенеза Квазивиды ). ^[14] и было также предложено применимо для описания репликации клеток, которая, среди прочего, требует поддержания и эволюции внутреннего состава родительской клетки и почки.

Формальный фон

Модель основана на четырех предположениях: ^[15]

Самореплицирующиеся объекты можно представить как последовательности, состоящие из небольшого количества строительных блоков — например, последовательности РНК, состоящие из четырех оснований аденина , гуанина , цитозина и урацила .
Новые последовательности попадают в систему исключительно в результате процесса копирования, правильного или ошибочного, других уже присутствующих последовательностей.
Субстраты или сырье, необходимые для непрерывного репликации, всегда присутствуют в достаточном количестве. Лишние последовательности смываются уходящим потоком.
Последовательности могут распадаться на свои строительные блоки. Вероятность распада не зависит от возраста последовательностей; старые последовательности имеют такую же вероятность распада, как и молодые последовательности.

В квазивидовой модели мутации происходят из-за ошибок, допущенных в процессе копирования уже существующих последовательностей. Далее, отбор возникает потому, что разные типы последовательностей имеют тенденцию реплицироваться с разной скоростью, что приводит к подавлению последовательностей, которые реплицируются медленнее, в пользу последовательностей, которые реплицируются быстрее. Однако модель квазивидов не предсказывает окончательного вымирания всех, кроме самой быстрореплицирующейся последовательности. Хотя последовательности, которые реплицируются медленнее, не могут поддерживать свой уровень численности сами по себе, они постоянно пополняются, поскольку последовательности, которые реплицируются быстрее, мутируют в них. В состоянии равновесия удаление медленно реплицирующихся последовательностей из-за распада или оттока уравновешивается пополнением, так что даже относительно медленно реплицирующиеся последовательности могут оставаться в ограниченном количестве. ^[16]

Из-за продолжающегося производства мутантных последовательностей отбор действует не на отдельные последовательности, а на мутационные «облака» близкородственных последовательностей, называемые квазивидами . Другими словами, эволюционный успех конкретной последовательности зависит не только от ее собственной скорости репликации, но также от скорости репликации мутантных последовательностей, которые она производит, и от скорости репликации последовательностей, мутантом которых она является. Как следствие, последовательность, которая реплицируется быстрее всего, может даже полностью исчезнуть в равновесии отбора и мутации в пользу более медленно реплицирующихся последовательностей, которые являются частью квазивида с более высокой средней скоростью роста. ^[17] Мутационные облака, предсказанные квазивидовой моделью, наблюдались у РНК-вирусов и при репликации РНК in vitro . ^[18]^[19]

Скорость мутаций и общая приспособленность молекулярных последовательностей и их соседей имеют решающее значение для формирования квазивида. Если частота мутаций равна нулю, мутационный обмен отсутствует, и каждая последовательность представляет собой отдельный вид. Если частота мутаций слишком высока и превышает так называемый порог ошибки , квазивиды разрушатся и рассредоточятся по всему диапазону доступных последовательностей. ^[20]

Математическое описание

Простая математическая модель квазивида выглядит следующим образом: ^[21] пусть будет $S$ возможные последовательности и пусть существуют $n_{i}$ организмы с последовательностью i . Допустим, каждый из этих организмов бесполым путем дает начало $A_{i}$ потомство. Некоторые из них являются дубликатами своего родителя и имеют последовательность i , но некоторые являются мутантами и имеют другую последовательность. Пусть скорость мутации $q_{ij}$ соответствуют вероятности того, что родитель типа j произведет организм типа i . Тогда ожидаемая доля потомков, рожденных от организмов j- типа, которые будут i- типа, равна организмами $w_{ij}=A_{j}q_{ij}$ ,

где $\sum _{i}q_{ij}=1$ .

Тогда общее количество организмов i -типа после первого раунда размножения определяется как $n'_{i}$ , является

n'_{i}=\sum _{j}w_{ij}n_{j}

Иногда термин уровня смертности $D_{i}$ включен так, что:

w_{ij}=A_{j}q_{ij}-D_{i}\delta _{ij}

где $\delta _{ij}$ равен 1, когда i=j, и равен нулю в противном случае. Обратите внимание, что n-е поколение можно найти, просто взяв n-ю степень W и подставив ее вместо W в приведенной выше формуле.

Это всего лишь система линейных уравнений . Обычный способ решения такой системы — диагонализировать матрицу W. сначала Его диагональные элементы будут собственными значениями, определенным линейным комбинациям определенных подмножеств последовательностей, которые будут собственными векторами матрицы W. соответствующими Эти подмножества последовательностей являются квазивидами. Если предположить, что матрица W является примитивной матрицей ( неприводимой и апериодической ), то через очень много поколений будет преобладать только собственный вектор с наибольшим собственным значением, и именно этот квазивид в конечном итоге будет доминировать. Компоненты этого собственного вектора определяют относительную численность каждой последовательности в равновесии. ^[22]

Примечание о примитивных матрицах

W означает, что для некоторого целого числа Примитивность $n>0$ , что $n^{th}$ степень W > 0, т.е. все записи положительны. Если W примитивен, то каждый тип может посредством последовательности мутаций (т.е. степеней W ) мутировать во все остальные типы после некоторого количества поколений. W не является примитивным, если он периодичен, когда популяция может постоянно циклически проходить через различные непересекающиеся множества составов, или если он редуцируем, когда развивающийся доминирующий вид (или квазивид) может зависеть от исходной популяции, как в случае с простой пример, приведенный ниже. ^{[ нужна ссылка ]}

Альтернативные составы

Формулы квазивидов могут быть выражены в виде набора линейных дифференциальных уравнений. Если мы рассмотрим разницу между новым состоянием $n'_{i}$ и старое государство $n_{i}$ быть изменением состояния за один момент времени, то мы можем утверждать, что производная по времени $n_{i}$ определяется этой разницей, ${\dot {n}}_{i}=n'_{i}-n_{i}$ мы можем написать:

{\dot {n}}_{i}=\sum _{j}w_{ij}n_{j}-n_{i}

Уравнения квазивидов обычно выражаются через концентрации $x_{i}$ где

x_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {n_{i}}{\sum _{j}n_{j}}}

.

x'_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {n'_{i}}{\sum _{j}n'_{j}}}

.

Тогда приведенные выше уравнения для квазивидов переходят в дискретную версию:

x'_{i}={\frac {\sum _{j}w_{ij}x_{j}}{\sum _{ij}w_{ij}x_{j}}}

или, для непрерывной версии:

{\dot {x}}_{i}=\sum _{j}w_{ij}x_{j}-x_{i}\sum _{ij}w_{ij}x_{j}.

Простой пример

Концепцию квазивида можно проиллюстрировать простой системой, состоящей из 4 последовательностей. Последовательности [0,0], [0,1], [1,0] и [1,1] имеют номера 1, 2, 3 и 4 соответственно. Допустим, последовательность [0,0] никогда не мутирует и всегда производит одного потомка. Допустим, остальные три последовательности в среднем дают $1-k$ копии самих себя и $k$ каждого из двух других типов, где $0\leq k\leq 1$ . Матрица W тогда:

\mathbf {W} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1-k&k&k\\0&k&1-k&k\\0&k&k&1-k\end{bmatrix}}

.

Диагонализованная матрица:

\mathbf {W'} ={\begin{bmatrix}1-2k&0&0&0\\0&1-2k&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1+k\end{bmatrix}}

.

И собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям:

собственное значение	собственный вектор
1-2 тыс.	[0,-1,0,1]
1-2 тыс.	[0,-1,1,0]
1	[1,0,0,0]
1+к	[0,1,1,1]

Только собственное значение $1+k$ больше, чем единица. Для n-го поколения соответствующее собственное значение будет $(1+k)^{n}$ и так будет безгранично увеличиваться с течением времени. Это собственное значение соответствует собственному вектору [0,1,1,1], который представляет квазивиды, состоящие из последовательностей 2, 3 и 4, которые будут присутствовать в равных количествах через очень долгое время. Поскольку вся численность популяции должна быть положительной, первые два квазивида не являются законными. Третий квазивид состоит только из немутирующей последовательности 1. Видно, что хотя последовательность 1 является наиболее подходящей в том смысле, что она воспроизводит больше себя, чем любая другая последовательность, квазивиды, состоящие из трех других последовательностей, в конечном итоге будут доминировать ( предполагая, что исходная популяция не была однородной (тип последовательности 1). ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки

^ Эйген М., Маккаскилл Дж., Шустер П. (1989). Молекулярные квазивиды . Том. 92. John Wiley & Sons, Inc., стр. 6881–6891. дои : 10.1021/j100335a010 . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-84A7-C . ISBN 9780471622192 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
^ Бибрихер, К.К., Эйген, М. (2006). «Что такое квазивид» . В Эстебане Доминго (ред.). Квазивиды: концепция и значение для вирусологии . Спрингер. п. 1 . ISBN 978-3-540-26395-1 .
^ Эйген М., Шустер П. (1979). Гиперцикл: принцип естественной самоорганизации . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09293-5 .
^ Эйген М. (октябрь 1971 г.). «Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул». Die Naturwissenschaften . 58 (10): 465–523. Бибкод : 1971NW.....58..465E . дои : 10.1007/BF00623322 . ПМИД 4942363 . S2CID 38296619 .
^ Чарльзуорт Б., Чарльзуорт Д. (ноябрь 2009 г.). «Дарвин и генетика» . Генетика . 183 (3): 757–66. дои : 10.1534/genetics.109.109991 . ПМЦ 2778973 . ПМИД 19933231 .
^ Эйген М (2013). От странной простоты к сложному знакомству . Издательство Оксфордского университета. стр. 404–406. ISBN 978-0-19-857021-9 .
^ Мартинес, М.А., Мартус Г., Кэпел Э., Парера М., Франко С., Невот М. (2012)Квазивидовая динамика РНК-вирусов. В: Вирусы: основные агенты жизни, Springer, Dordrecht, стр. 21–42.
^ «Эволюция и древо жизни | Биология | Наука» . Ханская академия . Проверено 20 февраля 2019 г.
^ Хейлиген Ф (2023). «Сложность и эволюция» (PDF) . Энтропия . 25 (2): 286. Бибкод : 2023Entrp..25..286V . дои : 10.3390/e25020286 . ПМЦ 9955364 . ПМИД 36832653 . Конспект лекций 2014-2015 гг.
^ Холланд Дж. Дж., Де Ла Торре Дж. К., Штайнхауэр Д. А. (1992). «Популяции РНК-вирусов как квазивиды». Генетическое разнообразие РНК-вирусов . Актуальные темы микробиологии и иммунологии. Том. 176. стр. 1–20. дои : 10.1007/978-3-642-77011-1_1 . ISBN 978-3-642-77013-5 . ПМИД 1600747 . S2CID 46530529 .
^ Шуман Л.Дж., Вулф Х., Уэтселл Г.В., Хубер Г.А. (сентябрь 1976 г.). «Альтернативы возмещения расходов на медицинское обслуживание на дому». Справка: Журнал организации, обеспечения и финансирования медицинской помощи . 13 (3): 277–87. ПМИД 135734 .
^ Уилке СО (август 2005 г.). «Теория квазивидов в контексте популяционной генетики» . Эволюционная биология BMC . 5 (1): 44. Бибкод : 2005BMCEE...5...44W . дои : 10.1186/1471-2148-5-44 . ПМК 1208876 . ПМИД 16107214 .
^ Танненбаум Э., Фонтанари Дж. Ф. (март 2008 г.). «Квазивидовой подход к эволюции полового размножения у одноклеточных организмов». Теория в биологических науках . 127 (1): 53–65. дои : 10.1007/s12064-008-0023-2 . ПМИД 18286313 . S2CID 8741998 .
^ Гросс Р., Фуксон И., Ланцет Д., Маркович О. (декабрь 2014 г.). «Квазивиды в популяциях композиционных комплексов» . Эволюционная биология BMC . 14 (1): 265. Бибкод : 2014BMCEE..14..265G . дои : 10.1186/s12862-014-0265-1 . ПМЦ 4357159 . ПМИД 25547629 .
^ Булл Дж.Дж., Мейерс Л.А., Лахманн М. (ноябрь 2005 г.). «Квазивиды — это просто» . PLOS Вычислительная биология . 1 (6): е61. Бибкод : 2005PLSCB...1...61B . дои : 10.1371/journal.pcbi.0010061 . ПМК 1289388 . ПМИД 16322763 .
^ Системная биология: Учебник . Эдда Клипп, Вольфрам Либермейстер, Кристоф Вирлинг, Аксель Ковальд.
^ Шустер П., Светина Дж (ноябрь 1988 г.). «Стационарные распределения мутантов и эволюционная оптимизация». Бюллетень математической биологии . 50 (6): 635–60. дои : 10.1007/BF02460094 . ПМИД 3219448 . S2CID 189885782 .
^ Доминго Э., Холланд Джей-Джей (октябрь 1997 г.). «Мутации РНК-вируса и приспособленность к выживанию». Ежегодный обзор микробиологии . 51 : 151–78. дои : 10.1146/аннурев.микро.51.1.151 . ПМИД 9343347 .
^ Берч CL, Чао Л. (август 2000 г.). «Эволюционируемость РНК-вируса определяется его мутационным соседством». Природа . 406 (6796): 625–8. Бибкод : 2000Natur.406..625B . дои : 10.1038/35020564 . ПМИД 10949302 . S2CID 1894386 .
^ Манрубия СК, Доминго Э, Ласаро Э (июнь 2010 г.). «Пути к вымиранию: за порогом ошибки» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия Б, Биологические науки . 365 (1548): 1943–52. дои : 10.1098/rstb.2010.0076 . ПМК 2880120 . ПМИД 20478889 .
^ Эйген М., Маккаскилл Дж., Шустер П. (1989). Молекулярные квазивиды . Том. 92. John Wiley & Sons, Inc., стр. 6881–6891. дои : 10.1021/j100335a010 . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-84A7-C . ISBN 9780471622192 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
^ С Ценг З (2008). Фазовые портреты линейных систем .

Дальнейшее чтение

Эйген М., Маккаскилл Дж., Шустер П. (1989). Молекулярный квазивид . Том. 75. стр. 149–263. дои : 10.1002/9780470141243.ch4 . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-84A7-C . ISBN 9780470141243 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )
Новак М.А. (апрель 1992 г.). «Что такое квазивид?». Тенденции в экологии и эволюции . 7 (4): 118–21. дои : 10.1016/0169-5347(92)90145-2 . ПМИД 21235976 .

[1] Эйген М., Маккаскилл Дж., Шустер П. (1989). Молекулярные квазивиды . Том. 92. John Wiley & Sons, Inc., стр. 6881–6891. дои : 10.1021/j100335a010 . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-84A7-C . ISBN 9780471622192 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )

[2] Бибрихер, К.К., Эйген, М. (2006). «Что такое квазивид» . В Эстебане Доминго (ред.). Квазивиды: концепция и значение для вирусологии . Спрингер. п. 1 . ISBN 978-3-540-26395-1 .

[3] Эйген М., Шустер П. (1979). Гиперцикл: принцип естественной самоорганизации . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09293-5 .

[4] Эйген М. (октябрь 1971 г.). «Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул». Die Naturwissenschaften . 58 (10): 465–523. Бибкод : 1971NW.....58..465E . дои : 10.1007/BF00623322 . ПМИД 4942363 . S2CID 38296619 .

[5] Чарльзуорт Б., Чарльзуорт Д. (ноябрь 2009 г.). «Дарвин и генетика» . Генетика . 183 (3): 757–66. дои : 10.1534/genetics.109.109991 . ПМЦ 2778973 . ПМИД 19933231 .

[6] Эйген М (2013). От странной простоты к сложному знакомству . Издательство Оксфордского университета. стр. 404–406. ISBN 978-0-19-857021-9 .

[7] Мартинес, М.А., Мартус Г., Кэпел Э., Парера М., Франко С., Невот М. (2012)Квазивидовая динамика РНК-вирусов. В: Вирусы: основные агенты жизни, Springer, Dordrecht, стр. 21–42.

[8] «Эволюция и древо жизни | Биология | Наука» . Ханская академия . Проверено 20 февраля 2019 г.

[9] Хейлиген Ф (2023). «Сложность и эволюция» (PDF) . Энтропия . 25 (2): 286. Бибкод : 2023Entrp..25..286V . дои : 10.3390/e25020286 . ПМЦ 9955364 . ПМИД 36832653 . Конспект лекций 2014-2015 гг.

[10] Холланд Дж. Дж., Де Ла Торре Дж. К., Штайнхауэр Д. А. (1992). «Популяции РНК-вирусов как квазивиды». Генетическое разнообразие РНК-вирусов . Актуальные темы микробиологии и иммунологии. Том. 176. стр. 1–20. дои : 10.1007/978-3-642-77011-1_1 . ISBN 978-3-642-77013-5 . ПМИД 1600747 . S2CID 46530529 .

[11] Шуман Л.Дж., Вулф Х., Уэтселл Г.В., Хубер Г.А. (сентябрь 1976 г.). «Альтернативы возмещения расходов на медицинское обслуживание на дому». Справка: Журнал организации, обеспечения и финансирования медицинской помощи . 13 (3): 277–87. ПМИД 135734 .

[12] Уилке СО (август 2005 г.). «Теория квазивидов в контексте популяционной генетики» . Эволюционная биология BMC . 5 (1): 44. Бибкод : 2005BMCEE...5...44W . дои : 10.1186/1471-2148-5-44 . ПМК 1208876 . ПМИД 16107214 .

[13] Танненбаум Э., Фонтанари Дж. Ф. (март 2008 г.). «Квазивидовой подход к эволюции полового размножения у одноклеточных организмов». Теория в биологических науках . 127 (1): 53–65. дои : 10.1007/s12064-008-0023-2 . ПМИД 18286313 . S2CID 8741998 .

[14] Гросс Р., Фуксон И., Ланцет Д., Маркович О. (декабрь 2014 г.). «Квазивиды в популяциях композиционных комплексов» . Эволюционная биология BMC . 14 (1): 265. Бибкод : 2014BMCEE..14..265G . дои : 10.1186/s12862-014-0265-1 . ПМЦ 4357159 . ПМИД 25547629 .

[15] Булл Дж.Дж., Мейерс Л.А., Лахманн М. (ноябрь 2005 г.). «Квазивиды — это просто» . PLOS Вычислительная биология . 1 (6): е61. Бибкод : 2005PLSCB...1...61B . дои : 10.1371/journal.pcbi.0010061 . ПМК 1289388 . ПМИД 16322763 .

[16] Системная биология: Учебник . Эдда Клипп, Вольфрам Либермейстер, Кристоф Вирлинг, Аксель Ковальд.

[17] Шустер П., Светина Дж (ноябрь 1988 г.). «Стационарные распределения мутантов и эволюционная оптимизация». Бюллетень математической биологии . 50 (6): 635–60. дои : 10.1007/BF02460094 . ПМИД 3219448 . S2CID 189885782 .

[18] Доминго Э., Холланд Джей-Джей (октябрь 1997 г.). «Мутации РНК-вируса и приспособленность к выживанию». Ежегодный обзор микробиологии . 51 : 151–78. дои : 10.1146/аннурев.микро.51.1.151 . ПМИД 9343347 .

[19] Берч CL, Чао Л. (август 2000 г.). «Эволюционируемость РНК-вируса определяется его мутационным соседством». Природа . 406 (6796): 625–8. Бибкод : 2000Natur.406..625B . дои : 10.1038/35020564 . ПМИД 10949302 . S2CID 1894386 .

[20] Манрубия СК, Доминго Э, Ласаро Э (июнь 2010 г.). «Пути к вымиранию: за порогом ошибки» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия Б, Биологические науки . 365 (1548): 1943–52. дои : 10.1098/rstb.2010.0076 . ПМК 2880120 . ПМИД 20478889 .

[21] Эйген М., Маккаскилл Дж., Шустер П. (1989). Молекулярные квазивиды . Том. 92. John Wiley & Sons, Inc., стр. 6881–6891. дои : 10.1021/j100335a010 . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-84A7-C . ISBN 9780471622192 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )

[22] С Ценг З (2008). Фазовые портреты линейных систем .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]