Многомерная интерполяция

В численном анализе многомерная интерполяция — это интерполяция функций более чем одной переменной ( многомерные функции ); когда переменные являются пространственными координатами , это также известно как пространственная интерполяция .

Интерполируемая функция известна в заданных точках. $(x_{i},y_{i},z_{i},\dots )$ и проблема интерполяции состоит в получении значений в произвольных точках $(x,y,z,\dots )$.

Многомерная интерполяция особенно важна в геостатистике , где она используется для создания цифровой модели рельефа из набора точек на поверхности Земли (например, высоты точек в топографической съемке или глубины в гидрографической съемке ).

Регулярная сетка

Сравнение некоторых 1- и 2-мерных интерполяций.
Черные и красные / желтые / зеленые / синие точки соответствуют интерполируемой точке и соседним выборкам соответственно.
Их высота над землей соответствует их значениям.

Для значений функции, известных в регулярной сетке (с заранее определенным, не обязательно равномерным интервалом), доступны следующие методы.

Любой размер

• Интерполяция ближайшего соседа
• n-линейная интерполяция (см. би- и трилинейная интерполяция и полилинейный полином )
• n-кубическая интерполяция (см. би- и трикубическая интерполяция )
• Война
• Обратное взвешивание расстояния
• Интерполяция естественных соседей
• Сплайн-интерполяция
• Интерполяция радиальной базисной функции

2 измерения

• Интерполяция Барнса
• Билинейная интерполяция
• Бикубическая интерполяция
• Поверхность Безье
• Передискретизация Ланцоша
• Триангуляция Делоне

Передискретизация растрового изображения — это применение двумерной многомерной интерполяции при обработке изображений .

Три метода применены к одному и тому же набору данных из 25 значений, расположенных в черных точках. Цвета представляют интерполированные значения.

• 
  Ближайший сосед
• 
  Билинейный
• 
  Бикубический

См. также точки Падуи для полиномиальной интерполяции по двум переменным.

3 измерения

• Трилинейная интерполяция
• Трикубическая интерполяция

См. также передискретизацию растрового изображения .

Сплайны тензорного произведения для N измерений

Сплайны Катмулла-Рома можно легко обобщить на любое количество измерений.Статья о кубическом сплайне Эрмита напомнит вам, что $\mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)$ для некоторого 4-вектора $\mathbf {b} (x)$ которая является функцией только x , где $f_{j}$ это значение в $j$ функции, подлежащей интерполяции.Перепишем это приближение как

$\mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)$

Эту формулу можно напрямую обобщить на N измерений:

$\mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})$

Обратите внимание, что аналогичные обобщения можно сделать и для других типов сплайн-интерполяции, включая сплайны Эрмита.Что касается эффективности, общая формула фактически может быть вычислена как композиция последовательных $\mathrm {CINT}$-операции для любого типа сплайнов тензорного произведения, как описано в статье о трикубической интерполяции .Однако факт остается фактом: если есть $n$ условия в 1-мерном $\mathrm {CR}$-как суммирование, то будет $n^{N}$ условия в $N$-мерное суммирование.

Нерегулярная сетка (разрозненные данные)

Схемы, определенные для разбросанных данных по нерегулярной сетке, являются более общими.Все они должны работать на регулярной сетке, обычно сводясь к другому известному методу.

• Интерполяция ближайшего соседа
• триангулированной нерегулярной сети на основе Естественный сосед
• триангулированной нерегулярной сети на основе Линейная интерполяция (разновидность кусочно-линейной функции )
  • n- симплексная (например, тетраэдрическая) интерполяция (см. барицентрическую систему координат )
• Обратное взвешивание расстояния
• ABOS – аппроксимация на основе сглаживания
• Война
• Градиентный кригинг (GEK)
• Тонкая пластина шлица
• Полигармонический сплайн (тонкий пластинчатый сплайн — частный случай полигармонического сплайна)
• Радиальная базисная функция ( Полигармонические сплайны - это частный случай радиальных базисных функций с полиномиальными членами низкой степени)
• наименьших квадратов Сплайн
• Интерполяция естественных соседей

Gridding — это процесс преобразования неравномерно расположенных данных в регулярную сетку ( данные с сеткой ).

См. также

• Сглаживание
• Поверхностный монтаж

Внешние ссылки

• Пример кода C++ для нескольких 1D, 2D и 3D сплайн-интерполяций (включая сплайны Catmull-Rom).
• Многомерная интерполяция и аппроксимация Эрмита , профессор Чандраджит Баджаджа, Университет Пердью
• Библиотека Python, содержащая методы 3D- и 4D-сплайн-интерполяции.