Отображение Шварца – Кристоффеля

В комплексном анализе отображение Шварца -Кристофеля представляет собой конформное отображение верхней полуплоскости или комплексного единичного диска на внутреннюю часть простого многоугольника . такого отображения Существование гарантируется теоремой Римана об отображении (высказанной Бернхардом Риманом в 1851 году); формула Шварца – Кристоффеля дает явную конструкцию. Они были независимо представлены Элвином Кристоффелем в 1867 году и Германом Шварцем в 1869 году.

Отображения Шварца-Кристофеля используются в теории потенциала и некоторых ее приложениях, включая минимальные поверхности , гиперболическое искусство и гидродинамику .

Определение

Рассмотрим многоугольник на комплексной плоскости. Из теоремы Римана об отображении следует, что существует биголоморфное отображение f из верхней полуплоскости

\{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \zeta >0\}

во внутреннюю часть многоугольника. Функция f отображает реальную ось на края многоугольника. Если многоугольник имеет внутренние углы $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ , то это отображение задается формулой

f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,\mathrm {d} w

где $K$ является константой , и $a<b<c<\cdots$ значения вдоль действительной оси $\zeta$ плоскости, точек, соответствующих вершинам многоугольника в $z$ самолет. Преобразование этой формы называется отображением Шварца–Кристофеля .

Интеграл можно упростить, отобразив бесконечную точку $\zeta$ плоскости к одной из вершин $z$ плоский многоугольник. При этом первый множитель в формуле становится постоянным и его можно включить в константу $K$ . Традиционно точка, находящаяся на бесконечности, будет сопоставляться с вершиной с углом $\alpha$ .

На практике, чтобы найти отображение на конкретный многоугольник, необходимо найти $a<b<c<\cdots$ значения, которые генерируют правильные длины сторон многоугольника. Это требует решения набора нелинейных уравнений и в большинстве случаев может быть выполнено только численно . ^{[ 1 ]}

Пример

Рассмотрим полубесконечную полосу в $z$ плоскости . Это можно рассматривать как предельную форму треугольника с вершинами $P = 0$ , $Q = π i$ и $R$ (с $действительным R$ ), поскольку $R$ стремится к бесконечности. Теперь $α = 0$ и $β = γ = .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π ⁄ 2$ в пределе. мы ищем отображение $f$ такое, что $f (-1) = Q$ , $f (1) = P$ и $f (\infty) = R.$ Предположим , Тогда $f$ определяется выражением

f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,\mathrm {d} w.\,

Вычисление этого интеграла дает

z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arcosh} \zeta ,

где $C$ — (комплексная) константа интегрирования. Требование, чтобы $f (-1) = Q$ и $f (1) = P$ , дает $C = 0$ и $K = 1$ . Следовательно, отображение Шварца – Кристоффеля имеет вид

z=\operatorname {arcosh} \zeta .

Это преобразование показано ниже.

Отображение Шварца – Кристоффеля верхней полуплоскости в полубесконечную полосу

Другие простые сопоставления

Треугольник

Отображение плоского треугольника с внутренними углами. $\pi a,\,\pi b$ и $\pi (1-a-b)$ дается

z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}},

которые могут быть выражены через гипергеометрические функции , точнее неполные бета-функции .

Квадрат

Верхняя полуплоскость отображается в квадрат посредством

z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {w(1-w^{2})}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\sqrt {2}}/2\right),

где F — неполный эллиптический интеграл первого рода.

Общий треугольник

Верхняя полуплоскость отображается в треугольник с дугами окружностей для ребер с помощью карты треугольника Шварца .

См. также

Производная Шварца появляется в теории отображений Шварца–Кристофеля.

Ссылки

^ Дрисколл, Тоби. «Картирование Шварца-Кристофеля» . www.math.udel.edu . Проверено 17 мая 2021 г.

Кристоффель, Элвин Бруно (1867). «К проблеме стационарных температур и представлению заданной поверхности» . Анналы чистой и прикладной математики (на итальянском языке). 1 :89–103. дои : 10.1007/BF02419161 . S2CID 121089696 .
Дрисколл, Тобин А.; Трефетен, Ллойд Н. (2002). Картирование Шварца–Кристофеля . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511546808 . ISBN 9780521807265 .
Шварц, Герман Амандус (1869). «О некоторых проблемах картографии». Журнал Крелля (на немецком языке). 1869 (70): 105–120. дои : 10.1515/crll.1869.70.105 . S2CID 121291546 .
Форсайт, Эндрю Рассел (1918) [1-е изд. 1893]. Теория функций комплексного переменного . Кембридж. §§267–270, стр. 665–677 .
Нехари, Зеев (1982) [1952], Конформное отображение , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61137-2 , МР 0045823
Конформный гиперболический квадрат и его аналог Чемберлена Фонга, Материалы конференции Bridges Finland, 2016 г.

Дальнейшее чтение

Аналог отображения SC, работающий и для многосвязности, представлен в: Кейс, Джеймс (2008), «Прорыв в конформном картографировании» (PDF) , SIAM News , 41 (1) .

Внешние ссылки

«Преобразование Шварца – Кристоффеля» . ПланетаМатематика .
Набор инструментов Шварца – Кристоффеля (программное обеспечение для MATLAB )

[1] Дрисколл, Тоби. «Картирование Шварца-Кристофеля» . www.math.udel.edu . Проверено 17 мая 2021 г.

[ 1 ]