Функция треугольника Шварца

В комплексном анализе функция треугольника Шварца или s-функция Шварца — это функция, которая конформно отображает верхнюю полуплоскость в треугольник в верхней полуплоскости, имеющий линии или дуги окружностей в качестве ребер. Целевой треугольник не обязательно является треугольником Шварца , хотя это наиболее математически интересный случай. Когда этот треугольник является непересекающимся треугольником Шварца, то есть треугольником Мёбиуса , обратная функция треугольника Шварца является однозначной автоморфной функцией этого треугольника для группы треугольников . Точнее, это модульная функция .

Формула

Пусть πα , πβ и πγ — внутренние углы при вершинах треугольника в радианах . Каждый из α , β и γ может принимать значения от 0 до 1 включительно. Следуя за Нехари, ^[1] эти углы расположены по часовой стрелке, причем вершина имеет угол πα в начале координат, а вершина с углом πγ лежит на действительной прямой. Функцию треугольника Шварца можно выразить через гипергеометрические функции следующим образом:

s(\alpha ,\beta ,\gamma ;z)=z^{\alpha }{\frac {_{2}F_{1}\left(a',b';c';z\right)}{_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)}}

где

а = (1−α−β−γ)/2,

б = (1−α+β−γ)/2,

с = 1−α,

а ′ = а − с + 1 = (1+α−β−γ)/2,

b ′ = b − c + 1 = (1+α+β−γ)/2, и

с ′ = 2 − с = 1 + α.

Эта функция отображает верхнюю полуплоскость в сферический треугольник , если α + β + γ > 1, или в гиперболический треугольник , если α + β + γ < 1. Когда α + β + γ = 1, тогда треугольник является евклидовым треугольником. с прямыми краями: а = 0, $_{2}F_{1}\left(a,b;c;z\right)=1$ , и формула сводится к формуле, заданной преобразованием Шварца – Кристоффеля .

Вывод

С помощью теории сложных обыкновенных дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками и производной Шварца функция треугольника может быть выражена как частное двух решений гипергеометрического дифференциального уравнения с действительными коэффициентами и особыми точками в точках 0, 1 и ∞. По принципу отражения Шварца группа отражений индуцирует действие в двумерном пространстве решений. На сохраняющей ориентацию нормальной подгруппе это двумерное представление соответствует монодромии обыкновенного дифференциального уравнения и индуцирует группу преобразований Мёбиуса на факторах гипергеометрических функций . ^[2]

Особые точки

Это отображение имеет регулярные особые точки в точках z = 0, 1 и ∞, соответствующие вершинам треугольника с углами πα, πγ и πβ соответственно. В этих особых точках ^[3]

{\begin{aligned}s(0)&=0,\\[4mu]s(1)&={\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (1-b')\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (1-b)\Gamma (c)}},\\[8mu]s(\infty )&=\exp \left(i\pi \alpha \right){\frac {\Gamma (1-a')\Gamma (b)\Gamma (c')}{\Gamma (1-a)\Gamma (b')\Gamma (c)}},\end{aligned}}

где ${\textstyle \Gamma (x)}$ это гамма-функция .

Вблизи каждой особой точки функцию можно аппроксимировать следующим образом:

{\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\alpha }(1+O(z)),\\[6mu]s_{1}(z)&=(1-z)^{\gamma }(1+O(1-z)),\\[6mu]s_{\infty }(z)&=z^{\beta }(1+O(1/z)),\end{aligned}}

где $O(x)$ это большое обозначение O.

Обратный

Когда α, β и γ рациональны, треугольник является треугольником Шварца. Когда каждый из α, β и γ является либо обратным целому числу, либо нулю, треугольник является треугольником Мёбиуса , то есть неперекрывающимся треугольником Шварца. Для треугольника Мёбиуса обратная функция является модулярной функцией .

В сферическом случае эта модульная функция является рациональной функцией . Для евклидовых треугольников обратное можно выразить с помощью эллиптических функций . ^[4]

Идеальные треугольники

При α = 0 треугольник вырожден и целиком лежит на вещественной прямой. Если любой из β или γ не равен нулю, углы можно переставить так, чтобы положительное значение было α , но это не вариант для идеального треугольника, у которого все углы равны нулю.

Вместо этого отображение идеального треугольника с вершинами в точках 0, 1 и ∞ определяется выражением полного эллиптического интеграла первого рода :

i{\frac {K(1-z)}{K(z)}}

.

Это выражение является обратным модульной лямбда-функции . ^[5]

Расширения

Преобразование Шварца – Кристоффеля дает отображение верхней полуплоскости на любой евклидов многоугольник.

Методология, использованная ранее для получения функции треугольника Шварца, может быть применена в более общем плане к многоугольникам с дугообразными краями. Однако для n -стороннего многоугольника решение имеет n-3 дополнительных параметра, определить которые на практике сложно. ^[6] Для получения более подробной информации см. Производную Шварца § Конформное отображение многоугольников дуг окружности .

Приложения

Л. П. Ли использовал функции треугольника Шварца для получения конформных проекций карт на многогранные поверхности. ^[4]

Ссылки

^ Нехари 1975 , с. 309.
^ Нехари 1975 , стр. 198–208.
^ Нехари 1975 , стр. 315−316.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ли, LP (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Картографические монографии . Том. 16. Торонто: Б.В. Гуцелл, Йоркский университет. ISBN 0-919870-16-3 . Дополнение № 1 к «Канадскому картографу» 13 .
^ Нехари 1975 , стр. 316–318.
^ Нехари 1975 , с. 202.

Источники

Альфорс, Ларс В. (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1 . OCLC 4036464 .
Каратеодори, Константин (1954). Теория функций комплексной переменной . Том. 2. Перевод Ф. Стейнхардта. Челси. OCLC 926250115 .
Хилле, Эйнар (1997). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-69620-0 . OCLC 36225146 .
Нехари, Зеев (1975). Конформное отображение . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61137-Х . ОСЛК 1504503 .
Сансоне, Джованни ; Герретсен, Йохан (1969). Лекции по теории функций комплексного переменного. II: Геометрическая теория . Вольтерс-Нордхофф. OCLC 245996162 .

[FOOTNOTENehari1975309-1] Нехари 1975 , с. 309.

[FOOTNOTENehari1975198–208-2] Нехари 1975 , стр. 198–208.

[FOOTNOTENehari1975315−316-3] Нехари 1975 , стр. 315−316.

[Lee-4] Перейти обратно: ^а ^б Ли, LP (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Картографические монографии . Том. 16. Торонто: Б.В. Гуцелл, Йоркский университет. ISBN 0-919870-16-3 . Дополнение № 1 к «Канадскому картографу» 13 .

[FOOTNOTENehari1975316–318-5] Нехари 1975 , стр. 316–318.

[FOOTNOTENehari1975202-6] Нехари 1975 , с. 202.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]