Квадратура Гаусса – Лагерра

В численном анализе квадратура Гаусса – Лагера (названная в честь Карла Фридриха Гаусса и Эдмона Лагерра ) является расширением метода квадратуры Гаусса для аппроксимации значения интегралов следующего вида:

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.$

В этом случае

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

где x _i - i корень -й степени полинома Лагерра L _n ( x ), а вес w _i определяется выражением

$w_{i}={\frac {x_{i}}{\left(n+1\right)^{2}\left[L_{n+1}\left(x_{i}\right)\right]^{2}}}.$

Следующий код Python с библиотекой SymPy позволит вычислить значения $x_{i}$ и $w_{i}$ до 20 цифр точности:

from sympy import *

def lag_weights_roots(n):
    x = Symbol("x")
    roots = Poly(laguerre(n, x)).all_roots()
    x_i = [rt.evalf(20) for rt in roots]
    w_i = [(rt / ((n + 1) * laguerre(n + 1, rt)) ** 2).evalf(20) for rt in roots]
    return x_i, w_i

print(lag_weights_roots(5))

Для более общих функций

Чтобы интегрировать функцию $f$ мы применим следующее преобразование

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }g(x)e^{-x}\,dx$

где $g\left(x\right):=e^{x}f\left(x\right)$. Для последнего интеграла затем используется квадратура Гаусса-Лагерра. Обратите внимание: хотя этот подход работает с аналитической точки зрения он не всегда численно стабилен.

Обобщенная квадратура Гаусса – Лагерра

В более общем смысле можно также рассматривать подынтегральные выражения, имеющие известный $x^{\alpha }$ степенная особенность при x = 0 для некоторого действительного числа $\alpha >-1$, что приводит к интегралам вида:

$\int _{0}^{+\infty }x^{\alpha }e^{-x}f(x)\,dx.$

В этом случае веса указаны в терминах обобщенных полиномов Лагерра :

$w_{i}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)x_{i}}{n!(n+1)^{2}[L_{n+1}^{(\alpha )}(x_{i})]^{2}}}\,,$

где $x_{i}$ являются корнями $L_{n}^{(\alpha )}$.

Это позволяет эффективно оценивать такие интегралы для полиномиального или гладкого f ( x ), даже если α не является целым числом.

Дальнейшее чтение

• Зальцер, HE; Цукер, Р. (1949). «Таблица нулей и весовых коэффициентов первых пятнадцати полиномов Лагерра» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (10): 1004–1012. дои : 10.1090/S0002-9904-1949-09327-8 .
• Конкус, П.; Кассат, Д.; Джениг, Г.; Мелби, Э. (1963). «Таблицы для оценки $\int _{0}^{\infty }x^{\beta }\exp(-x)f(x)\,dx$ по квадратуре Гаусса-Лагера» . Математика вычислений . 17 : 245–256. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0158534-9 .
• Шао, Т.С.; Чен, TC; Франк, РМ (1964). «Таблица нулей и гауссовых весов некоторых связанных полиномов Лагерра и связанных с ними полиномов Эрмита» . Математика вычислений . 18 (88): 598–616. дои : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . JSTOR   2002946 . МР   0166397 .
• Эрих, С. (2002). «О стратифицированных расширениях квадратурных формул Гаусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита». Журнал вычислительной и прикладной математики . 140 (1–2): 291–299. дои : 10.1016/S0377-0427(01)00407-1 .

Внешние ссылки

• Процедура Matlab для квадратуры Гаусса – Лагерра
• Обобщенная квадратура Гаусса – Лагерра , бесплатное программное обеспечение на Matlab, C++ и Fortran.