Теорема Тейлора – Праудмана

В механике жидкости теорема Тейлора -Прудмана (после Джеффри Ингрэма Тейлора и Джозефа Праудмана ) гласит, что когда твердое тело медленно перемещается внутри жидкости, которая постоянно вращается с высокой угловой скоростью. $\Omega$ жидкости , скорость будет равномерной вдоль любой линии, параллельной оси вращения. $\Omega$ должна быть большой по сравнению с движением твердого тела, чтобы сила Кориолиса была большой по сравнению с условиями ускорения.

Вывод

Уравнения Навье – Стокса для установившегося течения с нулевой вязкостью и объемной силой, соответствующей силе Кориолиса, имеют вид

$\rho ({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {F} }-\nabla p,$

где ${\mathbf {u} }$ скорость жидкости, $\rho$ - плотность жидкости, а $p$ давление. Если мы предположим, что $F=\nabla \Phi =-2\rho \mathbf {\Omega } \times {\mathbf {u} }$ представляет собой скалярный потенциал , и адвективным членом слева можно пренебречь (разумно, если число Россби намного меньше единицы) и что поток несжимаем (плотность постоянна), уравнения принимают вид:

$2\rho \mathbf {\Omega } \times {\mathbf {u} }=-\nabla p,$

где $\Omega$ – вектор угловой скорости . Если взять ротор этого уравнения, результатом будет теорема Тейлора – Праудмана:

$({\mathbf {\Omega } }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {0} }.$

Для этого нужны векторные тождества

$\nabla \times (A\times B)=A(\nabla \cdot B)-(A\cdot \nabla )B+(B\cdot \nabla )A-B(\nabla \cdot A)$

и

$\nabla \times (\nabla p)=0\$

и

$\nabla \times (\nabla \Phi )=0\$

(поскольку ротор градиента всегда равен нулю). Обратите внимание, что $\nabla \cdot {\mathbf {\Omega } }=0$ также необходима (угловая скорость бездивергентна).

Векторную форму теоремы Тейлора-Прудмана, возможно, лучше понять, разложив скалярное произведение :

$\Omega _{x}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial x}}+\Omega _{y}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial y}}+\Omega _{z}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0.$

В координатах, для которых $\Omega _{x}=\Omega _{y}=0$, уравнения сводятся к

${\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0,$

если $\Omega _{z}\neq 0$. Таким образом, все три компоненты вектора скорости однородны вдоль любой линии, параллельной оси z.

Колонка Тейлора

Основная статья: Колонка Тейлора

Колонна Тейлора представляет собой воображаемый цилиндр, проецируемый сверху и снизу реального цилиндра, расположенного параллельно оси вращения (в любом месте потока, не обязательно в центре). Поток будет огибать воображаемые цилиндры точно так же, как реальные, благодаря теореме Тейлора-Прудмана, которая утверждает, что поток во вращающейся однородной невязкой жидкости двумерен в плоскости, ортогональной оси вращения, и, следовательно, не существует изменение потока вдоль ${\vec {\Omega }}$ ось, которую часто принимают за ${\hat {z}}$ ось.

Колонна Тейлора — это упрощенный, экспериментально наблюдаемый эффект того, что происходит в атмосфере и океанах Земли.

История

Результат, известный как теорема Тейлора-Прудмана, был впервые получен Сиднеем Сэмюэлем Хафом (1870–1923), математиком из Кембриджского университета, в 1897 году. Праудман опубликовал еще один вывод в 1916 году, а Тейлор — в 1917 году, затем эффект был экспериментально продемонстрирован Тейлором в 1923 году.