Уравнение педали

В евклидовой геометрии для плоской кривой C и данной фиксированной точки O педальное уравнение кривой представляет собой соотношение между r и p , где r — расстояние от O до точки на C , а p — расстояние по перпендикуляру от O до точки C. касательная к C . в этой точке Точка O называется точкой педали , а значения r и p иногда называют координатами педали точки относительно кривой и точки педали. Также полезно измерить расстояние O до нормали pc _{) ,} ( координата контрапеды хотя это не является независимой величиной и относится к ( r , p ) как ${\textstyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}.}$

Некоторые кривые имеют особенно простые уравнения педали, и знание уравнения педали кривой может упростить расчет некоторых ее свойств, таких как кривизна . Эти координаты также хорошо подходят для решения некоторых силовых задач классической и небесной механики .

Уравнения

Декартовы координаты

Для C, заданного в прямоугольных координатах как f ( x , y ) = 0, и с O, взятым за начало координат, координаты педали точки ( x , y ) определяются как:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$p={\frac {x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}}.$

Уравнение педали можно найти, исключив x и y из этих уравнений и уравнения кривой.

Выражение для p можно упростить, если уравнение кривой записать в однородных координатах путем введения переменной z , так что уравнение кривой будет g ( x , y , z значение p. ) = 0. Затем задается к

$p={\frac {\frac {\partial g}{\partial z}}{\sqrt {\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial g}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

где результат оценивается при z =1

Полярные координаты

Для C, в полярных координатах заданного r = f (θ), тогда

$p=r\sin \phi$

где $\phi$ - полярный тангенциальный угол, определяемый формулой

$r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \phi .$

Уравнение педали можно найти, исключив из этих уравнений θ.

Альтернативно, из вышеизложенного мы можем найти, что

$\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|={\frac {rp_{c}}{p}},$

где $p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}$ – «контрапедальная» координата, т.е. расстояние до нормали. Это означает, что если кривая удовлетворяет автономному дифференциальному уравнению в полярных координатах вида:

$f\left(r,\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|\right)=0,$

его уравнение педали становится

$f\left(r,{\frac {rp_{c}}{p}}\right)=0.$

Пример

В качестве примера возьмем логарифмическую спираль с углом спирали α:

$r=ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }.$

Дифференцируя по $\theta$ мы получаем

${\frac {dr}{d\theta }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}r,$

следовательно

$\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,$

и таким образом в координатах педали получаем

${\frac {r}{p}}p_{c}=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,\qquad \Rightarrow \qquad |\sin \alpha |p_{c}=|\cos \alpha |p,$

или используя тот факт, что $p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}$ мы получаем

$p=|\sin \alpha |r.$

Этот подход можно обобщить, включив в него автономные дифференциальные уравнения любого порядка следующим образом: Кривая C, являющаяся решением автономного дифференциального уравнения n -го порядка ( $n\geq 1$) в полярных координатах

$f\left(r,|r'_{\theta }|,r''_{\theta },|r'''_{\theta }|\dots ,r_{\theta }^{(2j)},|r_{\theta }^{(2j+1)}|,\dots ,r_{\theta }^{(n)}\right)=0,$

- это кривая педали кривой, заданной в координатах педали формулой

$f(p,p_{c},p_{c}p_{c}',p_{c}(p_{c}p_{c}')',\dots ,(p_{c}\partial _{p})^{n}p)=0,$

где дифференцирование производится по $p$.

Проблемы с силой

Решения некоторых силовых задач классической механики удивительно легко получить в педальных координатах.

Рассмотрим динамическую систему:

${\ddot {x}}=F^{\prime }(|x|^{2})x+2G^{\prime }(|x|^{2}){\dot {x}}^{\perp },$

описывающее эволюцию пробной частицы (с положением $x$ и скорость ${\dot {x}}$) в плоскости при наличии центрального $F$ и Лоренц нравится $G$ потенциал. Количества:

$L=x\cdot {\dot {x}}^{\perp }+G(|x|^{2}),\qquad c=|{\dot {x}}|^{2}-F(|x|^{2}),$

сохраняются в этой системе.

Тогда кривая, очерченная $x$ задается в координатах педали выражением

${\frac {\left(L-G(r^{2})\right)^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c,$

с точкой педали в начале координат. Этот факт был открыт П. Блашке в 2017 году.

Пример

В качестве примера рассмотрим так называемую задачу Кеплера , т.е. задачу центральной силы, где сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния:

${\ddot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x,$

мы можем сразу прийти к решению в координатах педали

${\frac {L^{2}}{2p^{2}}}={\frac {M}{r}}+c,$,

где $L$ соответствует угловому моменту частицы и $c$ к его энергии. Таким образом мы получили уравнение конического сечения в педальных координатах.

И наоборот, для данной кривой C мы можем легко вывести, какие силы мы должны приложить к пробной частице, чтобы двигаться по ней.

Уравнения педали для конкретных кривых

Синусоидальные спирали

Для синусоидальной спирали, записанной в виде

$r^{n}=a^{n}\sin(n\theta )$

полярный тангенциальный угол

$\psi =n\theta$

что дает уравнение педали

$pa^{n}=r^{n+1}.$

Уравнение педали для ряда знакомых кривых можно получить, задав n определенными значениями:

н	Изгиб	Точка педали	Педаль экв.
Все	Круг радиусом а	Центр	$pa^{n}=r^{n+1}$
1	Круг диаметром а	Точка на окружности	па = р 2
−1	Линия	Расстояние точки a от линии	р = а
1 ⁄ 2	Кардиоида	Куспид	п 2 а = р 3
− 1 ⁄ 2	Парабола	Фокус	п 2 = с
2	Лемниската Бернулли	Центр	хорошо 2 = р 3
−2	Прямоугольная гипербола	Центр	рп = а 2

Спирали

Спиральная кривая формы

$r=c\theta ^{\alpha },$

удовлетворяет уравнению

${\frac {dr}{d\theta }}=\alpha r^{\frac {\alpha -1}{\alpha }},$

и, таким образом, может быть легко преобразовано в координаты педали как

${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}c^{\frac {2}{\alpha }}}{r^{2+{\frac {2}{\alpha }}}}}+{\frac {1}{r^{2}}}.$

К особым случаям относятся:

$\alpha$	Изгиб	Точка педали	Педаль экв.
1	Спираль Архимеда	Источник	${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{4}}}$
−1	Гиперболическая спираль	Источник	${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}$
1 ⁄ 2	Спираль Ферма	Источник	${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{4}}{4r^{6}}}$
− 1 ⁄ 2	Пляж	Источник	${\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {r^{2}}{4c^{4}}}$

Эпи- и гипоциклоиды

Для эпи- или гипоциклоиды, заданной параметрическими уравнениями

$x(\theta )=(a+b)\cos \theta -b\cos \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right)$

$y(\theta )=(a+b)\sin \theta -b\sin \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right),$

уравнение педали относительно начала координат:

$r^{2}=a^{2}+{\frac {4(a+b)b}{(a+2b)^{2}}}p^{2}$

или

$p^{2}=A(r^{2}-a^{2})$

с

$A={\frac {(a+2b)^{2}}{4(a+b)b}}.$

Особые случаи, полученные установкой b = a ⁄ n для конкретных значений n включают:

н	Изгиб	Педаль экв.
1, − 1 ⁄ 2	Кардиоида	$p^{2}={\frac {9}{8}}(r^{2}-a^{2})$
2, − 2 ⁄ 3	Нефроид	$p^{2}={\frac {4}{3}}(r^{2}-a^{2})$
−3, − 3 ⁄ 2	Дельтовидная мышца	$p^{2}=-{\frac {1}{8}}(r^{2}-a^{2})$
−4, − 4 ⁄ 3	Астроид	$p^{2}=-{\frac {1}{3}}(r^{2}-a^{2})$

Другие кривые

Другие уравнения педали:

Изгиб	Уравнение	Точка педали	Педаль экв.
Линия	$ax+by+c=0$	Источник	$p={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
Точка	$(x_{0},y_{0})$	Источник	$r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}$
Круг	$|x-a|=R$	Источник	$2pR=r^{2}+R^{2}-|a|^{2}$
Развертка круга	$r={\frac {a}{\cos \alpha }},\ \theta =\tan \alpha -\alpha$	Источник	$p_{c}=|a|$
Эллипс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	Центр	${\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}+b^{2}$
Гипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	Центр	$-{\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}-b^{2}$
Эллипс	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	Фокус	${\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}-1$
Гипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	Фокус	${\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}+1$
Логарифмическая спираль	$r=ae^{\theta \cot \alpha }$	Нет	$p=r\sin \alpha$
Декартовский овал	$|x|+\alpha |x-a|=C,$	Фокус	${\frac {(b-(1-\alpha ^{2})r^{2})^{2}}{4p^{2}}}={\frac {Cb}{r}}+(1-\alpha ^{2})Cr-((1-\alpha ^{2})C^{2}+b),\ b:=C^{2}-\alpha ^{2}|a|^{2}$
Кассини овал	$|x||x-a|=C,$	Фокус	${\frac {(3C^{2}+r^{4}-|a|^{2}r^{2})^{2}}{p^{2}}}=4C^{2}\left({\frac {2C^{2}}{r^{2}}}+2r^{2}-|a|^{2}\right).$
Кассини овал	$|x-a||x+a|=C,$	Центр	$2Rpr=r^{4}+R^{2}-|a|^{2}.$

См. также

• Кривая педали

Ссылки

• Р. К. Йейтс (1952). «Уравнения педали». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. стр. 166 и далее.
• Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 161 и далее.

• П. Блашке (2017). «Координаты педали, темный Кеплер и другие силовые проблемы» (PDF) . Журнал математической физики . 58/6 . arXiv : 1704.00897 . дои : 10.1063/1.4984905 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Координаты педали» . Математический мир .