Полевая арифметика

В математике и полевая арифметика — предмет, изучающий взаимосвязь между арифметическими свойствами поля его абсолютной группой Галуа . Это междисциплинарный предмет, поскольку он использует инструменты теории алгебраических чисел , арифметической геометрии , алгебраической геометрии , теории моделей , теории конечных групп и проконечных групп .

Поля с конечными абсолютными группами Галуа

Пусть K — поле и G = Gal( K ) — его абсолютная группа Галуа. Если K , алгебраически замкнуто то G = 1. Если K = R — действительные числа, то

$G=\operatorname {Gal} (\mathbf {C} /\mathbf {R} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} .$

Здесь C — поле комплексных чисел , а Z — кольцо целых чисел. Теорема Артина и Шрайера утверждает, что (по сути) это все возможности для конечных абсолютных групп Галуа.

Теорема Артина–Шрайера. Пусть K — поле, абсолютная группа Галуа G которого конечна. Тогда либо K сепарабельно замкнуто и G тривиально, либо K вещественно замкнуто и G = Z /2 Z .

Поля, которые определяются их абсолютными группами Галуа.

Некоторые проконечные группы встречаются как абсолютная группа Галуа неизоморфных полей. Первым примером этого является

${\hat {\mathbf {Z} }}=\lim _{\longleftarrow }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .$

Эта группа изоморфна абсолютной группе Галуа произвольного конечного поля . абсолютная группа Галуа поля формальных рядов Лорана C (( t Также этой группе изоморфна )) по комплексным числам.

Чтобы получить еще один пример, мы приводим ниже два неизоморфных поля, абсолютные группы Галуа которых свободны (то есть свободная проконечная группа ).

• Пусть C — алгебраически замкнутое поле, а x — переменная. Тогда Gal( C ( x )) не имеет ранга, равного мощности C . (Этот результат принадлежит Адриену Дуади для характеристики 0 и берет свое начало в теореме существования Римана . Для поля произвольной характеристики он принадлежит Дэвиду Харбатеру и Флориану Попу , а также был позже доказан Дэном Хараном и Моше Жарденом .)
• Абсолютная группа Галуа Gal( Q ) (где Q — рациональные числа) компактна и, следовательно, снабжена нормированной мерой Хаара . Для автоморфизма Галуа s (то есть элемента из Gal( Q )) пусть N _s будет максимальным расширением Галуа Q , которое s фиксирует. Тогда с вероятностью 1 абсолютная группа Галуа Gal( N _s ) свободна счетного ранга. (Этот результат принадлежит Моше Жардену .)

В отличие от приведенных выше примеров, если рассматриваемые поля конечно порождены над Q , Флориан Поп доказывает, что изоморфизм абсолютных групп Галуа дает изоморфизм полей:

Теорема. Пусть K , L — конечно порожденные поля над Q и пусть a : Gal( K ) → Gal( L ) — изоморфизм. Тогда существует единственный изоморфизм алгебраических замыканий b : K _alg → L _alg , который индуцирует a .

Это обобщает более раннюю работу Юргена Нойкирха и Кодзи Учиды о числовых полях.

Псевдоалгебраически замкнутые поля

Основная статья: Псевдоалгебраически замкнутое поле

Псевдоалгебраически замкнутое поле (сокращенно PAC) K — это поле, удовлетворяющее следующему геометрическому свойству. Каждое абсолютно неприводимое алгебраическое многообразие V, определенное над K, имеет K - рациональную точку .

Над полями PAC существует прочная связь между арифметическими свойствами поля и теоретико-групповыми свойствами его абсолютной группы Галуа. Хорошая теорема в этом духе связывает гильбертовы поля с ω-свободными полями ( K является ω-свободным, если любая проблема вложения для K правильно разрешима).

Теорема. Пусть K — поле PAC. Тогда K гильбертово тогда и только тогда, когда K ω-свободно.

Питер Рокетт доказал направление этой теоремы справа налево и предположил противоположное направление. Майкл Фрид и Гельмут Фёлкляйн применили алгебраическую топологию и комплексный анализ, чтобы доказать гипотезу Рокетта в нулевой характеристике. Поздний поп доказал теорему для произвольной характеристики, разработав « жесткое исправление ».

Ссылки

• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2004). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (2-е исправленное и дополненное изд.). Издательство Спрингер . ISBN  3-540-22811-Х . Збл   1055.12003 .
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001