круг Мора

Рисунок 1. Круги Мора для трехмерного напряженного состояния

Круг Мора — это двумерное графическое представление закона преобразования тензора напряжений Коши .

Круг Мора часто используется в расчетах, касающихся машиностроения для прочности материалов , геотехнической инженерии для прочности грунтов и строительной техники для прочности построенных конструкций. Он также используется для расчета напряжений во многих плоскостях путем сведения их к вертикальным и горизонтальным компонентам. Они называются главными плоскостями, в которых главные напряжения рассчитываются ; Круг Мора также можно использовать для нахождения главных плоскостей и главных напряжений в графическом представлении, и это один из самых простых способов сделать это.

После выполнения анализа напряжений материального тела, рассматриваемого как континуум , компоненты тензора напряжений Коши в конкретной материальной точке известны относительно системы координат . Затем круг Мора используется для графического определения компонентов напряжения, действующих на повернутую систему координат, т. е. действующих на по-разному ориентированную плоскость, проходящую через эту точку.

Абсцисса и ордината ( $\sigma _{\mathrm {n} }$, $\tau _{\mathrm {n} }$) каждой точки окружности — это величины составляющих нормального напряжения и касательного напряжения соответственно, действующих на повернутую систему координат. Другими словами, круг — это геометрическое место точек, которые представляют состояние напряжения на отдельных плоскостях во всех их ориентациях, где оси представляют собой главные оси элемента напряжения.

Немецкий инженер XIX века Карл Кульманн был первым, кто придумал графическое представление напряжений при учете продольных и вертикальных напряжений в горизонтальных балках во время изгиба . Его работа вдохновила немецкого инженера Кристиана Отто Мора (тезку круга), который распространил ее как на двух-, так и на трехмерные напряжения и разработал критерий разрушения, основанный на круге напряжений.

Альтернативные графические методы представления напряженного состояния в точке включают эллипсоид напряжений Ламе и квадрику напряжений Коши .

Круг Мора можно применить к любой симметричной матрице 2x2 тензорной , включая тензоры деформации и момента инерции .

Мотивация

Рис. 2. Напряжения в нагруженном деформируемом материальном теле, рассматриваемом как континуум.

Внутренние силы возникают между частицами деформируемого объекта, рассматриваемого как континуум , как реакция на приложенные внешние силы, т. е. либо поверхностные , либо объемные силы . Эта реакция следует из Эйлера законов движения континуума Ньютона , которые эквивалентны законам движения частицы . Мера интенсивности этих внутренних сил называется напряжением . Поскольку объект предполагается как континуум, эти внутренние силы непрерывно распределяются в объеме объекта.

В инженерии, например, в структурной , механической или геотехнической , распределение напряжений внутри объекта, например напряжений в горной массе вокруг туннеля, крыльев самолета или колонн зданий, определяется посредством анализа напряжений . Расчет распределения напряжений подразумевает определение напряжений в каждой точке (частице материала) объекта. Согласно Коши , напряжение в любой точке объекта (рис. 2), рассматриваемого как континуум, полностью определяется девятью компонентами напряжения. $\sigma _{ij}$ второго порядка тензора типа (2,0), известного как тензор напряжений Коши , ${\boldsymbol {\sigma }}$:

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]$

Рисунок 3. Трансформация напряжений в точке континуума в условиях плоского напряжения.

После определения распределения напряжений внутри объекта относительно системы координат. $(x,y)$, может возникнуть необходимость расчета составляющих тензора напряжений в конкретной материальной точке $P$ относительно повернутой системы координат $(x',y')$, то есть напряжения, действующие на плоскость с другой ориентацией, проходящей через эту интересующую точку, образуя угол с системой координат $(x,y)$ (Рисунок 3). Например, интересно найти максимальное нормальное напряжение и максимальное касательное напряжение, а также ориентацию плоскостей, на которые они действуют. Для этого необходимо выполнить тензорное преобразование при вращении системы координат. Из определения тензора тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора . Графическим представлением этого закона преобразования тензора напряжений Коши является круг Мора для напряжений.

Круг Мора для двумерного напряженного состояния

Рисунок 4. Компоненты напряжения на плоскости, проходящей через точку сплошной среды, в условиях плоского напряжения.

В двух измерениях тензор напряжений в данной материальной точке $P$ по отношению к любым двум перпендикулярным направлениям полностью определяется всего тремя компонентами напряжений. Для конкретной системы координат $(x,y)$ этими компонентами напряжения являются: нормальные напряжения $\sigma _{x}$ и $\sigma _{y}$, и напряжение сдвига $\tau _{xy}$. Из баланса угловых моментов можно продемонстрировать симметрию тензора напряжений Коши. Эта симметрия означает, что $\tau _{xy}=\tau _{yx}$. Таким образом, тензор напряжений Коши можно записать в виде:

${\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]$

Цель состоит в том, чтобы использовать круг Мора для нахождения компонентов напряжения. $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$ в повернутой системе координат $(x',y')$, т. е. на разноориентированной плоскости, проходящей через $P$ и перпендикулярно $x$- $y$ самолет (рис. 4). Повернутая система координат $(x',y')$ делает угол $\theta$ с исходной системой координат $(x,y)$.

Уравнение круга Мора

Чтобы вывести уравнение круга Мора для двумерных случаев плоского напряжения и плоской деформации , сначала рассмотрим двумерный бесконечно малый материальный элемент вокруг материальной точки. $P$ (рис. 4), с единичной площадью в направлении, параллельном $y$- $z$ плоскости, т. е. перпендикулярно странице или экрану.

Из равновесия сил на бесконечно малом элементе величины нормальных напряжений $\sigma _{\mathrm {n} }$ и напряжение сдвига $\tau _{\mathrm {n} }$ даны:

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta$

$\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta$

показывать Вывод параметрических уравнений круга Мора - Равновесие сил

From equilibrium of forces in the direction of $\sigma _{\mathrm {n} }$ ($x'$-axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where $\sigma _{\mathrm {n} }$ acts is $dA$, we have: $\ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _{y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta \\\end{aligned}}$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta$ Now, from equilibrium of forces in the direction of $\tau _{\mathrm {n} }$ ($y'$-axis) (Figure 4), and knowing that the area of the plane where $\tau _{\mathrm {n} }$ acts is $dA$, we have: $\ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta$

Оба уравнения можно получить также, применив закон тензорного преобразования к известному тензору напряжений Коши, что эквивалентно выполнению статического равновесия сил в направлении $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$.

показывать Вывод параметрических уравнений круга Мора - Тензорное преобразование

The stress tensor transformation law can be stated as ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}'&=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T}\\\left[{\begin{matrix}\sigma _{x'}&\tau _{x'y'}\\\tau _{y'x'}&\sigma _{y'}\\\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}a_{x}&a_{xy}\\a_{yx}&a_{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{x}&a_{yx}\\a_{xy}&a_{y}\\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{matrix}}\right]\end{aligned}}$ Expanding the right hand side, and knowing that $\sigma _{x'}=\sigma _{\mathrm {n} }$ and $\tau _{x'y'}=\tau _{\mathrm {n} }$, we have: $\sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta$ $\tau _{\mathrm {n} }=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)$ However, knowing that $\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{and}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ we obtain $\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta$ It is not necessary at this moment to calculate the stress component $\sigma _{y'}$ acting on the plane perpendicular to the plane of action of $\sigma _{x'}$ as it is not required for deriving the equation for the Mohr circle.

Эти два уравнения являются параметрическими уравнениями круга Мора. В этих уравнениях $2\theta$ является параметром, а $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$ это координаты. Это означает, что, выбрав систему координат с абсциссой $\sigma _{\mathrm {n} }$ и ордината $\tau _{\mathrm {n} }$, присваивая значения параметру $\theta$ разместит полученные точки лежащими на окружности.

Устранение параметра $2\theta$ из этих параметрических уравнений получится непараметрическое уравнение круга Мора. Этого можно добиться, переставив уравнения для $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$, сначала транспонируя первый член первого уравнения и возводя в квадрат обе части каждого из уравнений, а затем складывая их. Таким образом, мы имеем

${\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}$

где

$R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})$

Это уравнение окружности ( круг Мора) вида

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

с радиусом $r=R$ центрирован в точке с координатами $(a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)$ в $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ система координат.

Соглашения о подписании

Существует два отдельных набора соглашений о знаках, которые необходимо учитывать при использовании круга Мора: одно соглашение о знаках для компонентов напряжения в «физическом пространстве», а другое — для компонентов напряжения в «пространстве круга Мора». Кроме того, в рамках каждого из двух наборов соглашений о знаках литература по инженерной механике ( строительное проектирование и машиностроение ) придерживается другого соглашения о знаках, чем литература по геомеханике . Не существует стандартного соглашения о знаках, и на выбор конкретного соглашения о знаках влияет удобство вычислений и интерпретации для конкретной рассматриваемой проблемы. Более подробное объяснение этих соглашений о знаках представлено ниже.

Предыдущий вывод уравнения круга Мора с использованием рисунка 4 соответствует соглашению о знаках инженерной механики. В этой статье будет использоваться соглашение о знаках инженерной механики .

Соглашение о знаках физического пространства

Согласно соглашению о тензоре напряжений Коши (рис. 3 и рис. 4), первый индекс в компонентах напряжения обозначает грань, на которую действует компонент напряжения, а второй индекс указывает направление компонента напряжения. Таким образом $\tau _{xy}$ - касательное напряжение, действующее на грань с вектором нормали в положительном направлении $x$-оси и в положительном направлении $y$-ось.

В соответствии с соглашением о знаках физического пространства положительные нормальные напряжения направлены наружу к плоскости действия (растяжение), а отрицательные нормальные напряжения — внутрь плоскости действия (сжатие) (рис. 5).

В соглашении о знаках физического пространства положительные напряжения сдвига действуют на положительные грани материального элемента в положительном направлении оси. Кроме того, положительные касательные напряжения действуют на отрицательные грани материального элемента в отрицательном направлении оси. Положительная грань имеет вектор нормали в положительном направлении оси, а отрицательная грань имеет вектор нормали в отрицательном направлении оси. Например, касательные напряжения $\tau _{xy}$ и $\tau _{yx}$ позитивны, потому что действуют на позитивные лица, а также действуют в позитивном направлении. $y$-ось и $x$-ось соответственно (рис. 3). Аналогично, соответствующие противоположные напряжения сдвига $\tau _{xy}$ и $\tau _{yx}$ действующие в отрицательных лицах имеют отрицательный знак, потому что они действуют в отрицательном направлении $x$-ось и $y$- ось соответственно.

Соглашение о знаках Мора, круга и пространства

Рисунок 5. Условные знаки инженерной механики для рисования круга Мора. Эта статья соответствует соглашению о знаках № 3, как показано.

В соглашении о знаках Мора-круга-пространства нормальные напряжения имеют тот же знак, что и нормальные напряжения в соглашении о знаках физического пространства: положительные нормальные напряжения действуют наружу, в плоскость действия, а отрицательные нормальные напряжения действуют внутрь, в плоскость действия.

Однако касательные напряжения имеют другое соглашение в пространстве круга Мора по сравнению с соглашением в физическом пространстве. В соответствии с соглашением о знаках круга Мора и пространства положительные сдвиговые напряжения вращают материальный элемент в направлении против часовой стрелки, а отрицательные сдвиговые напряжения вращают материал в направлении по часовой стрелке. Таким образом, компонента напряжения сдвига $\tau _{xy}$ положительна в пространстве кругов Мора, а компонента касательного напряжения $\tau _{yx}$ отрицательна в пространстве кругов Мора.

Существуют два варианта изображения пространства круга Мора, которые создают математически правильный круг Мора:

1. Положительные касательные напряжения отображаются вверх (рис. 5, соглашение о знаках № 1).
2. Положительные касательные напряжения отложены вниз, т. е. $\tau _{\mathrm {n} }$-ось инвертирована (рис. 5, соглашение о знаках № 2).

Отображение положительных сдвиговых напряжений вверх дает угол $2\theta$ на круге Мора имеют положительное вращение по часовой стрелке, что противоречит правилам физического пространства. Именно поэтому некоторые авторы предпочитаю строить положительные напряжения сдвига вниз, что делает угол $2\theta$ на круге Мора имеют положительное вращение против часовой стрелки, аналогично соглашению о физическом пространстве для касательных напряжений.

Чтобы преодолеть «проблему» расположения оси напряжения сдвига вниз в пространстве круга Мора, существует альтернативное соглашение о знаках, где предполагается, что положительные напряжения сдвига вращают материальный элемент по часовой стрелке, а отрицательные напряжения сдвига — для вращения элемента. материального элемента в направлении против часовой стрелки (рисунок 5, вариант 3). Таким образом, положительные касательные напряжения откладываются вверх в пространстве круга Мора, а угол $2\theta$ имеет положительное вращение против часовой стрелки в пространстве круга Мора. Это альтернативное соглашение о знаках создает круг, который идентичен соглашению о знаках № 2 на рисунке 5, поскольку положительное напряжение сдвига $\tau _{\mathrm {n} }$ также представляет собой напряжение сдвига против часовой стрелки, и оба они показаны вниз. Кроме того, отрицательное напряжение сдвига $\tau _{\mathrm {n} }$ представляет собой напряжение сдвига по часовой стрелке, и оба графика показаны вверх.

Эта статья соответствует соглашению о знаках инженерной механики для физического пространства и альтернативному соглашению о знаках для пространства круга Мора (соглашение о знаках № 3 на рисунке 5).

Рисование круга Мора

Рисунок 6. Круг Мора для условий плоского напряжения и плоской деформации (подход двойного угла) . После стресс-анализа компоненты стресса $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, и $\tau _{xy}$ в материальной точке $P$ известны. Эти компоненты напряжения действуют в двух перпендикулярных плоскостях. $A$ и $B$ проходя через $P$. Координаты точки $A$ и $B$ на круге Мора — компоненты напряжений, действующие на плоскости $A$ и $B$ материального элемента соответственно. Затем круг Мора используется для нахождения компонентов напряжения. $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$, т. е. координаты любой точки напряжения $D$ на окружности, действующей в любой другой плоскости $D$ проходя через $P$. Угол между линиями ${\overline {OB}}$ и ${\overline {OD}}$ в два раза больше угла $\theta$ между векторами нормалей плоскостей $B$ и $D$ проходя через $P$.

Предполагая, что мы знаем компоненты стресса $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, и $\tau _{xy}$ в какой-то момент $P$ в исследуемом объекте, как показано на рисунке 4, следующие этапы построения круга Мора для состояния напряжений при $P$:

1. Нарисуйте декартову систему координат $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ с горизонтальным $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось и вертикаль $\tau _{\mathrm {n} }$-ось.
2. Постройте две точки $A(\sigma _{y},\tau _{xy})$ и $B(\sigma _{x},-\tau _{xy})$ в $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ пространство, соответствующее известным компонентам напряжения в обеих перпендикулярных плоскостях $A$ и $B$соответственно (рис. 4 и 6), в соответствии с выбранным соглашением о знаках.
3. Нарисуйте диаметр круга, соединив точки. $A$ и $B$ с прямой линией ${\overline {AB}}$.
4. Нарисуйте круг Мора . Центр $O$ окружности является серединой линии диаметра ${\overline {AB}}$, что соответствует пересечению этой линии с $\sigma _{\mathrm {n} }$ ось.

Нахождение главных нормальных напряжений

Напряженные компоненты на 2D вращающемся элементе . Нажмите, чтобы увидеть анимацию . Пример того, как изменяются компоненты напряжений на гранях (краях) прямоугольного элемента при изменении угла его ориентации. Главные напряжения возникают, когда касательные напряжения одновременно исчезают со всех граней. Ориентация, при которой это происходит, дает основные направления . В этом примере, когда прямоугольник горизонтален, напряжения определяются выражением $\left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}-10&10\\10&15\end{matrix}}\right].$ Соответствующее изображение круга Мора показано внизу.

Величины главных напряжений представляют собой абсциссы точек $C$ и $E$ (Рисунок 6), где круг пересекает $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось. Величина главного главного напряжения $\sigma _{1}$ всегда является наибольшим абсолютным значением абсцисс любой из этих двух точек. Аналогично, величина малого главного напряжения $\sigma _{2}$ всегда является наименьшим абсолютным значением абсцисс этих двух точек. Как и ожидалось, ординаты этих двух точек равны нулю, что соответствует величине компонентов касательного напряжения на главных плоскостях. Альтернативно значения главных напряжений можно найти по формуле

$\sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R$

$\sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R$

где величина среднего нормального напряжения $\sigma _{\text{avg}}$ это абсцисса центра $O$, заданный

$\sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})$

и длина радиуса $R$ окружности (на основе уравнения окружности, проходящей через две точки), определяется выражением

$R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}$

Нахождение максимального и минимального напряжения сдвига

Максимальное и минимальное касательные напряжения соответствуют ординатам самой высокой и самой низкой точки окружности соответственно. Эти точки расположены на пересечении круга с вертикальной линией, проходящей через центр круга, $O$. Таким образом, величина максимального и минимального касательных напряжений равна значению радиуса окружности. $R$

$\tau _{\max ,\min }=\pm R$

Нахождение составляющих напряжений на произвольной плоскости

Как упоминалось ранее, после выполнения двумерного анализа напряжений мы знаем компоненты напряжения. $\sigma _{x}$, $\sigma _{y}$, и $\tau _{xy}$ в материальной точке $P$. Эти компоненты напряжений действуют в двух перпендикулярных плоскостях. $A$ и $B$ проходя через $P$ как показано на рисунках 5 и 6. Круг Мора используется для нахождения компонентов напряжения $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$, т. е. координаты любой точки $D$ на окружности, действующей в любой другой плоскости $D$ проходя через $P$ делая угол $\theta$ с самолетом $B$. Для этого можно использовать два подхода: двойной угол и полюс или начало плоскостей.

Двойной угол

Как показано на рисунке 6, для определения составляющих напряжений $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ действие в самолете $D$ под углом $\theta$ против часовой стрелки к плоскости $B$ на котором $\sigma _{x}$ действует, мы путешествуем под углом $2\theta$ в том же направлении против часовой стрелки по кругу от известной точки напряжения $B(\sigma _{x},-\tau _{xy})$ указывать $D(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$, то есть угол $2\theta$ между строк ${\overline {OB}}$ и ${\overline {OD}}$ в круге Мора.

Подход двойного угла основан на том факте, что угол $\theta$ между векторами нормалей к любым двум физическим плоскостям, проходящим через $P$ (Рисунок 4) представляет собой половину угла между двумя линиями, соединяющими соответствующие точки напряжения. $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ на круге Мора и в центре круга.

Это соотношение двойного угла возникает из-за того, что параметрические уравнения круга Мора являются функцией $2\theta$. Также видно, что самолеты $A$ и $B$ в материальном элементе вокруг $P$ на рисунке 5 разделены углом $\theta =90^{\circ }$, который в круге Мора представлен $180^{\circ }$ угол (удвоенный угол).

Полюс или происхождение самолетов

Рисунок 7. Круг Мора для условий плоского напряжения и плоской деформации (полюсный подход). Любая прямая линия, проведенная от полюса, будет пересекать круг Мора в точке, которая представляет состояние напряжения на плоскости, наклоненной в той же ориентации (параллельной) в пространстве, что и эта линия.

Второй подход предполагает определение точки на круге Мора, называемой полюсом или началом плоскостей . Любая прямая линия, проведенная от полюса, будет пересекать круг Мора в точке, которая представляет состояние напряжения на плоскости, наклоненной в той же ориентации (параллельной) в пространстве, что и эта линия. Поэтому, зная компоненты напряжения $\sigma$ и $\tau$ на любой конкретной плоскости можно провести линию, параллельную этой плоскости, через определенные координаты $\sigma _{\mathrm {n} }$ и $\tau _{\mathrm {n} }$ на круге Мора и найти полюс как пересечение этой прямой с кругом Мора. В качестве примера предположим, что у нас есть стрессовое состояние с компонентами стресса. $\sigma _{x},\!$, $\sigma _{y},\!$, и $\tau _{xy},\!$, как показано на рисунке 7. Сначала мы можем провести линию от точки $B$ параллельно плоскости действия $\sigma _{x}$, или, если мы выберем иное, линию из точки $A$ параллельно плоскости действия $\sigma _{y}$. Пересечение любой из этих двух линий с кругом Мора является полюсом. После определения полюса необходимо найти состояние напряжения на плоскости, составляющей угол $\theta$ с вертикалью или, другими словами, плоскостью, вектор нормали которой образует угол $\theta$ с горизонтальной плоскостью, то мы можем провести линию от полюса, параллельную этой плоскости (см. рисунок 7). Нормальные и касательные напряжения в этой плоскости тогда являются координатами точки пересечения линии и круга Мора.

Нахождение ориентации главных плоскостей

Ориентацию плоскостей, в которых действуют максимальное и минимальное главные напряжения, также известных как главные плоскости , можно определить, измерив в круге Мора углы ∠BOC и ∠BOE соответственно и взяв половину каждого из этих углов. Таким образом, угол ∠BOC между ${\overline {OB}}$ и ${\overline {OC}}$ в два раза больше угла $\theta _{p}$ которую главная главная плоскость образует с плоскостью $B$.

Углы $\theta _{p1}$ и $\theta _{p2}$ также можно найти из следующего уравнения

$\tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{y}-\sigma _{x}}}$

Это уравнение определяет два значения для $\theta _{\mathrm {p} }$ которые $90^{\circ }$ друг от друга (рис.). Это уравнение можно вывести непосредственно из геометрии круга или составив параметрическое уравнение круга для $\tau _{\mathrm {n} }$ равна нулю (касательное напряжение в главных плоскостях всегда равно нулю).

Пример

Рисунок 8

Рисунок 9

Предположим, что материальный элемент находится в состоянии напряжения, как показано на рисунках 8 и 9, причем плоскость одной из его сторон ориентирована под углом 10° к горизонтальной плоскости.Используя круг Мора, найдите:

• Ориентация их плоскостей действия.
• Максимальные касательные напряжения и ориентация плоскостей их действия.
• Компоненты напряжений в горизонтальной плоскости.

Проверьте ответы, используя формулы преобразования напряжений или закон преобразования напряжений.

Решение: Следуя соглашению о знаках инженерной механики для физического пространства (рис. 5), компоненты напряжения для материального элемента в этом примере таковы:

$\sigma _{x'}=-10{\textrm {MPa}}$

$\sigma _{y'}=50{\textrm {MPa}}$

$\tau _{x'y'}=40{\textrm {MPa}}$.

Следуя инструкциям по рисованию круга Мора для этого конкретного состояния напряжения, мы сначала рисуем декартову систему координат. $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ с $\tau _{\mathrm {n} }$- ось вверх.

Затем мы наносим на график две точки A(50,40) и B(-10,-40), представляющие состояние напряжения в плоскостях A и B, как показано на рисунках 8 и 9. Эти точки соответствуют соглашению о знаках инженерной механики для Пространство круга Мора (рис. 5), которое предполагает положительные нормальные напряжения, исходящие наружу от материального элемента, и положительные касательные напряжения в каждой плоскости, вращающей материальный элемент по часовой стрелке. Таким образом, касательное напряжение, действующее на плоскость B, отрицательно, а касательное напряжение, действующее на плоскость A, положительно.Диаметр круга — это линия, соединяющая точки А и В. Центр круга — это пересечение этой линии с $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось. Зная расположение центра и длину диаметра, мы можем построить круг Мора для этого конкретного состояния напряжения.

Абсцисы обеих точек E и C (рис. 8 и рис. 9), пересекающие $\sigma _{\mathrm {n} }$-ось — величины минимального и максимального нормальных напряжений соответственно; ординаты обеих точек E и C представляют собой величины касательных напряжений, действующих как на второстепенную, так и на большую главные плоскости соответственно, которые равны нулю для главных плоскостей.

Несмотря на то, что идея использования круга Мора состоит в том, чтобы графически найти различные компоненты напряжения путем фактического измерения координат различных точек на круге, удобнее подтверждать результаты аналитически. Таким образом, радиус и абсцисса центра окружности равны

${\begin{aligned}R&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\&={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(-10-50)\right]^{2}+40^{2}}}\\&=50{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {avg} }&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\\&={\tfrac {1}{2}}(-10+50)\\&=20{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

и главные напряжения

${\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{\mathrm {avg} }+R\\&=70{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{\mathrm {avg} }-R\\&=-30{\textrm {MPa}}\\\end{aligned}}$

Координаты обеих точек H и G (рис. 8 и рис. 9) представляют собой величины минимального и максимального касательных напряжений соответственно; по оси абсцисс для обеих точек H и G показаны величины нормальных напряжений, действующих в тех же плоскостях, где действуют соответственно минимальное и максимальное касательные напряжения.Величины минимального и максимального касательных напряжений можно найти аналитически по формуле:

$\tau _{\max ,\min }=\pm R=\pm 50{\textrm {MPa}}$

а нормальные напряжения, действующие в тех же плоскостях, где действуют минимальное и максимальное касательные напряжения, равны $\sigma _{\mathrm {avg} }$

Мы можем выбрать либо использовать подход двойного угла (рис. 8), либо подход полюса (рис. 9), чтобы найти ориентацию главных нормальных напряжений и главных касательных напряжений.

Используя подход двойного угла, мы измеряем углы ∠BOC и ∠BOE в круге Мора (рис. 8), чтобы найти двойной угол, который большее главное напряжение и меньшее главное напряжение составляют с плоскостью B в физическом пространстве. Чтобы получить более точное значение этих углов, вместо измерения углов вручную мы можем использовать аналитическое выражение

${\begin{aligned}2\theta _{\mathrm {p} }=\arctan {\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}=\arctan {\frac {2*40}{(-10-50)}}=-\arctan {\frac {4}{3}}\end{aligned}}$

Одно из решений: $2\theta _{p}=-53.13^{\circ }$.Судя по рисунку 8, это значение соответствует углу ∠BOE. Таким образом, малый главный угол равен

$\theta _{p2}=-26.565^{\circ }$

Тогда большой главный угол равен

${\begin{aligned}2\theta _{p1}&=180-53.13^{\circ }=126.87^{\circ }\\\theta _{p1}&=63.435^{\circ }\\\end{aligned}}$

Помните, что в этом конкретном примере $\theta _{p1}$ и $\theta _{p2}$ представляют собой углы относительно плоскости действия $\sigma _{x'}$ (ориентирован на $x'$-ось), а не углы относительно плоскости действия $\sigma _{x}$ (ориентирован на $x$-ось).

Используя подход полюса, мы сначала локализуем полюс или начало координат плоскостей. Для этого проведем через точку А на круге Мора линию, наклоненную под углом 10° к горизонту, или, другими словами, линию, параллельную плоскости А, где $\sigma _{y'}$ действует. Полюс – это место, где эта линия пересекает круг Мора (рис. 9). Чтобы подтвердить местоположение полюса, мы могли бы провести линию через точку B на круге Мора параллельно плоскости B, где $\sigma _{x'}$ действует. Эта линия также пересекала бы круг Мора на полюсе (рис. 9).

От полюса проводим линии к разным точкам круга Мора. Координаты точек пересечения этих линий с кругом Мора указывают компоненты напряжений, действующие на плоскость в физическом пространстве, имеющую тот же наклон, что и линия. Например, линия от полюса до точки С в круге имеет тот же наклон, что и плоскость в физическом пространстве, где $\sigma _{1}$ действует. Эта плоскость составляет угол 63,435° с плоскостью B как в пространстве круга Мора, так и в физическом пространстве. Таким же образом проводят линии от полюса до точек E, D, F, G и H, чтобы найти компоненты напряжений на плоскостях с одинаковой ориентацией.

Круг Мора для общего трехмерного напряженного состояния.

Рисунок 10. Круг Мора для трехмерного напряженного состояния

Для построения круга Мора для общего трехмерного случая напряжений в точке значения главных напряжений $\left(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}\right)$ и их основные направления $\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)$ необходимо сначала оценить.

Рассматривая в качестве системы координат главные оси вместо общей $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ системе координат и предполагая, что $\sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}$, то нормальная и сдвиговая составляющие вектора напряжений $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}$, для данной плоскости с единичным вектором $\mathbf {n}$, удовлетворяют следующим уравнениям

${\begin{aligned}\left(T^{(n)}\right)^{2}&=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}\\\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}\end{aligned}}$

$\sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}.$

Зная это $n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1$, мы можем решить $n_{1}^{2}$, $n_{2}^{2}$, $n_{3}^{2}$, используя метод исключения Гаусса, который дает

${\begin{aligned}n_{1}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})}{(\sigma _{1}-\sigma _{2})(\sigma _{1}-\sigma _{3})}}\geq 0\\n_{2}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})}{(\sigma _{2}-\sigma _{3})(\sigma _{2}-\sigma _{1})}}\geq 0\\n_{3}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})}{(\sigma _{3}-\sigma _{1})(\sigma _{3}-\sigma _{2})}}\geq 0.\end{aligned}}$

С $\sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}$, и $(n_{i})^{2}$ неотрицательен, числители этих уравнений удовлетворяют

$\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})\geq 0$ как знаменатель $\sigma _{1}-\sigma _{2}>0$ и $\sigma _{1}-\sigma _{3}>0$

$\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})\leq 0$ как знаменатель $\sigma _{2}-\sigma _{3}>0$ и $\sigma _{2}-\sigma _{1}<0$

$\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})\geq 0$ как знаменатель $\sigma _{3}-\sigma _{1}<0$ и $\sigma _{3}-\sigma _{2}<0.$

Эти выражения можно переписать как

${\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\right)^{2}\\\end{aligned}}$

которые представляют собой уравнения трех кругов Мора для напряжений $C_{1}$, $C_{2}$, и $C_{3}$, с радиусами $R_{1}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})$, $R_{2}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})$, и $R_{3}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})$, и их центры с координатами $\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3}),0\right]$, $\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3}),0\right]$, $\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}),0\right]$, соответственно.

Эти уравнения для кругов Мора показывают, что все допустимые точки напряжения $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ лежат на этих кругах или внутри заштрихованной ими области (см. рисунок 10). Точки стресса $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ удовлетворяющее уравнению для круга $C_{1}$ лежать на круге или за его пределами $C_{1}$. Точки стресса $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ удовлетворяющее уравнению для круга $C_{2}$ лежать на круге или внутри круга $C_{2}$. И наконец, точки стресса $(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })$ удовлетворяющее уравнению для круга $C_{3}$ лежать на круге или за его пределами $C_{3}$.

См. также

• Анализ критической плоскости

Библиография

• Пиво, Фердинанд Пьер; Элвуд Рассел Джонстон; Джон Т. ДеВольф (1992). Механика материалов . МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN  0-07-112939-1 .
• Брэди, БХГ; Э. Т. Браун (1993). Механика горных пород для подземных горных работ (Третье изд.). Академическое издательство Клювер. стр. 17–29. ISBN  0-412-47550-2 .
• Дэвис, Р.О.; Сельвадурай. АПС (1996). Упругость и геомеханика . Издательство Кембриджского университета. стр. 16–26. ISBN  0-521-49827-9 .
• Хольц, Роберт Д.; Ковач, Уильям Д. (1981). Введение в инженерно-геологическую инженерию . Серия «Прентис-Холл» по гражданскому строительству и инженерной механике. Прентис-Холл. ISBN  0-13-484394-0 .
• Джагер, Джон Конрад; Кук, НГВ; Циммерман, RW (2007). Основы механики горных пород (Четвертое изд.). Уайли-Блэквелл. стр. 9–41. ISBN  978-0-632-05759-7 .
• Юмикис, Альфредс Р. (1969). Теоретическая механика грунтов: с практическим применением в механике грунтов и фундаментостроении . компании Ван Ностранд Рейнхольд ISBN  0-442-04199-3 .
• Парри, Ричард Хоули Грей (2004). Круги Мора, пути напряжений и геотехника (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. стр. 1–30. ISBN  0-415-27297-1 .
• Тимошенко, Стивен П .; Джеймс Норман Гудиер (1970). Теория упругости (Третье изд.). McGraw-Hill International Editions. ISBN  0-07-085805-5 .
• Тимошенко, Стивен П. (1983). История сопротивления материалов: с кратким изложением истории теории упругости и теории конструкций . Дуврские книги по физике. Дуврские публикации. ISBN  0-486-61187-6 .

Внешние ссылки

• Круг Мора и другие круги Ребекки Брэннон
• Пакет преподавания и обучения DoITPoMS - «Анализ стресса и круг Мора»