Генерализованный обратный

«Псевдоипверские» перенаправления здесь. Для обратного Moore -Penrose, иногда называемой «псевдоизонной», см. Moore -Penrose Inverse .

В математике и, в частности, алгебры , обобщенная обратная (или G-обратная ) элемента x является элементом Y , который обладает некоторыми свойствами обратного элемента , но не обязательно их. Целью построения обобщенной обратной связи матрицы является получение матрицы, которая может служить обратной в некотором смысле для более широкого класса матриц, чем снабженные матрицы . Обобщенные конверты могут быть определены в любой математической структуре , которая включает в себя ассоциативное умножение, то есть в полугруппе . В этой статье описываются обобщенные образы матрицы $A$.

Матрица $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ является обобщенным обратным матрицей $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ если $AA^{\mathrm {g} }A=A.$ Обобщенное обратное существует для произвольной матрицы, и когда матрица имеет регулярную обратную , это обратное - его уникальный обобщенный обратный.

Мотивация

Рассмотрим линейную систему

$Ax=y$

где $A$ является $n\times m$ Матрица и $y\in {\mathcal {C}}(A),$ Колоночное пространство ​ $A$Полем Если $n=m$ и $A$ нельзя ​ тогда $x=A^{-1}y$ будет решением системы. Обратите внимание, что, если $A$ Тогда нельзя

$AA^{-1}A=A.$

Теперь предположим $A$ прямоугольный ( $n\neq m$), или квадратный и единственный. Тогда нам нужен правильный кандидат $G$ порядка $m\times n$ так что для всех $y\in {\mathcal {C}}(A),$

$AGy=y.$

То есть, $x=Gy$ это решение линейной системы $Ax=y$Полем Эквивалентно, нам нужна матрица $G$ порядка $m\times n$ так что

$AGA=A.$

Следовательно, мы можем определить обобщенную обратную работу следующим образом: Учитывая $m\times n$ матрица $A$, an $n\times m$ матрица $G$ Говорят, что является обобщенным обратным $A$ если $AGA=A.$‍ Матрица $A^{-1}$ был назван регулярным обратным $A$ некоторыми авторами.

Типы

Важные типы обобщенных обратных включают:

• Односторонний обратный (правый обратный или левый обратный)
  • Прямо обратный: если матрица $A$ имеет размеры $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=n$, тогда существует $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ называется правой обратной $A$ так что $AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}$, где $I_{n}$ является $n\times n$ Матрица личности .
  • Оставленный обратным: если матрица $A$ имеет размеры $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=m$, тогда существует $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {L} }^{-1}$ называется левым обратным $A$ так что $A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}$, где $I_{m}$ является $m\times m$ Матрица личности.
• Bott - Duffin обратный
• Дразин обратный
• Мур -пенроуза обратная

Некоторые обобщенные образы определяются и классифицируются на основе условий Penrose:

1. $AA^{\mathrm {g} }A=A$
2. $A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
3. $(AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }$
4. $(A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,$

где ${}^{*}$ Обозначает сопряженное транспонирование. Если $A^{\mathrm {g} }$ удовлетворяет первое условие, тогда это обобщенное обратное $A$Полем Если он удовлетворяет первые два условия, то это рефлексивный генерализованный обратный $A$Полем удовлетворяет всем четырем условиям, то это псевдоизонт Если он $A$, который обозначается $A^{+}$ и также известный как Moore -Penrose Inverse , после новаторских произведений Эх Мур и Роджера Пенроуза . Удобно определить $I$-инверный из $A$ как обратный, который удовлетворяет подмножеству $I\subset \{1,2,3,4\}$ из условий Пенроуза, перечисленных выше. Отношения, такие как $A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}$, может быть установлен между этими различными классами $I$-Интерс.

Когда $A$ это не сжигальный, любой генерализованный обратный $A^{\mathrm {g} }=A^{-1}$ и поэтому уникальен. Для единственного числа $A$Некоторые обобщенные конверты, такие как Drazin Inverse и Moore -Penrose Inverse, являются уникальными, в то время как другие не обязательно определены уникально.

Примеры

Рефлексивный генерализованный обратный

Позволять

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.$

С $\det(A)=0$, $A$ единственный и не имеет регулярного обратного. Однако, $A$ и $G$ Удовлетворяйте условия Пенроуза (1) и (2), но не (3) или (4). Следовательно, $G$ рефлексивный генерализованный обратный $A$.

Односторонний обратный

Позволять

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.$

С $A$ не квадрат, $A$ не имеет регулярного обратного. Однако, $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ является правым обратным $A$Полем Матрица $A$ не осталось обратно.

Обратный из других полугрупп (или колец)

Элемент B является обобщенным обратным элементом A, если и только тогда, когда $a\cdot b\cdot a=a$, в любой полугруппе (или кольце , поскольку функция умножения на любом кольце является полугруппой).

Обобщенные конверты элемента 3 на кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ 3, 7 и 11, так как на ринге $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$:

$3\cdot 3\cdot 3=3$

$3\cdot 7\cdot 3=3$

$3\cdot 11\cdot 3=3$

Обобщенные конверты элемента 4 на кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ 1, 4, 7 и 10, так как на ринге $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$:

$4\cdot 1\cdot 4=4$

$4\cdot 4\cdot 4=4$

$4\cdot 7\cdot 4=4$

$4\cdot 10\cdot 4=4$

Если элемент А в полугруппе (или кольце) имеет обратную, обратную, должна быть единственным обобщенным обратным из этого элемента, например, элементы 1, 5, 7 и 11 на кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$.

На ринге $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$, любой элемент является обобщенным обратным 0, однако, 2 не имеет обобщенного обратного, поскольку в B в B в B $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ так что $2\cdot b\cdot 2=2$.

Строительство

Следующие характеристики легко проверить:

• Право обратной матрицы, не являющейся площадью $A$ дано $A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}$, предоставил $A$ имеет полный ряд.
• Левая обратная матрица, не являющуюся квадратной площадкой $A$ дано $A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }$, предоставил $A$ имеет полный рейтинг столбца.
• Если $A=BC$ это факторизация ранга , тогда $G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}$ является G-нежелательным $A$, где $C_{\mathrm {R} }^{-1}$ является правым обратным $C$ и $B_{\mathrm {L} }^{-1}$ остается обратным $B$.
• Если $A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$ для любых не-союзных матриц $P$ и $Q$, затем $G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$ является обобщенным обратным $A$ для произвольного $U,V$ и $W$.
• Позволять $A$ быть ранг $r$Полем Без потери общности, пусть $$A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},$$где $B_{r\times r}$ это не-сняльная подводка $A$Полем Затем, $$G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$$является обобщенным обратным $A$ тогда и только тогда $E=DB^{-1}C$.

Использование

Любой генерализованный обратный может быть использован для определения того, имеет ли система линейных уравнений какие -либо решения, и если да, чтобы дать им все. Если существуют какие -либо решения для n × m линейной системы

$Ax=b$,

с вектором $x$ неизвестных и вектора $b$ констант все решения даются

$x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w$,

параметрический на произвольном векторе $w$, где $A^{\mathrm {g} }$ Является ли общий обратный $A$Полем Решения существуют, если и только тогда $A^{\mathrm {g} }b$ это решение, то есть тогда и только тогда $AA^{\mathrm {g} }b=b$Полем Если A имеет полное ранжирование столбца, то выражение скобки в этом уравнении является нулевой матрицей, и поэтому решение является уникальным.

Генерализованные образы матриц

Обобщенные образы матриц можно охарактеризовать следующим образом. Позволять $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, и

$$A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }$$

быть его единственным декомпозицией . Затем для любого генерализованного обратного $A^{g}$, существует матрицы $X$, $Y$, и $Z$ так что

$$A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.$$

Наоборот, любой выбор $X$, $Y$, и $Z$ для матрицы этой формы является обобщенным обратным $A$. А $\{1,2\}$-инверсы -это именно те, для которых $Z=Y\Sigma _{1}X$, $\{1,3\}$-инверсы -это именно те, для которых $X=0$и $\{1,4\}$-инверсы -это именно те, для которых $Y=0$Полем В частности, псевдоинверно определяется $X=Y=Z=0$:

$$A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.$$

Свойства консистенции преобразования

В практических приложениях необходимо определить класс матричных преобразований, которые должны быть сохранены с помощью обобщенного обратного. Например, Moore -Penrose Inverse, $A^{+},$ Удовлетворяет следующее определение согласованности в отношении преобразований, связанных с унитарными матрицами U и V :

$(UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}$.

Дразин обратный, $A^{\mathrm {D} }$ Удовлетворяет следующее определение согласованности в отношении преобразований сходства, включающих в себя несуществующую : матрицу

$\left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}$.

Устойчивый (UC) обратный, $A^{\mathrm {U} },$ Удовлетворяет следующее определение согласованности в отношении преобразований, включающих несширные диагональные матрицы D и E :

$(DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}$.

Тот факт, что Moore -Penrose Reverse обеспечивает согласованность в отношении вращений (которые представляют собой ортонормальные преобразования), объясняет его широкое использование в физике и других приложениях, при которых необходимо сохранить евклидовые расстояния. UC обратный, напротив, применим, когда ожидается, что поведение системы будет инвариантным в отношении выбора единиц на разных переменных состояния, например, мили против километров.

Смотрите также

• Блок -матрица псевдоинверно
• Регулярная полугруппа

Источники

Учебник

• Бен-Исраэль, Ади ; Гревилл, Томас Налл Эден (2003). Обобщенные конверты: теория и приложения (2 -е изд.). Нью -Йорк, Нью -Йорк: Спрингер. doi : 10.1007/b97366 . ISBN  978-0-387-00293-4 .
• Кэмпбелл, Стивен Л.; Мейер, Карл Д. (1991). Обобщенные образы линейных преобразований . Дувр. ISBN  978-0-486-66693-8 .
• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-38632-6 .
• Накамура, Йошихико (1991). Расширенная робототехника: избыточность и оптимизация . Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0201151985 .
• Рао, С. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Генерализованный обратный из матриц и их применений . Нью -Йорк: Джон Уайли и сыновья. С. 240 . ISBN  978-0-471-70821-6 .

Публикация

• Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенное обратное». Математическая газета . 62 (420): 109–114. doi : 10.2307/3617665 . JSTOR   3617665 .
• Ульманн, Джеффри К. (2018). «Обобщенная матрица, которая согласуется с диагональными преобразованием» (PDF) . Siam Journal по анализу и приложениям . 239 (2): 781–800. doi : 10.1137/17m113890x .
• Чжэн, Бинг; Бапат, Равиндра (2004). «Обобщенное обратное a (2) t, s и уравнение ранга». Прикладная математика и вычисления . 155 (2): 407–415. doi : 10.1016/s0096-3003 (03) 00786-0 .