Интерферометр Фабри – Перо

«Эталон» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о французской коммуне, см. Эталон, Сомма . Информацию о эталонном стандарте см. в разделе «Стандарт (метрология)» .

Интерференционные полосы с тонкой структурой из эталона Фабри – Перо. Источником является охлаждаемая дейтериевая лампа .

В оптике интерферометр Фабри-Перо ( ИФП ) или эталон представляет собой оптический резонатор, состоящий из двух параллельных отражающих поверхностей (например, тонких зеркал ). Оптические волны могут проходить через оптический резонатор только тогда, когда они находятся в резонансе с ним . Он назван в честь Чарльза Фабри и Альфреда Перо , разработавших этот инструмент в 1899 году. Эталон происходит от французского étalon , что означает «измерительный прибор» или «стандарт».

Эталоны широко используются в телекоммуникациях , лазерах и спектроскопии для контроля и измерения длин волн света. Последние достижения в технологии изготовления позволяют создавать очень точные перестраиваемые интерферометры Фабри – Перо. Технически устройство представляет собой интерферометр , когда расстояние между двумя поверхностями (а вместе с ним и длину резонанса) можно изменить, и эталон, когда расстояние фиксировано (однако эти два термина часто используются как синонимы).

Основное описание

Интерферометр Фабри – Перо, использующий пару частично отражающих, слегка заклиненных оптических плоскостей. На этой иллюстрации угол клина сильно преувеличен; на самом деле необходима лишь доля градуса, чтобы избежать появления призрачных полос. Изображения с низкой четкостью по сравнению с изображениями с высокой четкостью соответствуют отражательной способности зеркала 4% (голое стекло) и 95%.

Сердцем интерферометра Фабри-Перо является пара частично отражающих стеклянных оптических плоскостей, расположенных на расстоянии от микрометра до сантиметра друг от друга, причем отражающие поверхности обращены друг к другу. Фабри – Перо (В качестве альтернативы в эталоне используется одна пластина с двумя параллельными отражающими поверхностями.) Плоские поверхности в интерферометре часто имеют клиновидную форму, чтобы предотвратить образование интерференционных полос на задних поверхностях; задние поверхности часто также имеют антибликовое покрытие .

В типичной системе освещение обеспечивается диффузным источником, установленным в фокальной плоскости линзы коллимирующей . Фокусирующая линза после пары плоских граней создавала бы перевернутое изображение источника, если бы плоских граней не было; весь свет, излучаемый из точки источника, фокусируется в одной точке плоскости изображения системы. На прилагаемой иллюстрации прослеживается только один луч, испускаемый из точки А источника. Когда луч проходит через парные плоскости, он неоднократно отражается, образуя множество прошедших лучей, которые собираются фокусирующей линзой и доводятся до точки А' на экране. Полная интерференционная картина имеет вид набора концентрических колец. Резкость колец зависит от отражательной способности лезвий. Если отражательная способность высока, что приводит к высокой добротности , монохроматический свет создает набор узких ярких колец на темном фоне. Говорят, что интерферометр Фабри-Перо с высокой добротностью обладает высокой точностью .

Приложения

Коммерческое устройство Фабри – Перо.

Телекоммуникации

Телекоммуникационные сети, использующие мультиплексирование с разделением по длине волны, имеют мультиплексоры ввода-вывода с наборами миниатюрных настроенных из плавленого кварца или алмазов эталонов . Это небольшие переливающиеся кубики со стороной около 2 мм, смонтированные в небольших высокоточных стойках. Материалы выбираются так, чтобы поддерживать стабильные расстояния между зеркалами и сохранять стабильные частоты даже при изменении температуры. Предпочтителен алмаз, поскольку он обладает большей теплопроводностью и при этом имеет низкий коэффициент расширения. В 2005 году некоторые компании, производящие телекоммуникационное оборудование, начали использовать твердые эталоны, которые сами по себе являются оптическими волокнами. Это устраняет большинство проблем с монтажом, выравниванием и охлаждением.

Оптические инструменты

Дихроичные фильтры изготавливаются путем нанесения серии эталонных слоев на оптическую поверхность методом осаждения из паровой фазы . Эти оптические фильтры обычно имеют более точные полосы отражения и пропускания, чем поглощающие фильтры. При правильной конструкции они работают холоднее, чем поглощающие фильтры, поскольку отражают нежелательные длины волн, а не поглощают их. Дихроичные фильтры широко используются в оптическом оборудовании, таком как источники света, камеры, астрономическое оборудование и лазерные системы.

Оптические волномеры и некоторые анализаторы оптического спектра используют интерферометры Фабри – Перо с различными свободными спектральными диапазонами для определения длины волны света с большой точностью.

Лазерные резонаторы часто называют резонаторами Фабри-Перо, хотя для многих типов лазеров отражательная способность одного зеркала близка к 100%, что делает его более похожим на интерферометр Жира-Турнуа . В полупроводниковых диодных лазерах иногда используется настоящая геометрия Фабри – Перо из-за сложности покрытия торцевых граней чипа. В квантовых каскадных лазерах часто используются резонаторы Фабри – Перо для поддержания генерации без необходимости каких-либо фасетных покрытий из-за высокого усиления активной области.

Эталоны часто размещают внутри лазерного резонатора при создании одномодовых лазеров. Без эталона лазер обычно будет излучать свет в диапазоне длин волн, соответствующем ряду мод резонатора , которые аналогичны модам Фабри – Перо. Введение эталона в резонатор лазера с правильно подобранной тонкостью и свободным спектральным диапазоном позволяет подавить все моды резонатора, кроме одной, тем самым изменив работу лазера с многомодового на одномодовый.

Стабильные интерферометры Фабри – Перо часто используются для стабилизации частоты света, излучаемого лазером (которая часто колеблется из-за механических вибраций или изменений температуры) посредством привязки ее к моде резонатора. Существует множество методов создания сигнала ошибки, например, широко используемый метод Паунда-Древера-Холла .

Спектроскопия

Эталоны Фабри-Перо можно использовать для увеличения длины взаимодействия в лазерной абсорбционной спектрометрии , особенно в методах резонатора . Эталон увеличивающейся толщины можно использовать в качестве оптического фильтра с линейной переменной для достижения спектроскопии . Его можно сделать невероятно маленьким, используя тонкие пленки нанометровой толщины.

Эталон Фабри-Перо можно использовать для создания спектрометра, способного наблюдать эффект Зеемана , когда спектральные линии расположены слишком близко друг к другу, чтобы их можно было различить с помощью обычного спектрометра.

Астрономия

В астрономии эталон используется для выбора одного атомного перехода для визуализации. Наиболее распространенной является H- линия Солнца альфа . Линию Ca-K от Солнца также часто изображают с помощью эталонов.

Датчик метана для Марса (MSM) на борту индийского корабля «Мангальян» является примером прибора Фабри-Перо. Это был первый инструмент Фабри-Перо, побывавший в космосе на момент запуска Мангальяна. Поскольку он не отличал излучение, поглощаемое метаном, от излучения, поглощаемого углекислым газом и другими газами, позже его назвали картографом альбедо.

При обнаружении гравитационных волн резонатор Фабри-Перо используется для хранения фотонов в течение почти миллисекунды, пока они подпрыгивают вверх и вниз между зеркалами. Это увеличивает время взаимодействия гравитационной волны со светом, что приводит к лучшей чувствительности на низких частотах. Этот принцип используется такими детекторами, как LIGO и Virgo , которые состоят из интерферометра Майкельсона с резонатором Фабри-Перо длиной несколько километров в обоих плечах. Резонаторы меньшего размера, обычно называемые очистителями мод , используются для пространственной фильтрации и стабилизации частоты основного лазера.

Теория

Потери в резонаторе и выходной свет

Спектральный отклик резонатора Фабри – Перо основан на интерференции между светом, попадающим в него, и светом, циркулирующим в резонаторе. Конструктивная интерференция возникает, если два луча находятся в фазе , что приводит к резонансному усилению света внутри резонатора. Если два луча не совпадают по фазе, только небольшая часть испущенного света сохраняется внутри резонатора. Сохраненный, переданный и отраженный свет спектрально модифицируется по сравнению с падающим светом.

Предположим, что имеется двухзеркальный резонатор Фабри – Перо геометрической длины $\ell$, однородно заполненный средой с показателем преломления $n$. Свет попадает в резонатор при нормальном падении. Время туда и обратно $t_{\rm {RT}}$ света, движущегося в резонаторе со скоростью $c=c_{0}/n$, где $c_{0}$ - скорость света в вакууме и свободный спектральный диапазон $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ даны

$t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.$

Отражательная способность электрического поля и напряженности $r_{i}$ и $R_{i}$, соответственно, у зеркала $i$ являются

$|r_{i}|^{2}=R_{i}.$

Если других потерь в резонаторе нет, затухание интенсивности света за один проход туда и обратно количественно выражается константой скорости затухания выходной связи. $1/\tau _{\rm {out}},$

$R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}},$

и время распада фотона $\tau _{c}$ резонатора тогда определяется выражением

${\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Резонансные частоты и формы спектральных линий

С $\phi (\nu )$ количественная оценка однопроходного фазового сдвига, который проявляет свет при распространении от одного зеркала к другому, двустороннего фазового сдвига на частоте $\nu$ накапливается в

$2\phi (\nu )=2\pi \nu t_{\rm {RT}}.$

Резонансы возникают на частотах, на которых свет демонстрирует конструктивную интерференцию после одного прохождения туда и обратно. Каждая мода резонатора со своим индексом моды. $q$, где $q$ является целым числом в интервале $[-\infty ,\infty ]$, связано с резонансной частотой $\nu _{q}$ и волновое число $k_{q}$,

$\nu _{q}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow k_{q}={\frac {2\pi q\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{c}}.$

Два режима с противоположными значениями $\pm q$ и $\pm k$ модального индекса и волнового числа, соответственно, физически представляющих противоположные направления распространения, встречаются с одним и тем же абсолютным значением $\left|\nu _{q}\right|$ частоты.

Затухающее электрическое поле на частоте $\nu _{q}$ представляет собой затухающее гармоническое колебание с начальной амплитудой $E_{q,s}$ и постоянная времени затухания $2\tau _{c}$. В векторной записи это можно выразить как

$E_{q}(t)=E_{q,s}e^{i2\pi \nu _{q}t}e^{-{\frac {t}{2\tau _{c}}}}.$

Преобразование Фурье электрического поля во времени дает электрическое поле на единицу частотного интервала,

${\tilde {E}}_{q}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }E_{q}(t)e^{-i2\pi \nu t}\,dt=E_{q,s}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-1}+i2\pi (\nu -\nu _{q})}}.$

Каждая мода имеет нормированную форму спектральной линии на единицу частотного интервала, определяемую выражением

${\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\tau _{c}}}\left|{\frac {{\tilde {E}}_{q}(\nu )}{E_{q,s}}}\right|^{2}={\frac {1}{\tau _{c}}}{\frac {1}{(2\tau _{c})^{-2}+4\pi ^{2}(\nu -\nu _{q})^{2}}},$

частотный интеграл которого равен единице. Представляем полную ширину линии на половине максимума (FWHM). $\Delta \nu _{c}$ формы лоренцевой спектральной линии, получим

$\Delta \nu _{c}={\frac {1}{2\pi \tau _{c}}}\Rightarrow {\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {1}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}/2}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\Delta \nu _{c}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}},$

выражается через ширину линии половинной ширины на половине максимума (HWHM) $\Delta \nu _{c}/2$ или ширина линии на полувысоте $\Delta \nu _{c}$. Откалибровав по высоте пика единицу, мы получаем лоренцевы линии:

$\gamma _{q,L}(\nu )={\frac {\pi }{2}}\Delta \nu _{c}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )={\frac {(\Delta \nu _{c}/2)^{2}}{(\Delta \nu _{c}/2)^{2}+(\nu -\nu _{q})^{2}}}={\frac {(\Delta \nu _{c})^{2}}{(\Delta \nu _{c})^{2}+4(\nu -\nu _{q})^{2}}}.$

При повторении описанного выше преобразования Фурье для всех режимов с индексом режима $q$ в резонаторе получается полный модовый спектр резонатора.

Поскольку ширина линии $\Delta \nu _{c}$ и свободный спектральный диапазон $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ не зависят от частоты, тогда как в пространстве длин волн ширина линии не может быть правильно определена, а свободный спектральный диапазон зависит от длины волны, и поскольку резонансные частоты $\nu _{q}$ масштабе, пропорциональном частоте, спектральная характеристика резонатора Фабри – Перо естественным образом анализируется и отображается в частотном пространстве.

Общее распределение Эйри: коэффициент усиления внутреннего резонанса

Электрические поля в резонаторе Фабри–Перо. Коэффициенты отражения зеркала электрического поля равны $r_{1}$ и $r_{2}$. Указаны характеристические электрические поля, создаваемые электрическим полем. $E_{\rm {inc}}$ инцидент с зеркалом 1: $E_{\rm {refl,1}}$ первоначально отраженный в зеркале 1, $E_{\rm {laun}}$ запущен через зеркало 1, $E_{\rm {circ}}$ и $E_{\text{b-circ}}$ циркулирующие внутри резонатора в прямом и обратном направлении распространения соответственно: $E_{\rm {RT}}$ распространяющийся внутри резонатора после одного обхода туда и обратно, $E_{\rm {trans}}$ передается через зеркало 2, $E_{\rm {back}}$ передаваемое через зеркало 1, а полное поле $E_{\rm {refl}}$ распространяясь назад. Интерференция возникает с левой и правой сторон зеркала 1 между $E_{\rm {refl,1}}$ и $E_{\rm {back}}$, в результате чего $E_{\rm {refl}}$и между $E_{\rm {laun}}$ и $E_{\rm {RT}}$, в результате чего $E_{\rm {circ}}$, соответственно.

Реакция резонатора Фабри-Перо на электрическое поле, падающее на зеркало 1, описывается несколькими распределениями Эйри (названными в честь математика и астронома Джорджа Бидделла Эйри ), которые количественно определяют интенсивность света в прямом или обратном направлении распространения в разных положениях внутри или снаружи. резонатора в зависимости от интенсивности исходящего или падающего света. Отклик резонатора Фабри – Перо легче всего получить, используя подход циркулирующего поля. Этот подход предполагает устойчивое состояние и связывает различные электрические поля друг с другом (см. рисунок «Электрические поля в резонаторе Фабри – Перо»).

Поле $E_{\rm {circ}}$ может быть связано с полем $E_{\rm {laun}}$ который запускается в резонатор

$E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}.$

Общее распределение Эйри, которое учитывает исключительно физические процессы, происходящие со светом внутри резонатора, затем получается как интенсивность, циркулирующая в резонаторе, относительно запущенной интенсивности:

$A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.$

$A_{\rm {circ}}$ представляет собой спектрально-зависимое усиление внутреннего резонанса, которое резонатор обеспечивает пущенному в него свету (см. рисунок «Усиление резонанса в резонаторе Фабри – Перо»). На резонансных частотах $\nu _{q}$, где $\sin(\phi )$ равен нулю, коэффициент усиления внутреннего резонанса равен

$A_{\rm {circ}}(\nu _{q})={\frac {1}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.$

Другие дистрибутивы Эйри

Усиление резонанса в резонаторе Фабри – Перо. (вверху) Спектрально-зависимое усиление внутреннего резонанса, соответствующее общему распределению Эйри. $A_{\text{circ}}$. Этот фактор резонансно усиливает свет, попадающий в резонатор. Для кривой с $R_{1}=R_{2}=0.9$, максимальное значение находится на $A_{\text{circ}}(\nu _{q})=100$, вне шкалы ординаты. (внизу) Спектрально-зависимое усиление внешнего резонанса, равное распределению Эйри. $A_{\text{circ}}^{\prime }$. Этот фактор резонансно усиливает свет, падающий на резонатор.

Как только усиление внутреннего резонанса, общее распределение Эйри, установлено, все остальные распределения Эйри можно вывести с помощью простых коэффициентов масштабирования. Поскольку интенсивность, попадающая в резонатор, равна прошедшей доле интенсивности, падающей на зеркало 1,

$I_{\text{laun}}=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{inc}},$

а интенсивности, прошедшие через зеркало 2, отраженные от зеркала 2 и прошедшие через зеркало 1, представляют собой прошедшую и отраженную/прошедшую доли интенсивности, циркулирующей внутри резонатора,

${\begin{aligned}I_{\text{trans}}&=\left(1-R_{2}\right)I_{\text{circ}},\\I_{\text{b-circ}}&=R_{2}I_{\text{circ}},\\I_{\text{back}}&=\left(1-R_{1}\right)I_{\text{b-circ}},\end{aligned}}$

соответственно, остальные распределения Эйри $A$ по стартовой интенсивности $I_{\text{laun}}$ и $A^{\prime }$ по интенсивности инцидента $I_{\text{inc}}$ являются

${\begin{aligned}A_{\text{circ}}&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}},\\A_{\text{circ}}'&={\frac {1}{R_{2}}}A_{\text{b-circ}}'={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}A_{\text{RT}}'={\frac {1}{1-R_{2}}}A_{\text{trans}}'={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}A_{\text{back}}'={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}A_{\text{emit}}',\\A_{\text{circ}}'&=\left(1-R_{1}\right)A_{\text{circ}}.\end{aligned}}$

Индекс «излучение» обозначает распределения Эйри, учитывающие сумму интенсивностей, излучаемых по обе стороны резонатора.

Обратно передаваемая интенсивность $I_{\text{back}}$ не может быть измерен, поскольку первоначально отраженный назад свет добавляется к сигналу, распространяющемуся назад. Измеримый случай интенсивности, возникающей в результате интерференции обоих электрических полей, распространяющихся назад, приводит к распределению Эйри

$A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{refl}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left({{\sqrt {R_{1}}}-{\sqrt {R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.$

Легко показать, что в резонаторе Фабри–Перо, несмотря на наличие конструктивной и деструктивной интерференции, энергия сохраняется на всех частотах:

$A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1.$

Коэффициент усиления внешнего резонанса (см. рисунок «Усиление резонанса в резонаторе Фабри – Перо») равен

$A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.$

На резонансных частотах $\nu _{q}$, где $\sin(\phi )$ равен нулю, коэффициент усиления внешнего резонанса равен

$A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}.$

Воздушное распределение $A_{\text{trans}}^{\prime }$ (сплошные линии), соответствующие свету, прошедшему через резонатор Фабри–Перо, рассчитанному для разных значений коэффициентов отражения. $R_{1}=R_{2}$, и сравнение с одной лоренцевой линией (пунктирные линии), рассчитанной для того же $R_{1}=R_{2}$. На половине высоты (черная линия) с уменьшением отражательной способности ширина линии на полувысоте $\Delta \nu _{\text{Airy}}$ Распределение Эйри расширяется по сравнению с шириной линии на полувысоте. $\Delta \nu _{c}$ соответствующей лоренцевой линии: $R_{1}=R_{2}=0.9,0.6,0.32,0.172$ приводит к $\Delta \nu _{\text{Airy}}/\Delta \nu _{c}=1.001,1.022,1.132,1.717$, соответственно.

Обычно свет передается через резонатор Фабри-Перо. Поэтому часто применяемое распределение Эйри имеет вид

$A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})A_{\text{circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.$

Он описывает дробь $I_{\text{trans}}$ интенсивности $I_{\text{inc}}$ падающего на зеркало 1 источника света, проходящего через зеркало 2 (см. рисунок «Распределение Эйри» $A_{\text{trans}}^{\prime }$"). Его максимальное значение на резонансных частотах $\nu _{q}$ является

$A_{\text{trans}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}}}.$

Для $R_{1}=R_{2}$ пиковое значение равно единице; т.е. весь свет, падающий на резонатор, передается. Следовательно, свет не отражается, $A_{\text{refl}}^{\prime }=0$, в результате деструктивной интерференции полей $E_{{\text{refl}},1}$ и $E_{\text{back}}$.

$A_{\text{trans}}^{\prime }$ был получен с помощью подхода циркулирующего поля учитывая дополнительный фазовый сдвиг $e^{i\pi /2}$ во время каждой передачи через зеркало,

${\begin{aligned}E_{\text{circ}}=it_{1}E_{\text{inc}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}&\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {it_{1}}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\\E_{\text{trans}}=it_{2}E_{\text{circ}}e^{-i\phi }&\Rightarrow {\frac {E_{\text{trans}}}{E_{\text{inc}}}}={\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}},\end{aligned}}$

в результате чего

$A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}}={\frac {\left|E_{\text{trans}}\right|^{2}}{\left|E_{\text{inc}}\right|^{2}}}={\frac {\left|-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }\right|^{2}}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}.$

Альтернативно, $A_{\text{trans}}^{\prime }$ может быть получено с помощью подхода «туда-обратно-распад» отслеживая бесконечное количество обходов падающего электрического поля туда и обратно. $E_{\text{inc}}$ проявляет себя после входа в резонатор и накопления электрического поля $E_{\text{trans}}$ передается во всех поездках туда и обратно. Поле, передаваемое после первого распространения, и все меньшие и меньшие поля, передаваемые после каждого последующего прохождения через резонатор, равны

${\begin{aligned}E_{\text{trans,1}}&=E_{\text{inc}}it_{1}it_{2}e^{-i\phi }=-E_{\text{inc}}t_{1}t_{2}e^{-i\phi },\\E_{{\text{trans}},m+1}&=E_{{\text{trans}},m}r_{1}r_{2}e^{-i2\phi },\end{aligned}}$

соответственно. Эксплуатация

$\sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\Rightarrow E_{\text{trans}}=\sum _{m=1}^{\infty }E_{{\text{trans}},m}=E_{\text{inc}}{\frac {-t_{1}t_{2}e^{-i\phi }}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}$

приводит к тому же $E_{\text{trans}}/E_{\text{inc}}$ как указано выше, следовательно, то же распределение Эйри $A_{\text{trans}}^{\prime }$ выводит. Однако этот подход физически вводит в заблуждение, поскольку предполагает, что интерференция имеет место между выведенными лучами после зеркала 2, снаружи резонатора, а не между запущенными и циркулирующими лучами после зеркала 1, внутри резонатора. Поскольку именно интерференция изменяет состав спектра, распределение спектральной интенсивности внутри резонатора будет таким же, как и распределение падающей спектральной интенсивности, и внутри резонатора не произойдет никакого резонансного усиления.

Распределение Эйри как сумма профилей мод

Физически распределение Эйри представляет собой сумму профилей продольных мод резонатора. Начиная с электрического поля $E_{circ}$ циркулируя внутри резонатора, учитывают экспоненциальное затухание во времени этого поля через оба зеркала резонатора, Фурье преобразует его в пространство частот для получения нормированных форм спектральных линий ${\tilde {\gamma }}_{q}(\nu )$, делит его на время прохождения туда и обратно $t_{\rm {RT}}$ для учета того, как общая напряженность циркулирующего электрического поля распределяется в продольном направлении в резонаторе и выводится в единицу времени, что приводит к образованию профилей излучаемых мод,

$\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1}{t_{\rm {RT}}}}{\tilde {\gamma }}_{q}(\nu ),$

а затем суммирует профили излучаемых мод всех продольных мод.

$\sum _{q=-\infty }^{\infty }\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )={\frac {1-R_{1}R_{2}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}=A_{\rm {emit}},$

таким образом, равняясь распределению Эйри $A_{\rm {emit}}$.

Те же самые простые коэффициенты масштабирования, которые обеспечивают отношения между отдельными распределениями Эйри, также обеспечивают отношения между $\gamma _{q,{\rm {emit}}}(\nu )$ и другие профили режимов:

$\gamma _{q,{\rm {circ}}}={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}},$

$\gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{2}}}\gamma _{q,{\text{b-circ}}}^{\prime }={\frac {1}{R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {RT}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }={\frac {1}{(1-R_{1})R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {back}}}^{\prime }={\frac {1}{1-R_{1}R_{2}}}\gamma _{q,{\rm {emit}}}^{\prime },$

$\gamma _{q,{\rm {circ}}}^{\prime }=(1-R_{1})\gamma _{q,{\rm {circ}}}.$

Характеристика резонатора Фабри – Перо: лоренцева ширина и изящество линии.

Критерий спектрального разрешения Тейлора предполагает, что две спектральные линии могут быть разрешены, если отдельные линии пересекаются при половинной интенсивности. При попадании света в резонатор Фабри-Перо путем измерения распределения Эйри можно получить общие потери резонатора Фабри-Перо путем пересчета лоренцевой ширины линии. $\Delta \nu _{c}$, отображается (синяя линия) относительно свободного спектрального диапазона на рисунке «Лоренцева ширина и тонкость линии в сравнении с шириной и тонкостью линии Эйри резонатора Фабри – Перо».

Лоренцева ширина и тонкость линии по сравнению с шириной и тонкостью линии Эйри резонатора Фабри – Перо. [Слева] Относительная лоренцева ширина линии $\Delta \nu _{c}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ (синяя кривая), относительная ширина линии Эйри $\Delta \nu _{\rm {Airy}}/\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ (зеленая кривая) и ее аппроксимация (красная кривая). [Справа] Лоренцева изящество ${\mathcal {F}}_{c}$ (синяя кривая), Воздушная утонченность ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}$ (зеленая кривая) и ее аппроксимация (красная кривая) в зависимости от значения отражательной способности $R_{1}R_{2}$. Точные решения ширины и изящества линий Эйри (зеленые линии) правильно ломаются при $\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}$, эквивалентный ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1$, тогда как их аппроксимации (красные линии) ошибочно не разрушаются. Вставки: Регион $R_{1}R_{2}<0.1$.

Физический смысл лоренцевой изящества ${\mathcal {F}}_{c}$ резонатора Фабри-Перо. Отображается ситуация для $R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%$, при котором $\Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ и ${\mathcal {F}}_{c}=1$, т.е. две соседние лоренцевы линии (пунктирные цветные линии, для наглядности показано только 5 линий для каждой резонансной частоты, $\nu _{q}$) пересекается на половине максимума (сплошная черная линия) и достигается критерий Тейлора для спектрального разрешения двух пиков в результирующем распределении Эйри (сплошная фиолетовая линия, сумма 5 линий, нормализованная на собственную пиковую интенсивность).

Основные лоренцевы линии можно разрешить, если соблюдается критерий Тейлора (см. рисунок «Физический смысл лоренцевой утонченности»). Следовательно, можно определить лоренцеву точность резонатора Фабри – Перо:

${\mathcal {F}}_{c}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{c}}}={\frac {2\pi }{-\ln(R_{1}R_{2})}}.$

На рисунке «Физический смысл лоренцевой утонченности» она отображается синей линией. Лоренцева изящество ${\mathcal {F}}_{c}$ имеет фундаментальный физический смысл: он описывает, насколько хорошо могут быть разрешены лоренцевы линии, лежащие в основе распределения Эйри, при измерении распределения Эйри. В тот момент, когда

$\Delta \nu _{c}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow R_{1}R_{2}=e^{-2\pi }\approx 0.001867,$

эквивалентно ${\mathcal {F}}_{c}=1$, достигается критерий Тейлора для спектрального разрешения одного распределения Эйри. Под этим пунктом ${\mathcal {F}}_{c}<1$, две спектральные линии различить невозможно. Для равных коэффициентов отражения зеркал эта точка возникает, когда $R_{1}=R_{2}\approx 4.32\%$. Следовательно, ширина лоренцевых линий, лежащих в основе распределения Эйри резонатора Фабри – Перо, может быть определена путем измерения распределения Эйри, следовательно, его потери в резонаторе могут быть определены спектроскопически до этого момента.

Сканирование резонатора Фабри-Перо: воздушная ширина линии и изящество

Физический смысл утонченности Эйри ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}$ резонатора Фабри-Перо. При сканировании длины Фабри – Перо (или угла падающего света) распределения Эйри (цветные сплошные линии) создаются сигналами на отдельных частотах. Экспериментальный результат измерения представляет собой сумму отдельных распределений Эйри (черная пунктирная линия). Если сигналы возникают на частотах $\nu _{m}=\nu _{q}+m\Delta \nu _{\rm {Airy}}$, где $m$ целое число, начинающееся с $q$распределения Эйри на соседних частотах отделены друг от друга шириной линии $\Delta \nu _{\rm {Airy}}$, тем самым удовлетворяя критерию Тейлора для спектроскопического разрешения двух соседних пиков. Максимальное количество сигналов, которые можно разрешить, равно ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}$. Поскольку в этом конкретном примере отражательная способность $R_{1}=R_{2}=0.59928$ были выбраны так, что ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6$ является целым числом, сигнал для $m={\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}$ на частоте $\nu _{q}+{\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\nu _{q}+\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ совпадает с сигналом $m=q$ в $\nu _{q}$. В этом примере максимум ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=6$ пики могут быть разрешены при применении критерия Тейлора.

Пример резонатора Фабри – Перо с (вверху) частотно-зависимой зеркальной отражательной способностью и (внизу) полученными в результате искаженными профилями мод. $\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }$ мод с индексами $q=2000,2001,2002$, сумма 6 миллионов профилей мод (розовые точки, отображаются только для нескольких частот) и распределение Эйри $A_{\rm {trans}}^{\prime }$. Вертикальные пунктирные линии обозначают максимум кривой отражательной способности (черный) и резонансные частоты отдельных мод (цветные).

При использовании резонатора Фабри–Перо в качестве сканирующего интерферометра, т. е. при изменении длины резонатора (или угла падения), можно спектроскопически различить спектральные линии на разных частотах в пределах одного свободного спектрального диапазона. Несколько дистрибутивов Эйри $A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )$, каждый из которых создан отдельной спектральной линией, должен быть разрешен. Таким образом, распределение Эйри становится основной фундаментальной функцией, и измерение дает сумму распределений Эйри. Параметрами, которые правильно определяют эту ситуацию, являются ширина линии Эйри. $\Delta \nu _{\rm {Airy}}$ и воздушная утонченность ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}$. Ширина линии на полувысоте $\Delta \nu _{\rm {Airy}}$ распределения Эйри $A_{\rm {trans}}^{\prime }(\nu )$ является

$\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right).$

Ширина линии Эйри $\Delta \nu _{\rm {Airy}}$ отображается в виде зеленой кривой на рисунке «Лоренцева ширина и тонкость линии в сравнении с шириной и тонкостью линии Эйри резонатора Фабри – Перо».

Концепция определения ширины линии пиков Эйри по полувысоте терпит неудачу. $\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри» $A_{\rm {trans}}^{\prime }$"), потому что в этот момент ширина линии Эйри мгновенно подскакивает до бесконечного значения для $\arcsin$ функция. Для более низких значений отражательной способности $R_{1}R_{2}$, ширина линии пиков Эйри на полувысоте не определена. Предельный случай имеет место при

$\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944.$

Для равных коэффициентов отражения зеркал эта точка достигается, когда $R_{1}=R_{2}\approx 17.2\%$ (сплошная красная линия на рисунке «Распределение Эйри» $A_{\rm {trans}}^{\prime }$").

Изящность распределения Эйри резонатора Фабри-Перо, которая отображается зеленой кривой на рисунке «Лоренцева ширина и изящество линии в сравнении с шириной и изяществом линии Эйри резонатора Фабри-Перо» в прямом сравнении с лоренцевой изяществом. ${\mathcal {F}}_{c}$, определяется как

${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}.$

При сканировании длины резонатора Фабри-Перо (или угла падающего света) точность Эйри количественно определяет максимальное количество распределений Эйри, создаваемых светом на отдельных частотах. $\nu _{m}$ в свободном спектральном диапазоне резонатора Фабри – Перо, соседние пики которого однозначно различимы спектроскопически, т. е. они не перекрываются на полувысоте (см. рисунок «Физический смысл изящества Эйри»). Это определение утонченности Эйри согласуется с критерием Тейлора разрешения спектрометра. Поскольку концепция ширины линии на полувысоте терпит неудачу при $\Delta \nu _{\rm {Airy}}=\Delta \nu _{\rm {FSR}}$, следовательно, изящество Эйри определяется только до тех пор, пока ${\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}=1$см. рисунок «Лоренцева ширина и точность линии в сравнении с шириной и точностью линии Эйри резонатора Фабри – Перо».

Часто ненужное приближение $\sin {(\phi )}\approx \phi$ производится при выведении из $A_{\rm {trans}}^{\prime }$ ширина линии Эйри $\Delta \nu _{\rm {Airy}}$. В отличие от точного решения, приведенного выше, это приводит к

$\Delta \nu _{\rm {Airy}}\approx \Delta \nu _{\rm {FSR}}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{\rm {Airy}}={\frac {\Delta \nu _{\rm {FSR}}}{\Delta \nu _{\rm {Airy}}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.$

Это приближение ширины линии Эйри, отображенное в виде красной кривой на рисунке «Лоренцева ширина и тонкость линии в сравнении с шириной и тонкостью линии Эйри резонатора Фабри – Перо», отклоняется от правильной кривой при низких коэффициентах отражения и ошибочно не нарушается при $\Delta \nu _{\rm {Airy}}>\Delta \nu _{\rm {FSR}}$. Это приближение обычно также используется для расчета точности Эйри.

Частотно-зависимая отражательная способность зеркала

Более общий случай резонатора Фабри – Перо с частотно-зависимой зеркальной отражательной способностью можно рассматривать с помощью тех же уравнений, что и выше, за исключением того, что время затухания фотона $\tau _{c}(\nu )$ и ширина линии $\Delta \nu _{c}(\nu )$ теперь становятся локальными функциями частоты. Хотя время распада фотона все еще является четко определенной величиной, ширина линии теряет свое значение, поскольку напоминает спектральную полосу, значение которой теперь меняется в пределах этой самой полосы. Также в этом случае каждое распределение Эйри представляет собой сумму всех основных профилей мод, которые могут быть сильно искажены. Пример распределения Эйри $A_{\rm {trans}}^{\prime }$ и несколько базовых профилей режимов $\gamma _{q,{\rm {trans}}}^{\prime }(\nu )$ приведен на рисунке «Пример резонатора Фабри – Перо с частотно-зависимой зеркальной отражательной способностью».

Резонатор Фабри – Перо с собственными оптическими потерями.

Собственные потери распространения внутри резонатора можно определить количественно с помощью коэффициента потерь интенсивности. $\alpha _{\rm {loss}}$ на единицу длины или, что то же самое, собственными потерями в обоих направлениях $L_{\rm {RT}},$ такой, что

$1-L_{\rm {RT}}=e^{-\alpha _{\rm {loss}}2\ell }=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}.$

Дополнительные потери сокращают время распада фотона. $\tau _{c}$ резонатора:

${\frac {1}{\tau _{c}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}]}}{t_{\rm {RT}}}}+c\alpha _{\rm {loss}}.$

где $c$ – скорость света в резонаторе. Общее распределение Эйри или коэффициент усиления внутреннего резонанса. $A_{\rm {circ}}$ затем вычисляется, как указано выше, путем включения потерь распространения через коэффициент амплитудных потерь $\alpha _{\rm {loss}}/2$:

$E_{\rm {circ}}=E_{\rm {laun}}+E_{\rm {RT}}=E_{\rm {laun}}+r_{1}r_{2}e^{-(\alpha _{\rm {loss}}/2)2\ell }e^{-i2\phi }E_{\rm {circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\rm {circ}}}{E_{\rm {laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }}}\Rightarrow$

$A_{\rm {circ}}={\frac {I_{\rm {circ}}}{I_{\rm {laun}}}}={\frac {\left|E_{\rm {circ}}\right|^{2}}{\left|E_{\rm {laun}}\right|^{2}}}={\frac {1}{\left|1-r_{1}r_{2}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }e^{-i2\phi }\right|^{2}}}={\frac {1}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.$

Другие распределения Эйри затем могут быть получены, как указано выше, путем дополнительного учета потерь при распространении. В частности, передаточная функция с потерями принимает вид

$A_{\text{trans}}^{\prime }={\frac {I_{\rm {trans}}}{I_{\rm {inc}}}}=(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }A_{\rm {circ}}={\frac {(1-R_{1})(1-R_{2})e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}e^{-\alpha _{\rm {loss}}\ell }\sin ^{2}(\phi )}}.$

Описание резонатора Фабри – Перо в пространстве длин волн.

Эталон Фабри–Перо. Свет попадает в эталон и претерпевает множественные внутренние отражения.

Пропускание эталона как функция длины волны. Эталон с высокой точностью (красная линия) показывает более резкие пики и более низкие минимумы передачи, чем эталон с низкой точностью (синяя).

Утонченность как функция отражательной способности. Очень высокие коэффициенты утонченности требуют зеркал с высокой отражающей способностью.

Продолжительность: 10 секунд. 0:10

Анализ переходных процессов кремниевого ( n = 3,4) эталона Фабри – Перо при нормальном падении. Верхняя анимация предназначена для толщины эталона, выбранной для обеспечения максимальной передачи, а нижняя анимация — для толщины, выбранной для обеспечения минимальной передачи.

Продолжительность: 28 секунд. 0:28

Переходный процесс ложного цвета для диэлектрической пластины с высоким показателем преломления в воздухе. Толщина/частоты были выбраны таким образом, чтобы красный (вверху) и синий (внизу) обеспечивали максимальную передачу, тогда как зеленый (средний) обеспечивал минимальную передачу.

Изменение функции пропускания эталона вызвано интерференцией многократного отражения света между двумя отражающими поверхностями. Конструктивная интерференция возникает, если передаваемые лучи находятся в фазе , и это соответствует высокому пику передачи эталона. Если передаваемые лучи не совпадают по фазе, возникают деструктивные помехи, что соответствует минимуму передачи. Синфазны ли многократно отраженные лучи или нет, зависит от длины волны (λ) света (в вакууме), угла, под которым свет проходит через эталон (θ), толщины эталона ( ℓ ) и показателя преломления света. материал между отражающими поверхностями ( n ).

Разность фаз между каждой последовательно передаваемой парой (т. е. T ₂ и T ₁ на диаграмме) определяется выражением

$\delta =\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)2n\ell \cos \theta .$

Если обе поверхности имеют коэффициент отражения R , функция пропускания эталона определяется выражением

$T_{e}={\frac {(1-R)^{2}}{1-2R\cos \delta +R^{2}}}={\frac {1}{1+F\sin ^{2}\left({\frac {\delta }{2}}\right)}},$

где

$F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}$

это коэффициент утонченности .

Максимальная передача ( $T_{e}=1$) возникает, когда разность длин оптического пути ( $2nl\cos \theta$) между каждым передаваемым лучом является целым числом, кратным длине волны. В отсутствие поглощения коэффициент отражения эталона R _e дополняет коэффициент пропускания, так что $T_{e}+R_{e}=1$. Максимальная отражательная способность определяется выражением

$R_{\max }=1-{\frac {1}{1+F}}={\frac {4R}{(1+R)^{2}}},$

и это происходит, когда разница длин путей равна половине нечетного кратного длины волны.

Расстояние по длине волны между соседними пиками пропускания называется свободным спектральным диапазоном (FSR) эталона, Δλ, и определяется выражением:

$\Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2n_{\mathrm {g} }\ell \cos \theta }},$

где λ ₀ — центральная длина волны ближайшего пика пропускания и $n_{\mathrm {g} }$ – групповой показатель преломления . FSR связан с полувысотой полной ширины δλ любой полосы пропускания величиной, известной как утонченность :

${\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {F}}}\right)}}.$

Обычно это аппроксимируется (для R > 0,5) выражением

${\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{\frac {1}{2}}}{1-R}}.$

Если два зеркала не равны, изящество становится

${\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi \left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{1-\left(R_{1}R_{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

Эталоны с высокой точностью демонстрируют более острые пики передачи с более низкими минимальными коэффициентами передачи. В случае наклонного падения точность будет зависеть от состояния поляризации луча, поскольку значение R , заданное уравнениями Френеля , обычно различно для p- и s-поляризаций.

На схеме справа показаны два луча, один из которых (Т ₀ ) передается через эталон, а другой (Т ₁ ) дважды отражается перед передачей. При каждом отражении амплитуда уменьшается на ${\sqrt {R}}$, при этом при каждой передаче через интерфейс амплитуда уменьшается на ${\sqrt {T}}$. Предполагая отсутствие поглощения, сохранение энергии требует T + R = 1. В приведенном ниже выводе n — показатель преломления внутри эталона, а n ₀ — показатель преломления вне эталона. Предполагается, что n > n ₀ . Амплитуда падения в точке а принимается равной единице, а векторы для представления амплитуды излучения используются . Тогда переданная амплитуда в точке b будет равна

$t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta },$

где $k=2\pi n/\lambda$ — волновое число внутри эталона, а λ — длина волны в вакууме. В точке c передаваемая амплитуда будет равна

$t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }.$

Суммарная амплитуда обоих лучей будет равна сумме амплитуд двух лучей, измеренных вдоль линии, перпендикулярной направлению луча. Следовательно, амплитуда t ₀ в точке b может быть добавлена ​​к t ' _1, запаздывающему по фазе на величину $k_{0}\ell _{0}$, где $k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda$ — волновое число вне эталона. Таким образом

$t_{1}=TR\,e^{\left(3ik\ell /\cos \theta \right)-ik_{0}\ell _{0}},$

ℓ ₀ где

$\ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}.$

Разность фаз между двумя лучами равна

$\delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}.$

Связь между θ и θ ₀ определяется законом Снелла :

$n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0},$

так что разность фаз можно записать как

$\delta =2k\ell \,\cos \theta .$

С точностью до постоянного мультипликативного фазового коэффициента амплитуду m -го передаваемого луча можно записать как

$t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }.$

Общая передаваемая амплитуда представляет собой сумму амплитуд всех отдельных лучей:

$t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }.$

Ряд представляет собой геометрическую прогрессию , сумму которой можно выразить аналитически. Амплитуду можно переписать как

$t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}.$

Интенсивность луча будет всего в t раз больше его комплексно-сопряженной величины . Поскольку предполагалось, что падающий луч имеет интенсивность, равную единице, это также даст функцию пропускания:

$T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}.$

Для асимметричного резонатора, то есть резонатора с двумя разными зеркалами, общий вид функции пропускания имеет вид

$T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}.$

Интерферометр Фабри-Перо отличается от эталона Фабри-Перо тем, что расстояние ℓ между пластинами можно настраивать, чтобы изменить длины волн, на которых в интерферометре возникают пики пропускания. Из-за угловой зависимости пропускания пики также можно смещать путем вращения эталона относительно луча.

Другое выражение для функции пропускания уже было получено при описании в частотном пространстве как бесконечная сумма всех продольных профилей мод. Определение $\gamma =\ln \left({\frac {1}{R}}\right)$ приведенное выше выражение можно записать как

$T_{e}={\frac {T^{2}}{1-R^{2}}}\left({\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos \delta }}\right).$

Второй член пропорционален свернутому лоренцеву распределению, так что передаточную функцию можно записать как серию лоренцевых функций :

$T_{e}={\frac {2\pi \,T^{2}}{1-R^{2}}}\,\sum _{\ell =-\infty }^{\infty }L(\delta -2\pi \ell ;\gamma ),$

где

$L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi \left(x^{2}+\gamma ^{2}\right)}}.$

См. также

• Интерферометр Люммера – Герке
• Жирес – Стандартные турниры
• Атомный сетевой фильтр
• СТРЕЛКА волновод
• Распределенный отражатель Брэгга
• Волоконная решетка Брэгга
• Оптический микрорезонатор
• Тонкопленочная интерференция
• Ширина линии лазера

Ссылки

• Эрнандес, Г. (1986). Интерферометры Фабри–Перо . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-32238-3 .

Внешние ссылки

• Усовершенствованный дизайн эталонов — от Precision Photonics Corporation