Теорема Дональдсона

В математике , и особенно в топологии и калибровочной теории , теорема Дональдсона утверждает, что форма пересечения компактного , , ориентированного дифференциальной гладкого многообразия размерности определенная 4 является диагонализируемой . Если форма пересечения положительно (отрицательно) определена, ее можно диагонализовать до единичной матрицы (отрицательной единичной матрицы) по целым числам . Оригинальная версия ^[1] Теорема требовала, чтобы многообразие было односвязным , но позже оно было улучшено и теперь применимо к 4-многообразиям с любой фундаментальной группой. ^[2]

История [ править ]

Теорему доказал Саймон Дональдсон . Этот вклад был отмечен для его медали Филдса в 1986 году.

Идея доказательства [ править ]

Доказательство Дональдсона использует пространство модулей. ${\mathcal {M}}_{P}$ решений уравнений антиавтодуальности на главном $\operatorname {SU} (2)$ -пучок $P$ над четырьмя многообразиями $X$ . По теореме об индексе Атьи – Зингера размерность пространства модулей определяется выражением

\dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),

где $c_{2}(P)=k$ , $b_{1}(X)$ это первое Бетти число $X$ и $b_{+}(X)$ - размерность положительно определенного подпространства $H_{2}(X,\mathbb {R} )$ относительно формы пересечения. Когда $X$ односвязен с определенной формой пересечения, возможно, после смены ориентации всегда имеет место $b_{1}(X)=0$ и $b_{+}(X)=0$ . Таким образом, взяв любой принципал $\operatorname {SU} (2)$ -связка с $k=1$ , получается пространство модулей ${\mathcal {M}}$ измерения пять.

Это пространство модулей некомпактно и в общем случае гладко, с особенностями, возникающими только в точках, соответствующих приводимым связностям, которых имеется ровно $b_{2}(X)$ много. ^[3] Результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек показывают, что, хотя ${\mathcal {M}}$ некомпактна, ее структуру на бесконечности легко описать. ^[4]^[5]^[6] А именно, существует открытое подмножество ${\mathcal {M}}$ , сказать ${\mathcal {M}}_{\varepsilon }$ , такой, что при достаточно малом выборе параметра $\varepsilon$ , существует диффеоморфизм

{\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )

.

Работа Таубса и Уленбека по существу касается построения последовательностей ASD-связей на четырехмногообразии. $X$ кривизна становится бесконечно сконцентрированной в любой заданной точке $x\in X$ . Для каждой такой точки в пределе получается уникальная особая ASD-связность, которая в этой точке становится четко определенной гладкой ASD-связностью с использованием теоремы Уленбека об устранимой особенности. ^[6]^[3]

Дональдсон заметил, что особые точки внутри ${\mathcal {M}}$ соответствующие приводимым связностям, также могли быть описаны: они выглядели как конусы над комплексной проективной плоскостью $\mathbb {CP} ^{2}$ . Более того, мы можем подсчитать количество таких особых точек. Позволять $E$ быть $\mathbb {C} ^{2}$ -связывать $X$ связанный с $P$ стандартным представлением $SU(2)$ . Тогда приводимые связности по калибровочному модулю находятся в 1-1 соответствии с расщеплениями. $E=L\oplus L^{-1}$ где $L$ представляет собой сложное расслоение строк над $X$ . ^[3] В любое время $E=L\oplus L^{-1}$ мы можем вычислить:

$1=k=c_{2}(E)=c_{2}(L\oplus L^{-1})=-Q(c_{1}(L),c_{1}(L))$ ,

где $Q$ является формой пересечения вторых когомологий $X$ . Поскольку расслоения строк закончились $X$ классифицируются по первому классу Черна $c_{1}(L)\in H^{2}(X;\mathbb {Z} )$ , мы получаем, что приводимые связности по модулю калибровки находятся в 1-1 соответствии с парами $\pm \alpha \in H^{2}(X;\mathbb {Z} )$ такой, что $Q(\alpha ,\alpha )=-1$ . Пусть количество пар будет $n(Q)$ . Элементарный аргумент, применимый к любой отрицательно определенной квадратичной форме целых чисел, говорит нам, что $n(Q)\leq {\text{rank}}(Q)$ , с равенством тогда и только тогда, когда $Q$ является диагонализируемым. ^[3]

Таким образом, можно компактифицировать пространство модулей следующим образом: сначала отрежьте каждый конус в приводимой особенности и вклейте копию $\mathbb {CP} ^{2}$ . Во-вторых, приклейте копию $X$ себя в бесконечности. Полученное пространство представляет собой кобордизм между $X$ и непересекающийся союз $n(Q)$ копии $\mathbb {CP} ^{2}$ (неизвестной ориентации). Подпись $\sigma$ четырехмногообразия является инвариантом кобордизмов. Таким образом, поскольку $X$ является определённым:

${\text{rank}}(Q)=b_{2}(X)=\sigma (X)=\sigma (\bigsqcup n(Q)\mathbb {CP} ^{2})\leq n(Q)$ ,

из чего заключают форму пересечения $X$ является диагонализируемым.

Расширения [ править ]

Майкл Фридман ранее показал, что любая унимодулярная симметричная билинейная форма реализуется как форма пересечения некоторого замкнутого ориентированного четырехмногообразия . Объединив этот результат с классификационной теоремой Серра и теоремой Дональдсона, можно увидеть несколько интересных результатов:

1) Любая неопределенная недиагонализируемая форма пересечения порождает четырехмерное топологическое многообразие без дифференцируемой структуры (поэтому его нельзя сгладить).

2) Два гладких односвязных 4-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда их формы пересечения имеют одинаковый ранг , сигнатуру и четность.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Дональдсон, СК (1 января 1983 г.). «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2). дои : 10.4310/jdg/1214437665 . ISSN 0022-040X .
^ Дональдсон, СК (1 января 1987 г.). «Ориентация пространств модулей Янга-Миллса и топология 4-многообразия» . Журнал дифференциальной геометрии . 26 (3). дои : 10.4310/jdg/1214441485 . ISSN 0022-040X . S2CID 120208733 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дональдсон, СК (1983). Приложение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 279–315.
^ Таубес, CH (1982). Самодуальные связности Янга–Миллса на неавтодуальных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17 (1), 139–170.
^ Уленбек, К.К. (1982). Связи с L p-границами кривизны. Коммуникации в математической физике, 83(1), 31-42.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Уленбек, К.К. (1982). Устранимые особенности в полях Янга–Миллса. Коммуникации в математической физике, 83(1), 11-29.

Ссылки [ править ]

Дональдсон, С.К. (1983), «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии», Журнал дифференциальной геометрии , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310/jdg/1214437665 , MR 0710056 , Zbl 0507.57010
Дональдсон, СК; Кронхаймер, П.Б. (1990), Геометрия четырехмногообразий , Оксфордские математические монографии, ISBN 0-19-850269-9
Фрид, Д.С.; Уленбек, К. (1984), Инстантоны и четырехмногообразия , Springer
Фридман, М.; Куинн, Ф. (1990), Топология 4-многообразий , Princeton University Press
Скорпан, А. (2005), Дикий мир 4-многообразий , Американское математическое общество

[1] Дональдсон, СК (1 января 1983 г.). «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2). дои : 10.4310/jdg/1214437665 . ISSN 0022-040X .

[2] Дональдсон, СК (1 января 1987 г.). «Ориентация пространств модулей Янга-Миллса и топология 4-многообразия» . Журнал дифференциальной геометрии . 26 (3). дои : 10.4310/jdg/1214441485 . ISSN 0022-040X . S2CID 120208733 .

[Don1-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дональдсон, СК (1983). Приложение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 279–315.

[4] Таубес, CH (1982). Самодуальные связности Янга–Миллса на неавтодуальных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17 (1), 139–170.

[5] Уленбек, К.К. (1982). Связи с L p-границами кривизны. Коммуникации в математической физике, 83(1), 31-42.

[Uh1-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Уленбек, К.К. (1982). Устранимые особенности в полях Янга–Миллса. Коммуникации в математической физике, 83(1), 11-29.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]