Аргумент макс.

Например, как ненормализованные, так и нормализованные sinc , приведенные выше, имеют функции $\operatorname {argmax}$ из {0}, поскольку оба достигают своего глобального максимального значения 1 при x = 0.

Ненормализованная функция sinc (красный) имеет arg min примерно равный {-4,49, 4,49}, поскольку она имеет два глобальных минимальных значения примерно -0,217 при x = ±4,49. Однако нормализованная функция sinc (синяя) имеет arg min примерно равный {-1,43, 1,43}, поскольку их глобальные минимумы происходят при x = ±1,43, хотя минимальное значение то же самое.

В математике аргументы максимумов (сокращенно arg max или argmax ) и аргументы минимумов (сокращенно arg min или argmin ) являются входными точками, в которых функции выходное значение максимизируется и минимизируется соответственно. Хотя аргументы определяются в домене функции , выходные данные являются частью ее кодомена .

Определение

Учитывая произвольный набор $X$, набор полностью упорядоченный $Y$и функция, $f\colon X\to Y$, ​ $\operatorname {argmax}$ по некоторому подмножеству $S$ из $X$ определяется

$\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

Если $S=X$ или $S$ понятно из контекста, то $S$ часто опускается, как в ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.$ Другими словами, $\operatorname {argmax}$ это набор точек $x$ для чего $f(x)$ достигает наибольшего значения функции (если оно существует). $\operatorname {Argmax}$ может быть пустым набором , одиночным элементом или содержать несколько элементов.

В областях выпуклого анализа и вариационного анализа немного другое определение используется в частном случае, когда $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ являются расширенными действительными числами . В этом случае, если $f$ тождественно равен $\infty$ на $S$ затем $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ (то есть, $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$) и иначе $\operatorname {argmax} _{S}f$ определяется, как указано выше, где в этом случае $\operatorname {argmax} _{S}f$ также можно записать как:

$\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}$

где подчеркивается, что это равенство, включающее $\sup {}_{S}f$ имеет место только тогда, когда $f$ не тождественно $\infty$ на $S$.

Злой мой

Понятие $\operatorname {argmin}$ (или $\operatorname {arg\,min}$), обозначающий аргумент минимума , определяется аналогично. Например,

${\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}$

точки $x$ для чего $f(x)$ достигает наименьшего значения. Это дополнительный оператор $\operatorname {arg\,max}$.

В частном случае, когда $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ являются расширенными действительными числами , если $f$ тождественно равен $-\infty$ на $S$ затем $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ (то есть, $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$) и иначе $\operatorname {argmin} _{S}f$ определяется, как указано выше, и более того, в этом случае (из $f$ не тождественно равен $-\infty$) он также удовлетворяет:

$\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.$

Примеры и свойства

Например, если $f(x)$ является $1-|x|,$ затем $f$ достигает максимального значения $1$ только в точку $x=0.$ Таким образом

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.$

The $\operatorname {argmax}$ оператор отличается от $\max$ оператор. $\max$ оператор, если ему задана та же функция, возвращает максимальное значение функции вместо точки или точек , которые заставляют эту функцию достигать этого значения; другими словами

$\max _{x}f(x)$ это элемент в $\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

Нравиться $\operatorname {argmax} ,$ max может быть пустым набором (в этом случае максимум не определен) или одноэлементным, но в отличие от $\operatorname {argmax} ,$ $\operatorname {max}$ не может содержать несколько элементов: например, если $f(x)$ является $4x^{2}-x^{4},$ затем ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ но ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ потому что функция достигает одного и того же значения в каждом элементе $\operatorname {argmax} .$

Эквивалентно, если $M$ это максимум из $f,$ тогда $\operatorname {argmax}$ это уровень, установленный максимумом:

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).$

Мы можем переставить, чтобы дать простую идентичность

$f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).$

часто называют Если максимум достигается в одной точке, то эту точку $\operatorname {argmax} ,$ и $\operatorname {argmax}$ считается точкой, а не набором точек. Так, например,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5$

(а не одноэлементный набор $\{5\}$), поскольку максимальное значение $x(10-x)$ является $25,$ что происходит для $x=5.$ Однако в случае, если максимум достигается во многих точках, $\operatorname {argmax}$ необходимо рассматривать как набор точек.

Например

${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

поскольку максимальное значение $\cos x$ является $1,$ что происходит на этом интервале для $x=0,2\pi$ или $4\pi .$ На всей реальной линии

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},$ итак бесконечное множество.

Функциям вообще не обязательно достигать максимального значения, и, следовательно, $\operatorname {argmax}$ иногда является пустым множеством ; например, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,$ с $x^{3}$ неограничен . на действительной прямой В качестве другого примера: ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,$ хотя $\arctan$ ограничен $\pm \pi /2.$ Однако по теореме о крайних значениях непрерывная вещественная функция на замкнутом интервале имеет максимум и, следовательно, непустую $\operatorname {argmax} .$

См. также

• Аргумент функции
• Максимумы и минимумы
• Режим (статистика)
• Математическая оптимизация
• Ядро (линейная алгебра)
• Прообраз

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  9783642024313 . OCLC   883392544 .

Внешние ссылки

• arg min и arg max в PlanetMath .