Многоуровневая регрессия с постстратификацией

Многоуровневая регрессия с постстратификацией ( MRP ) — это статистический метод, используемый для корректировки оценок модели для известных различий между выборочной совокупностью (популяцией имеющихся данных) и целевой совокупностью (популяцией, для которой необходимо провести оценку).

Постстратификация относится к процессу корректировки оценок, по сути, представляет собой средневзвешенное значение оценок всех возможных комбинаций атрибутов (например, возраста и пола). Каждую комбинацию иногда называют «ячейкой». Многоуровневая регрессия — это использование многоуровневой модели для сглаживания зашумленных оценок в ячейках со слишком небольшим количеством данных с использованием общих или близких средних значений.

Одним из приложений является оценка предпочтений в субрегионах (например, штатах, отдельных округах) на основе данных опросов индивидуального уровня, собранных на других уровнях агрегирования (например, национальных опросов).

Математическая формулировка

Следуя описанию модели MRP , предполагать $Y$ представляет собой измерение одного результата, а среднее популяционное значение $Y$, $\mu _{Y}$, представляет собой целевой параметр, представляющий интерес. В базовой популяции каждый человек, $i$, принадлежит одному из $j=1,2,\cdots ,J$ постстратификационные клетки характеризуются уникальным набором ковариат. Многоуровневая регрессия с постстратификационной моделью включает в себя следующую пару шагов:

Шаг 1 MRP (многоуровневая регрессия) . Модель многоуровневой регрессии определяет линейный предиктор для среднего значения. $\mu _{Y}$, или логит- преобразование среднего значения в случае двоичного результата в ячейке постстратификации $j$,

$$g{\left({\mathrm {\mu } }_{j}\right)}=g{\left(E{\left[Y_{j{\lbrack i\rbrack }}\right]}\right)}={\mathrm {\beta } }_{0}+{\boldsymbol {X}}_{j}^{T}\mathbf {\beta } +\sum _{k=1}^{K}a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k},$$

где $Y_{j\lbrack i\rbrack }$ является показателем результата для респондента $i$ в камере $j$, $\beta _{0}$ фиксированный перехват , ${\boldsymbol {X}}_{j}$ это уникальный ковариатный вектор для ячейки $j$, ${\mathrm {\beta } }$ — вектор коэффициентов регрессии ( фиксированных эффектов ), $a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k}$ — изменяющийся коэффициент ( случайный эффект ), $l{\lbrack j\rbrack }$ отображает $j$ индекс ячейки к соответствующему индексу категории $l$ переменной $k\in \{1,2,\cdots ,K\}$. Все изменяющиеся коэффициенты представляют собой сменные партии с независимыми нормальными априорными распределениями. $a_{l}^{k}\sim \mathrm {N} \left(0,\mathrm {\sigma } _{k}^{2}\right),\ l\in \{1,\dots ,L_{k}\}$.

Шаг 2 MRP: постстратификация : постстратификационная оценка (PS) для интересующего параметра совокупности равна ${\hat {\mu }}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J}N_{j}}}$ где ${\hat {\mu }}_{j}$ предполагаемый результат, представляющий интерес для постстратификационной ячейки $j$ и это размер $j$-я постстратификационная ячейка в популяции. Оценки на любом уровне субпопуляции $s$ получены аналогичным образом $${\hat {\mu }}_{s}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J_{s}}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J_{s}}N_{j}}}$$ где $J_{s}$ представляет собой подмножество всех постстратификационных клеток, которые включают $s$.

Техника и ее преимущества

Этот метод по существу предполагает использование данных, например, переписей населения, касающихся различных типов людей, соответствующих различным характеристикам (например, возрасту, расе), на первом этапе оценки взаимосвязи между этими типами и индивидуальными предпочтениями (т. е. многоуровневое исследование). регрессия набора данных). Затем это соотношение используется на втором этапе для оценки субрегиональных предпочтений на основе количества людей, имеющих каждый тип/характеристику в этом субрегионе (процесс, известный как «постстратификация»). Таким образом, можно избежать необходимости проводить исследования на субрегиональном уровне, что может оказаться дорогостоящим и непрактичным в регионе (например, в стране) с множеством субрегионов (например, округов, округов или штатов). Это также позволяет избежать проблем с согласованностью опросов при сравнении различных опросов, проведенных в разных областях. Кроме того, он позволяет оценить предпочтения в пределах конкретной местности на основе опроса, проведенного на более широкой территории, включающей относительно небольшое количество людей из рассматриваемой местности, или там, где выборка может быть крайне нерепрезентативной.

История

Первоначально методика была разработана Гельманом и Т. Литтлом в 1997 году. опираясь на идеи Фэй и Эррио и Р. Литтл. Впоследствии он был расширен Паком, Гельманом и Бафуми в 2004 и 2006 годах. В 2009 году Лакс и Филипс предложили его использовать для оценки предпочтений избирателей на уровне штата США. Уоршоу и Родден впоследствии предложили его для использования при оценке избирательных округов. уровень общественного мнения в 2012 году. Позже Ван и др. использовала данные опроса пользователей Xbox для прогнозирования исхода президентских выборов в США в 2012 году . Геймерами Xbox были 65% людей в возрасте от 18 до 29 лет и 93% мужчины, тогда как электорат в целом составлял 19% людей в возрасте от 18 до 29 лет и 47% мужчин. Несмотря на то, что исходные данные были сильно смещены, после многоуровневой регрессии с постстратификацией авторы смогли получить оценки, совпадающие с оценками, полученными в ходе опросов с использованием большого количества случайных и репрезентативных данных. С тех пор его также предложили использовать в области эпидемиологии .

YouGov использовал эту технику, чтобы успешно предсказать общий результат всеобщих выборов в Великобритании в 2017 году . правильно предсказав результат в 93% округов. На выборах 2019 и 2024 годов другие социологи использовали MRP, включая Survation. и Ипсос.

Ограничения и расширения

MRP можно расширить для оценки изменения мнения с течением времени. и при использовании для прогнозирования выборов лучше всего работает, когда используется относительно близко к дате голосования, после того, как выдвижение кандидатов закрыто.

Идею MRP «многоуровневой регрессии» и «постстратификации» можно обобщить. Многоуровневую регрессию можно заменить непараметрической регрессией. или регуляризованный прогноз , а постстратификация может быть обобщена, чтобы учесть переменные, не относящиеся к переписи, т. е. итоговые суммы после стратификации, которые оцениваются, а не известны.