Квадратура Гаусса – Эрмита

Веса в зависимости от x _i для четырех вариантов n

В численном анализе квадратура Гаусса–Эрмита представляет собой форму квадратуры Гаусса для аппроксимации значения интегралов следующего вида:

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx.$

В этом случае

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

где n — количество используемых точек выборки. X i _i являются корнями физической версии полинома Эрмита H _n ( x ) ( = 1,2,..., n ), а соответствующие веса w _i определяются выражением

$w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}.$

Пример с заменой переменной

Рассмотрим функцию h(y) , где переменная y имеет нормальное распределение : $y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. Ожидание соответствует h : следующему интегралу

$E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)h(y)dy$

Поскольку это не совсем соответствует полиному Эрмита, нам нужно заменить переменные:

$x={\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\Leftrightarrow y={\sqrt {2}}\sigma x+\mu$

В сочетании с интегрированием заменой получаем:

$E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp(-x^{2})h({\sqrt {2}}\sigma x+\mu )dx$

что приводит к:

$E[h(y)]\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}h({\sqrt {2}}\sigma x_{i}+\mu )$

Ссылки

• Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Квадратура: формула Гаусса – Эрмита» , Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Шао, Т.С.; Чен, TC; Франк, РМ (1964). «Таблицы нулей и гауссовских весов некоторых связанных полиномов Лагерра и связанных с ними обобщенных полиномов Эрмита» . Математика. Комп . 18 (88): 598–616. дои : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . МР   0166397 .
• Стин, Нью-Мексико; Бирн, Джорджия; Гелбард, Э.М. (1969). «Гауссовы квадратуры для интегралов $\textstyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx$ и $\textstyle \int _{0}^{b}e^{-x^{2}}f(x)dx$. doi Math. Comp . 23 (107): 661–671. : 10.1090 /S0025-5718-1969-0247744-3 . MR   0247744 .
• Шизгал, Б. (1981). «Квадратурная процедура Гаусса для использования при решении уравнения Больцмана и связанных с ним задач». Дж. Компьютер. Физ . 41 : 309–328. дои : 10.1016/0021-9991(81)90099-1 .

Внешние ссылки

• Таблицы абсцисс Гаусса-Эрмита и весов до порядка n = 32 см. на http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm .
• Обобщенная квадратура Гаусса – Эрмита , бесплатное программное обеспечение на C++, Fortran и Matlab.