Десятичное представление

Десятичным представлением неотрицательного традиционно действительного числа $r$ является его выражение в виде последовательности символов, состоящей из десятичных цифр, записываемых с одним разделителем: $r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots$ Здесь . — десятичный разделитель , $k$ — целое неотрицательное число , а $b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots$ — это цифры , которые представляют собой символы, представляющие целые числа в диапазоне 0, ..., 9.

Обычно, $b_{k}\neq 0$ если $k\geq 1.$ Последовательность $a_{i}$ — цифры после точки — обычно бесконечны . Если оно конечно, недостающие цифры считаются равными 0. Если все $a_{i}$ равны 0 , разделитель также опускается, в результате чего получается конечная последовательность цифр, представляющая натуральное число .

Десятичное представление представляет бесконечную сумму : $r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.$

Каждое неотрицательное действительное число имеет хотя бы одно такое представление; у него есть два таких представления (с $b_{k}\neq 0$ если $k>0$ ) тогда и только тогда, когда одна имеет конечную бесконечную последовательность 0 , а другая имеет конечную бесконечную последовательность 9 . Из-за взаимно однозначного соответствия между неотрицательными действительными числами и десятичными представлениями десятичные представления с конечной бесконечной последовательностью 9 . иногда исключаются ^[1]

Целые и дробные части

Натуральное число ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ , называется целой частью r $и$ обозначается цифрой $0 .$ в оставшейся части статьи Последовательность $a_{i}$ представляет число $0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},$ который принадлежит интервалу $[0,1),$ называется дробной частью r $и$ (кроме случаев, когда все $a_{i}$ равны 9 ).

Конечные десятичные приближения

Любое действительное число можно аппроксимировать с любой желаемой степенью точности рациональными числами с конечными десятичными представлениями.

Предполагать $x\geq 0$ . Тогда для каждого целого числа $n\geq 1$ существует конечная десятичная дробь $r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ такой, что:

$r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.$

Доказательство :Позволять $r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}$ , где $p=\lfloor 10^{n}x\rfloor$ .Затем $p\leq 10^{n}x<p+1$ , а результат следует из деления всех сторон на $10^{n}$ .(Тот факт, что $r_{n}$ имеет конечное десятичное представление, легко установить.)

Неединственность десятичного представления и соглашений об обозначениях

Немного реальных цифр $x$ иметь два бесконечных десятичных представления. Например, число 1 может быть одинаково представлено как 1,000..., так и 0,999... (где бесконечные последовательности конечных нулей или девяток соответственно обозначаются как "..."). Обычно предпочтительнее десятичное представление без конечных девяток. Более того, в стандартном десятичном представлении $x$ , бесконечная последовательность конечных нулей, появляющихся после десятичной точки , опускается вместе с самой десятичной точкой, если $x$ является целым числом.

Некоторые процедуры построения десятичного разложения числа $x$ позволит избежать проблемы с конечными девятками. Например, следующая алгоритмическая процедура даст стандартное десятичное представление: $x\geq 0$ , мы сначала определяем $a_{0}$ ( целая часть $x$ ) быть наибольшим целым числом таким, что $a_{0}\leq x$ (т.е. $a_{0}=\lfloor x\rfloor$ ). Если $x=a_{0}$ процедура завершается. В противном случае для ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ уже найдено, определяем $a_{k}$ индуктивно быть наибольшим целым числом, таким, что:

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.

( * )

Процедура завершается всякий раз, когда $a_{k}$ найден такой, что равенство выполнено в ( * ); в противном случае он продолжает бесконечно давать бесконечную последовательность десятичных цифр. Можно показать, что ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ ^[2] (традиционно пишется как $x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ ), где $a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},$ и неотрицательное целое число $a_{0}$ представляется в десятичной системе счисления . Эта конструкция распространена на $x<0$ применив описанную выше процедуру к $-x>0$ и обозначая полученное десятичное разложение через $-a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots$ .

Типы

Конечный

Десятичное разложение неотрицательного действительного числа x закончится нулями (или девятками) тогда и только тогда, когда x - рациональное число, знаменатель которого имеет вид 2. ^н5 ^м, где m и n — целые неотрицательные числа.

Доказательство :

Если десятичное представление x закончится нулями или ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$ для некоторого n знаменатель x имеет вид 10 ^н = 2 ^н5 ^н.

Обратно, если знаменатель x имеет вид 2 ^н5 ^м, $x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}$ для некоторых п .Хотя x имеет вид $\textstyle {\frac {p}{10^{k}}}$ , $p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}$ для некоторых н .К $x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}$ , x будет заканчиваться нулями.

бесконечный

Повторяющиеся десятичные представления

Некоторые действительные числа имеют десятичное представление, которое со временем зацикливается, бесконечно повторяя последовательность из одной или нескольких цифр:

1 ⁄ 3 = 0.33333...

1 ⁄ 7 = 0.142857142857...

1318 ⁄ 185 = 7.1243243243...

Каждый раз, когда это происходит, число по-прежнему остается рациональным числом (т.е. альтернативно может быть представлено как отношение целого числа к положительному целому числу).Верно и обратное: десятичное разложение рационального числа либо конечно, либо бесконечно повторяется.

Конечные десятичные представления также можно рассматривать как частный случай бесконечных повторяющихся десятичных представлений. Например, 36/25 = = 1,44 1,4400000...; бесконечно повторяющаяся последовательность — это однозначная последовательность «0».

Неповторяющиеся десятичные представления

Другие действительные числа имеют десятичное расширение, которое никогда не повторяется. Это именно иррациональные числа , числа, которые невозможно представить в виде отношения целых чисел. Некоторые известные примеры:

√ 2 = 1.41421356237309504880...

е = 2,71828182845904523536...

π = 3,14159265358979323846...

Преобразование в дробь

Каждое десятичное представление рационального числа можно преобразовать в дробь, преобразуя его в сумму целых, неповторяющихся и повторяющихся частей, а затем преобразуя эту сумму в одну дробь с общим знаменателем.

Например, чтобы преобразовать ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ до дроби следует отметить лемму: ${\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}$

Таким образом, конвертируется следующим образом: ${\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}$

Если нет повторяющихся цифр, предполагается, что существует вечно повторяющийся 0, например $1.9=1.9{\overline {0}}$ , хотя, поскольку это обнуляет повторяющийся член, сумма упрощается до двух членов и более простого преобразования.

Например: ${\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}$

См. также

Ссылки

^ Кнут, Дональд Эрвин (1973). Искусство компьютерного программирования . Том. 1: Фундаментальные алгоритмы. Аддисон-Уэсли . п. 21.
^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 11. ISBN 0-07-054235-Х .

Дальнейшее чтение

Апостол, Том (1974). Математический анализ (Второе изд.). Аддисон-Уэсли .
Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Десятичные представления» . четырехблок . Архивировано из оригинала 16 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.

[Knuth_1973-1] Кнут, Дональд Эрвин (1973). Искусство компьютерного программирования . Том. 1: Фундаментальные алгоритмы. Аддисон-Уэсли . п. 21.

[Walter_1976-2] Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 11. ISBN 0-07-054235-Х .

[1]

[2]