Распространение матрицы

В математике , а точнее в теории матриц , разброс матрицы — это наибольшее расстояние в комплексной плоскости между любыми двумя собственными значениями матрицы.

Определение

Позволять $A$ быть квадратной матрицей с собственными значениями $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$. То есть эти ценности $\lambda _{i}$ — комплексные числа такие, что существует вектор $v_{i}$ на котором $A$ действует путем скалярного умножения :

$Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}.$

Затем распространение ​ $A$ это неотрицательное число

$s(A)=\max\{|\lambda _{i}-\lambda _{j}|:i,j=1,\ldots n\}.$

Примеры

• Для нулевой матрицы и единичной матрицы разброс равен нулю. Нулевая матрица имеет только ноль в качестве собственных значений, а единичная матрица имеет только одно собственное значение. В обоих случаях все собственные значения равны, поэтому никакие два собственных значения не могут находиться на ненулевом расстоянии друг от друга.
• Для проекции единственными собственными значениями являются ноль и единица. Таким образом, матрица проекции имеет разброс, который либо $0$ (если все собственные значения равны) или $1$ (если имеются два разных собственных значения).
• Все собственные значения унитарной матрицы $A$ лежат на единичной окружности . Следовательно, в данном случае разброс максимум равен диаметру круга , цифре 2.
• Разброс матрицы зависит только от спектра матрицы (ее мультимножества собственных значений). Если вторая матрица $B$ того же размера обратима , то $BAB^{-1}$ имеет тот же спектр, что и $A$. Следовательно, он имеет такой же разброс, как и $A$.

См. также

• Поле значений

Ссылки

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств , Dover Publications , 1992, ISBN   0-486-67102-X . Глава.III.4.