Эвтактическая звезда
В евклидовой геометрии эвтактическая звезда — геометрическая фигура в евклидовом пространстве . Звезда — это фигура, состоящая из любого количества противоположных пар векторов (или ветвей), исходящих из центрального начала. Звезда является эвтактической, если она представляет собой ортогональную проекцию плюса и минуса набора стандартных базисных векторов (т. е. вершин перекрестного многогранника ) из многомерного пространства на подпространство . , стр. 134) «эвтактическими», что означает «хорошо расположенные» или «хорошо расположенные», Такие звезды были названы Шлефли (1901 потому что для общего скалярного кратного их векторы являются проекциями ортонормированного базиса . [1]
Определение
[ редактировать ]
Звезда размерности здесь определяется как набор из 2 s векторов A = ± a 1 , ..., ± as s, исходящих из определенного начала координат в евклидовом пространстве n ≤ s . Звезда является эвтактической, если a i являются проекциями на n измерений набора взаимно перпендикулярных равных векторов b 1 , ..., b s, исходящих из определенного начала координат в евклидовом s -мерном пространстве. [2] Конфигурация 2 s векторов в s -мерном пространстве B = ± b 1 , ... , ± b s называется крестом . Учитывая эти определения, эвтактическая звезда — это, вкратце, звезда, образованная ортогональной проекцией креста.
Эквивалентное определение, впервые упомянутое Шлефли , [3] утверждает, что звезда эвтактична, если константа ζ существует такая, что
для каждого вектора v . Существование такой константы требует, чтобы сумма квадратов ортогональных проекций А на прямую была равна во всех направлениях. [4] В общем,
Нормализованная единичных эвтактическая звезда представляет собой проецируемый крест, составленный из векторов . [2] [5] Эвтактические звезды часто рассматривают в измерениях n = 3 из-за их связи с изучением правильных многогранников .
Основная теорема Хадвигера
[ редактировать ]Пусть T — симметричное линейное преобразование , определенное для векторов x формулой
где a j образуют любой набор s векторов в n -мерном евклидовом пространстве. Основная теорема Хадвигера утверждает, что векторы ± a 1 , ..., ± as s образуют эвтактическую звезду тогда и только тогда, когда существует константа ζ такая, что T x = ζ x для каждого x . [2] [6] Векторы образуют нормализованную эвтактическую звезду именно тогда, когда T является тождественным оператором – когда ζ = 1.
Эквивалентно, звезда является нормализованной эвтактической тогда и только тогда, когда матрица A = [ a 1 ... a s ], столбцами которой являются векторы a k , имеет ортонормированные строки. Доказательство можно провести в одном направлении, дополняя строки этой матрицы до ортонормированного базиса , а в другом - путем ортогонального проектирования на n -мерное подпространство, натянутое на первые n декартовых координатных векторов.
Теорема Хадвигера подразумевает эквивалентность условия Шлефли и геометрического определения эвтактической звезды посредством тождества поляризации . Более того, и тождество Шлефли, и теорема Хадвигера дают одно и то же значение константы ζ .
Приложения
[ редактировать ]Эвтактические звезды полезны во многом из-за их связи с геометрией многогранников и группами ортогональных преобразований . Шлефли рано показал, что векторы из центра любого правильного многогранника к его вершинам образуют эвтактическую звезду. Брауэр и Коксетер доказали следующее обобщение: [7]
Звезда эвтактична, если она преобразуется в себя некоторой неприводимой группой ортогональных преобразований, действующей транзитивно на пары противоположных векторов.
Под неприводимой группой здесь понимается группа, которая не оставляет инвариантом ни одного нетривиального собственного подпространства (см. неприводимое представление ). Поскольку теоретико-множественный союз двух эвтактических звезд сам по себе является эвтактическим (следствие основной теоремы Хадвигера ), можно заключить, что в общем: [4]
Звезда эвтактична, если она преобразуется в себя некоторой неприводимой группой ортогональных преобразований.
Эвтактические звезды можно использовать для подтверждения эвтаксии любой формы вообще. Согласно HSM Coxeter : «Форма является эвтактической тогда и только тогда, когда ее минимальные векторы параллельны векторам эвтактической звезды». [4]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Д.М. Цветкович; П. Роулинсон; С. Симич (1997). Собственные пространства графов . Издательство Кембриджского университета. п. 151 . ISBN 0-521-57352-1 .
- ^ Jump up to: а б с Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1973). Правильные многогранники . Публикации Courier Dover. п. 251 . ISBN 0-486-61480-8 .
- ^ Шлефли, Людвиг (1949). «Теория множественной непрерывности». Сборник математических сочинений (на немецком языке). Том I. Биркхойзер Верлаг. Збл 0035.21902 .
- ^ Jump up to: а б с Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1951). «Крайние формы» . Канадский математический журнал . 3 : 391–441. дои : 10.4153/CJM-1951-045-8 . ISSN 0008-414X . МР 0044580 . S2CID 247197697 .
- ^ Э. В. Вайсштейн. «Эвтактическая звезда – MathWorld» . Проверено 28 августа 2009 г.
- ^ Э. В. Вайсштейн. «Основная теорема Хадвигера - MathWorld» . Проверено 28 августа 2009 г.
- ^ Брауэр, Р .; Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1940). «Обобщение теорем Шенхардта и Мемке о многогранниках». Пер. Рой. Соц. Канада. Секта. III. (3) . 34 : 29–34. МР 0002869 . .
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 12 января 2014 г. Проверено 11 января 2014 г.
{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
- Шлефли, Людвиг (1901) [1852], Граф, Дж. Х. (ред.), Теория множественной непрерывности , переизданные историческими математическими монографиями библиотеки Корнелльского университета, 2010 г. (на немецком языке), Цюрих, Базель: Georg & Co., ISBN 978-1-4297-0481-6