Стек модулей основных пакетов

В алгебраической геометрии дана гладкая проективная кривая X над конечным полем. $\mathbf {F} _{q}$ и гладкая аффинная групповая схема G над ней — стек модулей главных расслоений над X , обозначаемый через $\operatorname {Bun} _{G}(X)$, представляет собой алгебраический стек, заданный формулой: для любого $\mathbf {F} _{q}$-алгебра R ,

$\operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=$ категория главных G -расслоений над относительной кривой $X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R$.

В частности, категория $\mathbf {F} _{q}$-точки $\operatorname {Bun} _{G}(X)$, то есть, $\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})$ категория G -расслоений над X. , —

Сходным образом, $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ также может быть определено, когда кривая X находится над полем комплексных чисел. Грубо говоря, в сложном случае можно определить $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ как факторстек пространства голоморфных связностей на X по калибровочной группе . Замена факторстека (который не является топологическим пространством) гомотопическим фактором (который является топологическим пространством) дает гомотопический тип $\operatorname {Bun} _{G}(X)$.

В случае конечного поля не принято определять гомотопический тип $\operatorname {Bun} _{G}(X)$. Но все же можно определить гладкие ) когомологии и гомологии ( $\operatorname {Bun} _{G}(X)$.

Основные свойства

Известно, что $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ представляет собой гладкую стопку измерений $(g(X)-1)\dim G$ где $g(X)$ родом X. является Он не конечного типа, а локально конечного типа; таким образом, обычно используется стратификация открытыми подстеками конечного типа (ср. стратификацию Хардера – Нарасимхана ), также для парагорического G над кривой X см. а для G — только плоская групповая схема конечного типа над X, см.

Если G — расщепимая редуктивная группа, то множество компонент связности $\pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))$ находится в естественной биекции с фундаментальной группой $\pi _{1}(G)$.

Формула Атьи-Ботта

Основная статья: формула Атьи – Ботта

Формула следа Беренда

См. Также: гипотеза Вейля о числах Тамагавы и формуле Беренда.

Это (предположительная) версия формулы следа Лефшеца для $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ когда X находится над конечным полем, введенное Берендом в 1993 году. В нем говорится: если G — гладкая аффинная групповая схема с полупростым связным слоем общего положения , то

$\#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))$

где ( см. Также в формуле следа Беренда подробности )

• l — простое число, отличное от p , и кольцо $\mathbb {Z} _{l}$ рассматривается l-адических целых чисел как подкольцо $\mathbb {C}$.
• $\phi$ есть геометрический Фробениус .
• $\#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}$, сумма пробегает все классы изоморфизма G-расслоений на X и сходится.
• $\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})$ для градуированного векторного пространства $V_{*}$, если ряд справа абсолютно сходится.

Априори ни левая, ни правая часть формулы не сходится. Таким образом, формула утверждает, что две стороны сходятся к конечным числам и что эти числа совпадают.

Ссылки

• Хейнлот, Йохен (2010), «Лекции о стеке модулей векторных расслоений на кривой» (PDF) , в Шмитте, Александре (редактор), Многообразия аффинных флагов и главные расслоения , Тенденции в математике, Базель: Биркхойзер / Шпрингер, стр. 123–153, doi : 10.1007/978-3-0346-0288-4_4 , ISBN.  978-3-0346-0287-7 , МР   3013029
• Дж. Хейнлот, АХВ Шмитт, Кольцо когомологий стеков модулей главных расслоений над кривыми, препринт 2010 г., доступен по адресу http://www.uni-essen.de/~hm0002/ .
• Гайтсгори, Деннис; Лурье, Джейкоб (2019), Гипотеза Вейля для функциональных полей, Vol. 1 (PDF) , Анналы математических исследований, том. 199, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN.  978-0-691-18214-8 , МР   3887650

Дальнейшее чтение

• К. Зоргер, Лекции о модулях главных G-расслоений над алгебраическими кривыми

См. также

• Геометрические гипотезы Ленглендса
• Пробежал пространство
• Стек модулей векторных расслоений