Межуниверсальная теория Тейхмюллера
Межуниверсальная теория Тейхмюллера (сокращенно IUT или IUTT ) — это название, данное математиком Шиничи Мотидзуки теории, которую он разработал в 2000-х годах после своих более ранних работ в области арифметической геометрии . По словам Мотидзуки, это «арифметическая версия теории Тейхмюллера для числовых полей, снабженных эллиптической кривой ». Теория была обнародована в серии из четырех препринтов, размещенных в 2012 году на его сайте. Наиболее ярким заявленным применением теории является доказательство различных выдающихся гипотез теории чисел , в частности abc гипотезы . Мотидзуки и несколько других математиков утверждают, что теория действительно дает такое доказательство, но оно до сих пор не было принято математическим сообществом.
История
Теория была полностью разработана Мотидзуки до 2012 года, а последние части были написаны в серии из четырех препринтов. [1] Мотидзуки обнародовал свою работу в августе 2012 года без какой-либо помпы, которая обычно сопровождает крупные достижения, разместив статьи только на сервере препринтов своего учреждения и на своем веб-сайте и не сделав никаких заявлений коллегам. [2] [3] [4] Вскоре после этого статьи были подхвачены Акио Тамагавой и Иваном Фесенко , и все математическое сообщество узнало о утверждениях о доказательстве гипотезы abc. [4]
Поначалу это заявление было воспринято с энтузиазмом, хотя теоретики чисел были сбиты с толку оригинальным языком, введенным и использованным Мотидзуки. [5] [6] [7] Семинары по IUT прошли в RIMS в марте 2015 г., в Пекине в июле 2015 г. [8] в Оксфорде в декабре 2015 г. и в RIMS в июле 2016 г. Два последних мероприятия собрали более 100 участников. Презентации этих семинаров доступны в Интернете. [9] [10] Однако это не привело к более широкому пониманию идей Мотидзуки, и эти события не изменили статус заявленного им доказательства. [11]
В 2017 году ряд математиков, подробно изучивших аргумент Мотидзуки, указали на конкретный момент, который они не могли понять, ближе к концу доказательства следствия 3.12 в третьей из четырех статей. [12]
В марте 2018 года Питер Шольце и Якоб Стикс посетили Киотский университет для пятидневных дискуссий с Мотидзуки и Юитиро Хоши ;хотя это и не устранило разногласия, оно позволило сосредоточить внимание на проблемах. [12] [13] Это также привело к публикации отчетов о дискуссии обеими сторонами:
- В мае 2018 года Шольце и Стикс написали 10-страничный отчет, обновленный в сентябре 2018 года, в котором подробно описывался (ранее выявленный) пробел в следствии 3.12 в доказательстве, описывая его как «настолько серьезный, что, по [их] мнению, небольшие модификации не спасут стратегия доказательства», и что препринт Мотидзуки не может претендовать на доказательство abc. [14]
- В сентябре 2018 года Мотидзуки написал 41-страничное изложение своей точки зрения на дискуссии и выводы о том, какие аспекты своей теории он считает неправильно понятыми. [15] В частности, он называет:
- «повторная инициализация» (математических) объектов, делающая их предыдущую «историю» недоступной;
- «метки» для разных «версий» объектов;
- акцент на типах («видах») объектов.
- В июле и октябре 2018 года Мотидзуки написал 8- и 5-страничные реакции на майскую и сентябрьскую версии отчета Шольце и Якоба Стикса, утверждая, что разрыв является результатом их упрощений и что в его теории нет пробелов. [16] [17]
Мотидзуки опубликовал свою работу в серии из четырех журнальных статей в 2021 году в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University . [18] которого он является главным редактором . [19] [20] В обзоре этих статей в zbMATH Питер Шольце написал, что его опасения 2017 и 2018 годов «не были решены в опубликованной версии». [18] Другие авторы указывали на неразрешенный спор между Мотидзуки и Шольце по поводу правильности этой работы как на случай, когда процесс рецензирования публикаций математических журналов не смог выполнить свою обычную функцию убеждения математического сообщества в целом в обоснованности работы. результат. [19] [20] [21]
Математическое значение
Область применения теории
Межуниверсальная теория Тейхмюллера является продолжением предыдущей работы Мотидзуки в области арифметической геометрии. Эта работа, получившая рецензирование и хорошо принятая математическим сообществом, включает в себя значительный вклад в анабелеву геометрию и развитие p-адической теории Тейхмюллера , теории Ходжа-Аракелова и категорий Фробениоида . Он был разработан с явными ссылками на цель более глубокого понимания abc и связанных с ним гипотез. В геометрической постановке аналоги некоторых идей ИТУ появляются в доказательстве Богомолова геометрического неравенства Шпиро . [22]
Ключевой предпосылкой для IUT является моноанабелева геометрия Мотидзуки и результаты ее реконструкции, которые позволяют извлекать различные теоретико-схемные объекты, связанные с гиперболической кривой над числовым полем, на основе знаний ее фундаментальной группы или определенных групп Галуа. IUT применяет алгоритмические результаты моноанабелевой геометрии для восстановления соответствующих схем после применения к ним арифметических деформаций; ключевую роль играют три жесткости, установленные в этальной тэта-теории Мотидзуки. Грубо говоря, арифметические деформации изменяют умножение данного кольца, и задача состоит в том, чтобы измерить, насколько изменилось сложение. [23] Инфраструктура для процедур деформации декодируется определенными связями между так называемыми театрами Ходжа, такими как тета-ссылка и лог-ссылка. [24]
Эти театры Ходжа используют две основные симметрии IUT: мультипликативную арифметику и аддитивную геометрическую. С одной стороны, театры Ходжа обобщают такие классические объекты теории чисел, как адели и идели, по отношению к их глобальным элементам. С другой стороны, они обобщают некоторые структуры, возникшие в предыдущей теории Ходжа-Аракелова Мотидзуки. Связи между театрами несовместимы с кольцевыми или схемными структурами и осуществляются вне традиционной арифметической геометрии. Однако они совместимы с определенными групповыми структурами, и абсолютные группы Галуа, а также определенные типы топологических групп играют фундаментальную роль в IUT. Соображения о мультирадиальности, обобщении функториальности, подразумевают, что необходимо ввести три умеренных неопределенности. [24]
Следствия в теории чисел
Основное заявленное применение IUT - это решение различных гипотез в теории чисел, среди них гипотеза abc , а также более геометрические гипотезы, такие как Гипотеза Шпиро об эллиптических кривых и гипотеза Войты для кривых.
Первым шагом является преобразование арифметической информации об этих объектах. [ нужны дальнейшие объяснения ] к настройке категорий фробениоидов. Утверждается, что дополнительная структура на этой стороне позволяет выводить утверждения, которые преобразуются обратно в заявленные результаты. [25]
с использованием IUT не представляется возможным Одна из проблем с аргументами Мотидзуки, которую он признает, заключается в том, что получить промежуточные результаты в заявленном им доказательстве гипотезы abc . Другими словами, не существует меньшего подмножества его аргументов, которое было бы легче подвергнуть анализу сторонними экспертами и которое привело бы к новому результату в диофантовой геометрии. [25]
Веселин Димитров извлек из рассуждений Мотидзуки доказательство количественного результата по abc, которое в принципе могло бы дать опровержение доказательства. [26]
Ссылки
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2012a), Межуниверсальная теория Тейхмюллера I: Строительство театров Ходжа (PDF)
Mochizuki, Shinichi (2012b), Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge–Arakelov-theoretic Evaluation (PDF)
Мотидзуки, Шиничи (2012c), Межуниверсальная теория Тейхмюллера III: Канонические расщепления лог-тэта-решетки (PDF) .
Мотидзуки, Шиничи (2012d), Межуниверсальная теория Тейхмюллера IV: вычисления лог-объемов и теоретико-множественные основы (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 28 декабря 2016 г. , получено 9 сентября 2012 г. - ^ «Препринты RIMS, опубликованные в 2012 году» . Научно-исследовательский институт математических наук . Проверено 6 октября 2021 г.
- ^ Мотидзуки, Шиничи. «Межуниверсальный геометр: Шиничи Мотидзуки» . Проверено 6 октября 2021 г.
- ^ Перейти обратно: а б Кастельвекки, Давиде (7 октября 2015 г.), «Самая большая загадка математики: Шиничи Мочизуки и непроницаемое доказательство», Nature , 526 (7572): 178–181, Бибкод : 2015Natur.526..178C , doi : 10.1038/526178a , ПМИД 26450038
- ^ Элленберг, Иордания (3 сентября 2012 г.). «Мотидзуки на канале ABC» . Куомодокумк . Проверено 6 октября 2021 г.
Но ясно, что здесь затрагиваются идеи, совершенно выходящие за рамки основного направления предмета. Глядя на него, создается ощущение, будто читаешь статью из будущего или из космоса.
- ^ Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство существования глубокой связи между простыми числами» . Природа . дои : 10.1038/nature.2012.11378 . Проверено 19 марта 2018 г.
- ↑ «Парадокс доказательства» , Кэролайн Чен, по состоянию на 11 мая 2013 г.
- ^ Будущие и прошлые семинары по теории IUT Шиничи Мотидзуки
- ^ «Оксфордский семинар по теории IUT Шиничи Мотидзуки, 7–11 декабря 2015 г.» . Университет Ноттингема . Проверено 19 марта 2018 г.
- ^ «Межуниверсальный теоретический саммит Тейхмюллера 2016 (семинар RIMS, 18-27 июля 2016 г.)» . Университет Ноттингема . Проверено 19 марта 2018 г.
- ^ Ревелл, Тимоти (18 декабря 2017 г.). «Математик собирается опубликовать доказательство ABC, которое почти никто не понимает» . Новый учёный . Проверено 14 апреля 2018 г.
- ^ Перейти обратно: а б Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Столкновение титанов математики из-за эпического доказательства гипотезы ABC» . Журнал Кванта .
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Мартовские дискуссии 2018 года на IUTeich» . Проверено 2 октября 2018 г. Веб-страница Мотидзуки, описывающая дискуссии и ссылки на последующие публикации (следующие ссылки), статьи Ивана Фесенко и видео Фумихару Като из Токийского технологического института.
- ^ Шольце, Питер ; Стикс, Джейкоб . «Почему abc — до сих пор остается догадкой» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2020 г. Проверено 23 сентября 2018 г. (обновленная версия их майского отчета. Архивировано 8 февраля 2020 г. на Wayback Machine )
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Отчет о дискуссиях, состоявшихся с 15 по 20 марта 2018 г. относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 2 октября 2018 г.
…дискуссии… представляют собой первые подробные, …содержательные дискуссии, касающиеся негативных позиций… ИУТч.
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса, касающейся межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 2 октября 2018 г.
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса (версия 2018–2008 гг.), касающейся межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 2 октября 2018 г.
Большинство комментариев (его предыдущей реакции) не были рассмотрены в (их сентябрьском обновлении) и, следовательно… остаются в силе.
Дополнение к его предыдущей реакции. - ^ Перейти обратно: а б Шольце, Питер (2021). Обзор «Межуниверсальной теории Тейхмюллера», части IV, Опубл. Рез. Инст. Математика. наук. , 2021 . Збл 1465.14002 .
- ^ Перейти обратно: а б Бордж, Энтони (март 2021 г.). «Кризис репликации в математике?» . Математический интеллект . 43 (4): 48–52. дои : 10.1007/s00283-020-10037-7 . ПМК 8700325 . ПМИД 34966193 .
- ^ Перейти обратно: а б Брент, Ричард (июль 2021 г.). «Некоторые поучительные математические ошибки». Кленовые транзакции . 1 (1). Артикул 14069. arXiv : 2106.07269 . дои : 10.5206/mt.v1i1.14069 . S2CID 235421869 .
- ^ Риттберг, Колин Джейкоб (февраль 2021 г.). «Интеллектуальное смирение в математике» . Синтезируйте . 199 (3–4): 5571–5601. дои : 10.1007/s11229-021-03037-3 . S2CID 189003361 .
- ^ Мотидзуки, Шиничи (2016), Доказательство Богомоловым геометрической версии гипотезы Шпиро с точки зрения межуниверсальной теории Тейхмюллера, Рез. Математика. наук. 3(2016), 3:6
- ^ Фесенко, Иван (2016), «Фукуген, Вывод: Международное обозрение науки, 2016» , Вывод , 2 (3)
- ^ Перейти обратно: а б Мотидзуки, Шиничи (2016), Математика взаимно чуждых копий: от гауссовых интегралов к межуниверсальной теории Тейхмюллера (PDF)
- ^ Перейти обратно: а б Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки Брайана Конрада о семинаре IUT в Оксфорде» . 3. Что такое межуниверсальная теория Тейхмюллера (IUT)? . Проверено 18 марта 2018 г.
{{cite web}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка ) - ^ Веселин, Димитров (14 января 2016 г.). «Эффективность работы Мотидзуки над abc-гипотезой». arXiv : 1601.03572 [ math.NT ].
Внешние ссылки
- Шиничи Мочизуки (1995–2018), Документы Шиничи Мочизуки
- Шиничи Мотидзуки (2014), Панорамный обзор межуниверсальной теории Тейхмюллера
- Юитиро Хоши; Го Ямасита (2015), Совместный исследовательский семинар RIMS: О проверке и дальнейшем развитии межуниверсальной теории Тейхмюллера
- Иван Фесенко (2015), Теория арифметической деформации с помощью арифметических фундаментальных групп и неархимедовых тета-функций, заметки о работе Шиничи Мотидзуки .
- Юичиро Хоши (2015) Введение в межуниверсальную теорию Тейхмюллера, обзор на японском языке