Геометрия Руппайнера

Геометрия Руппейнера — термодинамическая геометрия (разновидность информационной геометрии ), использующая язык римановой геометрии для изучения термодинамики . Джордж Руппайнер предложил это в 1979 году. Он утверждал, что термодинамические системы могут быть представлены римановой геометрией и что статистические свойства могут быть получены из этой модели.

Эта геометрическая модель основана на включении теории флуктуаций в аксиомы равновесной термодинамики , а именно, существуют состояния равновесия, которые могут быть представлены точками на двумерной поверхности (многообразии), и расстояние между этими состояниями равновесия связано с колебание между ними. Эта концепция связана с вероятностями, т.е. чем менее вероятно колебание между состояниями, тем дальше они находятся друг от друга. Это можно понять, если учесть метрический тензор g _ij в формуле расстояния (линейный элемент) между двумя состояниями равновесия.

$ds^{2}=g_{ij}^{R}dx^{i}dx^{j},\,$

где матрица коэффициентов g _ij представляет собой симметричный метрический тензор, называемый метрикой Руппейнера , определяемый как отрицательный гессиан энтропии функции

$g_{ij}^{R}=-\partial _{i}\partial _{j}S(U,N^{a})$

где U — внутренняя энергия (масса) системы, а N ^а относится к обширным параметрам системы. Математически геометрия Руппейнера представляет собой один особый тип информационной геометрии и похожа на метрику Фишера-Рао, используемую в математической статистике.

Метрику Руппейнера можно понимать как термодинамический предел (предел больших систем) более общей информационной метрики Фишера . Для небольших систем (систем с большими флуктуациями) метрика Руппейнера может не существовать, поскольку не гарантируется, что вторые производные энтропии будут неотрицательными.

Метрика Руппейнера конформно связана с метрикой Вейнхольда соотношением

$ds_{R}^{2}={\frac {1}{T}}ds_{W}^{2}\,$

где Т — температура рассматриваемой системы. Доказательство конформного соотношения можно легко провести, записав первый закон термодинамики ( dU = TdS + ...) в дифференциальной форме с помощью нескольких манипуляций. Геометрию Вейнхольда также рассматривают как термодинамическую геометрию. Он определяется как гессиан внутренней энергии по отношению к энтропии и другим обширным параметрам.

$g_{ij}^{W}=\partial _{i}\partial _{j}U(S,N^{a})$

Давно замечено, что метрика Руппейнера плоская для систем с невзаимодействующей статистической механикой, таких как идеальный газ. Особенности кривизны сигнализируют о критическом поведении. Кроме того, он применялся к ряду статистических систем, включая Ван-дер-Ваальса газ . Недавно с использованием этого подхода был изучен анионный газ.

Применение к системам черных дыр

Эта геометрия была применена к термодинамике черных дыр с некоторыми физически значимыми результатами. Наиболее физически значимый случай — это черная дыра Керра в более высоких измерениях, где сингулярность кривизны сигнализирует о термодинамической нестабильности, как было обнаружено ранее традиционными методами.

Энтропия черной дыры определяется известной формулой Бекенштейна–Хокинга.

$S={\frac {k_{\text{B}}c^{3}A}{4G\hbar }}$

где $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана , $c$ это скорость света , $G$ – ньютоновская постоянная гравитации и $A$ — площадь горизонта событий черной дыры. Вычисление руппейнеровской геометрии энтропии черной дыры в принципе несложно, но важно, чтобы энтропия была записана в терминах экстенсивных параметров:

$S=S(M,N^{a})$

где $M$ – масса ADM черной дыры и N ^а — сохраняющиеся заряды, а a пробегает от 1 до n . дырки Сигнатура метрики отражает знак теплоемкости . Для черной дыры Рейснера-Нордстрема метрика Руппейнера имеет лоренцеву сигнатуру, которая соответствует отрицательной теплоемкости, которой она обладает, тогда как для черной дыры BTZ мы имеем евклидову сигнатуру. Этот расчет невозможно выполнить для черной дыры Шварцшильда, поскольку ее энтропия равна

$S=S(M)$

что приводит к вырождению метрики.

Ссылки

• Руппайнер, Джордж (1995). «Риманова геометрия в термодинамической теории колебаний». Обзоры современной физики . 67 (3): 605–659. Бибкод : 1995РвМП...67..605Р . дои : 10.1103/RevModPhys.67.605 . .
• Оман, Джон Э.; Бенгтссон, Ингемар; Пидокрайт, Нарит; Уорд, Джон (2008). «Термодинамическая геометрия черных дыр». Одиннадцатая встреча Марселя Гроссмана . стр. 1511–1513. дои : 10.1142/9789812834300_0182 .