Уравнение Пикара – Фукса

В математике уравнение Пикара-Фукса , названное в честь Эмиля Пикара и Лазаря Фукса , представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение , решения которого описывают периоды эллиптических кривых .

Определение

Позволять

$j={\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}$

быть j-инвариантом с $g_{2}$ и $g_{3}$ модулярные инварианты эллиптической кривой в форме Вейерштрасса :

$y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}.\,$

Заметим, что j -инвариант является изоморфизмом римановой поверхности $\mathbb {H} /\Gamma$ в сферу Римана $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$; где $\mathbb {H}$ – верхняя полуплоскость и $\Gamma$ это модульная группа . Тогда уравнение Пикара – Фукса имеет вид

${\frac {d^{2}y}{dj^{2}}}+{\frac {1}{j}}{\frac {dy}{dj}}+{\frac {31j-4}{144j^{2}(1-j)^{2}}}y=0.\,$

Записанный в Q-форме , имеем

${\frac {d^{2}f}{dj^{2}}}+{\frac {1-1968j+2654208j^{2}}{4j^{2}(1-1728j)^{2}}}f=0.\,$

Решения

Это уравнение можно привести к форме гипергеометрического дифференциального уравнения . Она имеет два линейно независимых решения, называемых периодами эллиптических функций. Отношение двух периодов равно отношению периодов τ, стандартной координате на верхней полуплоскости. Однако отношение двух решений гипергеометрического уравнения также известно как отображение треугольника Шварца .

Уравнение Пикара-Фукса можно привести к форме дифференциального уравнения Римана , и, таким образом, решения можно напрямую считать с точки зрения P-функций Римана . У одного есть

$y(j)=P\left\{{\begin{matrix}0&1&\infty &\;\\{1/6}&{1/4}&0&j\\{-1/6\;}&{3/4}&0&\;\end{matrix}}\right\}\,$

как минимум четыре метода поиска обратной j-функции Можно предложить .

определяет j Дедекинд в своем письме Борхардту -функцию через ее производную Шварца. Как частичная дробь, она раскрывает геометрию фундаментальной области:

$2(S\tau )(j)={\frac {1-{\frac {1}{4}}}{(1-j)^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{9}}}{j^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}}{j(1-j)}}={\frac {3}{4(1-j)^{2}}}+{\frac {8}{9j^{2}}}+{\frac {23}{36j(1-j)}}$

где ( ) ( x ) — производная Шварца ƒ Sƒ по x .

Обобщение

В алгебраической геометрии было показано, что это уравнение является частным случаем общего явления — связи Гаусса–Манина .

Ссылки

Педагогический

• Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)
• Дж. Харнад и Дж. Маккей, Модульные решения уравнений обобщенного типа Халфена , Proc. Р. Сок. Лонд. А 456 (2000), 261–294,

Ссылки

• Дж. Харнад, Уравнения Пикара-Фукса, гауптмодули и интегрируемые системы , глава 8 (стр. 137–152) книги « Интегрируемость: уравнение Зайберга-Виттена и Уитэма» (ред. Х.В. Брейдена и И.М. Кричевера, Гордон и Брич, Амстердам (2000) ). arXiv:solv-int/9902013
• Подробное доказательство уравнения Пикара-Фукса: Милла, Лоренц (2018), Подробное доказательство формулы Чудновского средствами базового комплексного анализа , arXiv : 1809.00533