Отношение площади поверхности к объему

Отношение площади поверхности к объему или отношение поверхности к объему (обозначаемое как SA:V , SA/V или sa/vol ) — это соотношение между площадью поверхности и объемом объекта или набора объектов.

SA:V — важная концепция в науке и технике. Он используется для объяснения связи между структурой и функцией в процессах, происходящих через поверхность и объем. Хорошими примерами таких процессов являются процессы, управляемые уравнением теплопроводности : ^[1] то есть диффузия и передача тепла посредством теплопроводности . ^[2] SA:V используется для объяснения диффузии небольших молекул, таких как кислород и углекислый газ, между воздухом, кровью и клетками. ^[3] потеря воды животными, ^[4] бактериальный морфогенез, ^[5] организма терморегуляция , ^[6] проектирование искусственной костной ткани, ^[7] искусственные легкие ^[8] и многие другие биологические и биотехнологические структуры. Дополнительные примеры см. в разделе Стекольщик. ^[9]

Связь между SA:V и скоростью диффузии или теплопроводности объясняется с точки зрения потока и поверхности, при этом основное внимание уделяется поверхности тела как месту, где происходит диффузия или теплопроводность, т.е. чем больше SA:V, тем больше SA:V. большая площадь поверхности на единицу объема, через которую может диффундировать материал, следовательно, диффузия или теплопроводность будут происходить быстрее. Аналогичное объяснение встречается в литературе: «Малый размер подразумевает большое соотношение площади поверхности к объему, что помогает максимизировать поглощение питательных веществ через плазматическую мембрану». ^[10] и в других местах. ^[9]^[11]^[12]

Для данного объема объект с наименьшей площадью поверхности (и, следовательно, с наименьшим SA:V) представляет собой шар , что является следствием изопериметрического неравенства в трех измерениях . Напротив, объекты с остроугольными шипами будут иметь очень большую площадь поверхности для данного объема.

Для твердых сфер

или Твердая сфера шар — это трёхмерный объект, представляющий собой твёрдую фигуру, ограниченную сферой . (В геометрии термин «сфера» сфере не хватает объема правильно относится только к поверхности, поэтому в этом контексте .)

Для обычного трехмерного шара SA:V можно рассчитать, используя стандартные уравнения для поверхности и объема, которые имеют вид соответственно: $SA=4\pi {r^{2}}$ и $V=(4/3)\pi {r^{3}}$ . Таким образом , для единичного случая, когда r = 1, SA:V равно 3. В общем случае SA:V равно 3/ r в обратной зависимости от радиуса - если радиус удваивается, SA:V уменьшается вдвое ( см. рисунок).

Для n -мерных шаров

Шары существуют в любом измерении и обычно называются n -шарами или гипершарами , где n — количество измерений. Те же рассуждения можно обобщить на n-шары, используя общие уравнения для объема и площади поверхности, а именно:

V={\frac {r^{n}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}

SA={\frac {nr^{n-1}\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+{n/2})}}

Таким образом, соотношение равно $SA/V=nr^{-1}$ . Таким образом, одна и та же линейная зависимость между площадью и объемом сохраняется для любого количества измерений (см. рисунок): удвоение радиуса всегда уменьшает соотношение вдвое.

Размер и единицы измерения

Отношение площади поверхности к объему имеет физический размер, обратный длине (L ⁻¹) и поэтому выражается в единицах обратного метра (м ^-1) или его с префиксом кратные и дольные единицы . Например, куб со стороной 1 см будет иметь площадь поверхности 6 см. ² и объём 1 см. ³. Таким образом, отношение поверхности к объему для этого куба равно

{\mbox{SA:V}}={\frac {6~{\mbox{cm}}^{2}}{1~{\mbox{cm}}^{3}}}=6~{\mbox{cm}}^{-1}

.

Для данной формы SA:V обратно пропорционально размеру. Куб со стороной 2 см имеет отношение 3 см. ⁻¹, что вдвое меньше куба со стороной 1 см. И наоборот, сохранение SA:V по мере увеличения размера требует изменения формы до менее компактной .

Приложения

Физическая химия

Материалы с высоким соотношением площади поверхности к объему (например, очень маленького диаметра, очень пористые или по другим причинам некомпактные ) реагируют гораздо быстрее, чем монолитные материалы, поскольку для реакции доступна большая поверхность. Примером может служить зерновая пыль: хотя зерно обычно не является горючим, зерновая пыль взрывоопасна . Мелко помолотая соль растворяется гораздо быстрее, чем крупная.

Высокое соотношение площади поверхности к объему обеспечивает сильную «движущую силу» для ускорения термодинамических процессов, которые минимизируют свободную энергию .

Биология

Соотношение площади поверхности и объема клеток и организмов оказывает огромное влияние на их биологию , включая физиологию и поведение . Например, многие водные микроорганизмы увеличили площадь поверхности, чтобы увеличить сопротивление воде. Это снижает скорость их погружения и позволяет им оставаться у поверхности с меньшими затратами энергии. ^{[ нужна ссылка ]}

Увеличение соотношения площади поверхности к объему также означает повышенное воздействие окружающей среды. Мелкоразветвленные придатки фильтраторов, таких как криль, обеспечивают большую площадь поверхности для просеивания воды для получения пищи. ^[13]

Отдельные органы, такие как легкие, имеют многочисленные внутренние разветвления, которые увеличивают площадь поверхности; в случае легких большая поверхность поддерживает газообмен, доставляя кислород в кровь и выделяя углекислый газ из крови. ^[14]^[15] Точно так же тонкая кишка имеет мелкоморщинистую внутреннюю поверхность, что позволяет организму эффективно усваивать питательные вещества. ^[16]

Клетки могут достигать высокого соотношения площади поверхности к объему со сложной извитой поверхностью, как у микроворсинок, выстилающих тонкую кишку . ^[17]

Увеличение площади поверхности также может привести к биологическим проблемам. Увеличение контакта с окружающей средой через поверхность клетки или органа (по отношению к ее объему) увеличивает потерю воды и растворенных веществ. Высокое соотношение площади поверхности к объему также создает проблемы контроля температуры в неблагоприятных условиях. ^{[ нужна ссылка ]}

Соотношение поверхности и объема организмов разных размеров также приводит к некоторым биологическим правилам, таким как правило Аллена , правило Бергмана. ^[18]^[19]^[20] и гигантотермия . ^[21]

Распространение огня

В контексте лесных пожаров важным показателем является отношение площади поверхности твердого топлива к его объему. Характер распространения огня часто коррелирует с соотношением площади поверхности к объему топлива (например, листьев и ветвей). Чем выше его значение, тем быстрее частица реагирует на изменения условий окружающей среды, например, температуры или влажности. Более высокие значения также коррелируют с более коротким временем воспламенения топлива и, следовательно, с более высокой скоростью распространения огня.

Планетарное охлаждение

Тело из ледяного или каменистого материала в космическом пространстве может, если оно способно накапливать и сохранять достаточно тепла, иметь дифференцированную внутреннюю часть и изменять свою поверхность в результате вулканической или тектонической активности. Продолжительность времени, в течение которого планетарное тело может поддерживать активность, изменяющую поверхность, зависит от того, насколько хорошо оно сохраняет тепло, и это определяется соотношением площади его поверхности к объему. Для Весты (r=263 км) это соотношение настолько велико, что астрономы были удивлены, обнаружив, что она действительно дифференцирована и имеет кратковременную вулканическую активность. Луна ; , Меркурий и Марс имеют радиусы в несколько тысяч километров все три достаточно хорошо сохраняли тепло, чтобы их можно было тщательно дифференцировать, хотя примерно через миллиард лет они стали слишком холодными, чтобы проявлять что-либо большее, чем очень локализованную и нечастую вулканическую активность. Однако по состоянию на апрель 2019 года НАСА объявило об обнаружении «марсотрясения», измеренного 6 апреля 2019 года спускаемым аппаратом НАСА InSight. ^[22] Венера и Земля (r>6000 км) имеют достаточно низкое соотношение площади поверхности к объему (примерно вдвое меньше, чем у Марса, и намного ниже, чем у всех других известных каменистых тел), поэтому их теплопотери минимальны. ^[23]

Математические примеры

Форма	Характеристика длина $a$	SA/V ratio	SA/V ratio for единица объема
Тетраэдр	край	${\frac {6{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {14.697}{a}}$	7.21
Куб	край	${\frac {6}{a}}$	6
Октаэдр	край	${\frac {3{\sqrt {6}}}{a}}\approx {\frac {7.348}{a}}$	5.72
Додекаэдр	край	${\frac {12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{(15+7{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {2.694}{a}}$	5.31
Капсула	радиус (R)	${\frac {12}{5a}}$	5.251
Икосаэдр	край	${\frac {12{\sqrt {3}}}{(3+{\sqrt {5}})a}}\approx {\frac {3.970}{a}}$	5.148
Сфера	радиус	${\frac {3}{a}}$	4.83598

Примеры кубиков разного размера
Сторона куб	Сторона ²	Площадь одно лицо	6 × сторона ²	Площадь весь куб (6 лиц)	Сторона ³	Объем	Соотношение площадь поверхности объем
2	2×2	4	6×2×2	24	2×2×2	8	3:1
4	4×4	16	6×4×4	96	4×4×4	64	3:2
6	6×6	36	6×6×6	216	6×6×6	216	3:3
8	8×8	64	6×8×8	384	8×8×8	512	3:4
12	12×12	144	6×12×12	864	12×12×12	1,728	3:6
20	20×20	400	6×20×20	2,400	20×20×20	8,000	3:10
50	50×50	2,500	6×50×50	15,000	50×50×50	125,000	3:25
1,000	1,000×1,000	1,000,000	6×1,000×1,000	6,000,000	1,000×1,000×1,000	1,000,000,000	3:500

См. также

Ссылки

Шмидт-Нильсен, Кнут (1984). Масштабирование: почему размер животного так важен? . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-26657-4 . ОСЛК 10697247 .
Фогель, Стивен (1988). Устройства жизни: физический мир животных и растений . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08504-3 . OCLC 18070616 .

Специфический

^ Планиншич, Горазд; Фоллмер, Майкл (20 февраля 2008 г.). «Отношение поверхности к объему в теплофизике: от физики сырных кубиков к метаболизму животных» . Европейский журнал физики . 29 (2): 369–384. Бибкод : 2008EJPh...29..369P . дои : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270 . Проверено 9 июля 2021 г.
^ Планиншич, Горазд (2008). «Отношение поверхности к объему в теплофизике: от физики сырных кубиков к метаболизму животных» . Европейский журнал физики. Европейское физическое общество. Узнайте больше . 29 (2): 369–384. Бибкод : 2008EJPh...29..369P . дои : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270 .
^ Уильямс, Питер; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (2005). Анатомия Грея (39-е изд.). Черчилль Ливингстон. стр. 1278–1282.
^ Джереми М., Ховард; Ханна-Бет, Гриффис; Вестендорф, Рэйчел; Уильямс, Джейсон Б. (2019). «Влияние размера и абиотических факторов на потерю воды через кожу» . Достижения в области физиологического образования . 44 (3): 387–393. дои : 10.1152/advan.00152.2019 . ПМИД 32628526 .
^ Харрис, Ли К.; Териот, Джули А. (2018). «Отношение площади поверхности к объему: естественная переменная бактериального морфогенеза» . Тенденции в микробиологии . 26 (10): 815–832. дои : 10.1016/j.tim.2018.04.008 . ПМК 6150810 . ПМИД 29843923 .
^ Лоу, Гидеон Н. (1993). Физиологическая экология животных . Группа пабов Лонгман.
^ Нгуен, Тхань Дань; Олуфеми Э., Кадри; Василиос И., Сикавицас; Воронов, Роман С. (2019). «Скаффолды с высоким соотношением площади поверхности к объему, культивируемые в условиях перфузии с быстрым потоком, приводят к оптимальной доставке O2 к клеткам в искусственных костных тканях» . Прикладные науки . 9 (11): 2381. дои : 10.3390/app9112381 .
^ Дж. К., Ли; ХХ, Кунг; Л.Ф., Мокрос (2008). «Микроканальные технологии для искусственных легких: (1) Теория» . Журнал АСАИО . 54 (4): 372–382. дои : 10.1097/MAT.0b013e31817ed9e1 . ПМИД 18645354 . S2CID 19505655 .
^ Jump up to: ^а ^б Стекольщик, Дуглас С. (2010). «Объединяющее объяснение разнообразия метаболических процессов у животных и растений» . Биологические обзоры . 85 (1): 111–138. дои : 10.1111/j.1469-185X.2009.00095.x . ПМИД 19895606 . S2CID 28572410 .
^ Альбертс, Брюс (2002). «Разнообразие геномов и древо жизни». Молекулярная биология клетки, 4-е издание . Нью-Йорк: Garland Science. ISBN 0-8153-3218-1 . ISBN 0-8153-4072-9 .
^ Адам, Джон (01 января 2020 г.). «Каков ваш индекс сферичности? Рационализация площади поверхности и объема» . Учитель математики в Вирджинии . 46 (2).
^ Оки, Джордан Г. (март 2013 г.). «Общие модели спектров стратегий масштабирования площади поверхности клеток и организмов: фрактальность, геометрическое несходство и интернализация» . Американский натуралист . 181 (3): 421–439. дои : 10.1086/669150 . ISSN 1537-5323 . ПМИД 23448890 . S2CID 23434720 .
^ Килс, У.: Плавание и кормление антарктического криля, Euphausia superba — выдающаяся энергетика и динамика — некоторые уникальные морфологические детали . In Berichte zur Polarforschung , Институт полярных и морских исследований Альфреда Вегенера , специальный выпуск 4 (1983): «О биологии криля Euphausia superba », Труды семинара и отчет группы экологии криля, редактор С.Б. Шнак, 130-155 и изображение титульного листа.
^ Тортора, Джерард Дж.; Анагностакос, Николас П. (1987). Основы анатомии и физиологии (Пятое изд.). Нью-Йорк: Harper & Row, Издательство. стр. 100-1 556–582 . ISBN 978-0-06-350729-6 .
^ Уильямс, Питер Л.; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (1989). Анатомия Грея (тридцать седьмое изд.). Эдинбург: Черчилль Ливингстон. стр. 1278–1282. ISBN 0443-041776 .
^ Ромер, Альфред Шервуд; Парсонс, Томас С. (1977). Тело позвоночного . Филадельфия, Пенсильвания: Холт-Сондерс Интернэшнл. стр. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5 .
^ Краузе Дж. Уильям (июль 2005 г.). Основная гистология человека Краузе для студентов-медиков . Универсал-Издательство. стр. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2 . Проверено 25 ноября 2010 г.
^ Мейри, С.; Даян, Т. (20 марта 2003 г.). «О справедливости правила Бергмана». Журнал биогеографии . 30 (3): 331–351. Бибкод : 2003JBiog..30..331M . дои : 10.1046/j.1365-2699.2003.00837.x . S2CID 11954818 .
^ Эштон, Кайл Г.; Трейси, Марк С.; Кейруш, Алан де (октябрь 2000 г.). «Действительно ли правило Бергмана для млекопитающих?». Американский натуралист . 156 (4): 390–415. дои : 10.1086/303400 . JSTOR 10.1086/303400 . ПМИД 29592141 . S2CID 205983729 .
^ Миллиен, Вирджиния; Лайонс, С. Кэтлин; Олсон, Линк; и др. (23 мая 2006 г.). «Экотипические вариации в контексте глобального изменения климата: пересмотр правил». Экологические письма . 9 (7): 853–869. Бибкод : 2006EcolL...9..853M . дои : 10.1111/j.1461-0248.2006.00928.x . ПМИД 16796576 .
^ Фитцпатрик, Кэти (2005). «Гигантотермия» . Дэвидсон Колледж . Архивировано из оригинала 30 июня 2012 г. Проверено 21 декабря 2011 г.
^ «Марсотрясение! Посадочный модуль НАСА InSight почувствовал первое сотрясение Красной планеты» . Space.com . 23 апреля 2019 г.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 13 июня 2018 г. Проверено 22 августа 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

Внешние ссылки

Дальнейшее чтение

О правильном размере, JBS Haldane. Архивировано 22 августа 2011 г. в Wayback Machine.

[1] Планиншич, Горазд; Фоллмер, Майкл (20 февраля 2008 г.). «Отношение поверхности к объему в теплофизике: от физики сырных кубиков к метаболизму животных» . Европейский журнал физики . 29 (2): 369–384. Бибкод : 2008EJPh...29..369P . дои : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270 . Проверено 9 июля 2021 г.

[2] Планиншич, Горазд (2008). «Отношение поверхности к объему в теплофизике: от физики сырных кубиков к метаболизму животных» . Европейский журнал физики. Европейское физическое общество. Узнайте больше . 29 (2): 369–384. Бибкод : 2008EJPh...29..369P . дои : 10.1088/0143-0807/29/2/017 . S2CID 55488270 .

[3] Уильямс, Питер; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (2005). Анатомия Грея (39-е изд.). Черчилль Ливингстон. стр. 1278–1282.

[4] Джереми М., Ховард; Ханна-Бет, Гриффис; Вестендорф, Рэйчел; Уильямс, Джейсон Б. (2019). «Влияние размера и абиотических факторов на потерю воды через кожу» . Достижения в области физиологического образования . 44 (3): 387–393. дои : 10.1152/advan.00152.2019 . ПМИД 32628526 .

[5] Харрис, Ли К.; Териот, Джули А. (2018). «Отношение площади поверхности к объему: естественная переменная бактериального морфогенеза» . Тенденции в микробиологии . 26 (10): 815–832. дои : 10.1016/j.tim.2018.04.008 . ПМК 6150810 . ПМИД 29843923 .

[6] Лоу, Гидеон Н. (1993). Физиологическая экология животных . Группа пабов Лонгман.

[7] Нгуен, Тхань Дань; Олуфеми Э., Кадри; Василиос И., Сикавицас; Воронов, Роман С. (2019). «Скаффолды с высоким соотношением площади поверхности к объему, культивируемые в условиях перфузии с быстрым потоком, приводят к оптимальной доставке O2 к клеткам в искусственных костных тканях» . Прикладные науки . 9 (11): 2381. дои : 10.3390/app9112381 .

[8] Дж. К., Ли; ХХ, Кунг; Л.Ф., Мокрос (2008). «Микроканальные технологии для искусственных легких: (1) Теория» . Журнал АСАИО . 54 (4): 372–382. дои : 10.1097/MAT.0b013e31817ed9e1 . ПМИД 18645354 . S2CID 19505655 .

[:0-9] Jump up to: ^а ^б Стекольщик, Дуглас С. (2010). «Объединяющее объяснение разнообразия метаболических процессов у животных и растений» . Биологические обзоры . 85 (1): 111–138. дои : 10.1111/j.1469-185X.2009.00095.x . ПМИД 19895606 . S2CID 28572410 .

[10] Альбертс, Брюс (2002). «Разнообразие геномов и древо жизни». Молекулярная биология клетки, 4-е издание . Нью-Йорк: Garland Science. ISBN 0-8153-3218-1 . ISBN 0-8153-4072-9 .

[11] Адам, Джон (01 января 2020 г.). «Каков ваш индекс сферичности? Рационализация площади поверхности и объема» . Учитель математики в Вирджинии . 46 (2).

[12] Оки, Джордан Г. (март 2013 г.). «Общие модели спектров стратегий масштабирования площади поверхности клеток и организмов: фрактальность, геометрическое несходство и интернализация» . Американский натуралист . 181 (3): 421–439. дои : 10.1086/669150 . ISSN 1537-5323 . ПМИД 23448890 . S2CID 23434720 .

[13] Килс, У.: Плавание и кормление антарктического криля, Euphausia superba — выдающаяся энергетика и динамика — некоторые уникальные морфологические детали . In Berichte zur Polarforschung , Институт полярных и морских исследований Альфреда Вегенера , специальный выпуск 4 (1983): «О биологии криля Euphausia superba », Труды семинара и отчет группы экологии криля, редактор С.Б. Шнак, 130-155 и изображение титульного листа.

[tortora1-14] Тортора, Джерард Дж.; Анагностакос, Николас П. (1987). Основы анатомии и физиологии (Пятое изд.). Нью-Йорк: Harper & Row, Издательство. стр. 100-1 556–582 . ISBN 978-0-06-350729-6 .

[grays-15] Уильямс, Питер Л.; Уорик, Роджер; Дайсон, Мэри; Баннистер, Лоуренс Х. (1989). Анатомия Грея (тридцать седьмое изд.). Эдинбург: Черчилль Ливингстон. стр. 1278–1282. ISBN 0443-041776 .

[VB-16] Ромер, Альфред Шервуд; Парсонс, Томас С. (1977). Тело позвоночного . Филадельфия, Пенсильвания: Холт-Сондерс Интернэшнл. стр. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5 .

[William2005-17] Краузе Дж. Уильям (июль 2005 г.). Основная гистология человека Краузе для студентов-медиков . Универсал-Издательство. стр. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2 . Проверено 25 ноября 2010 г.

[Meiri2003-18] Мейри, С.; Даян, Т. (20 марта 2003 г.). «О справедливости правила Бергмана». Журнал биогеографии . 30 (3): 331–351. Бибкод : 2003JBiog..30..331M . дои : 10.1046/j.1365-2699.2003.00837.x . S2CID 11954818 .

[Ashton2000-19] Эштон, Кайл Г.; Трейси, Марк С.; Кейруш, Алан де (октябрь 2000 г.). «Действительно ли правило Бергмана для млекопитающих?». Американский натуралист . 156 (4): 390–415. дои : 10.1086/303400 . JSTOR 10.1086/303400 . ПМИД 29592141 . S2CID 205983729 .

[Millien2006-20] Миллиен, Вирджиния; Лайонс, С. Кэтлин; Олсон, Линк; и др. (23 мая 2006 г.). «Экотипические вариации в контексте глобального изменения климата: пересмотр правил». Экологические письма . 9 (7): 853–869. Бибкод : 2006EcolL...9..853M . дои : 10.1111/j.1461-0248.2006.00928.x . ПМИД 16796576 .

[21] Фитцпатрик, Кэти (2005). «Гигантотермия» . Дэвидсон Колледж . Архивировано из оригинала 30 июня 2012 г. Проверено 21 декабря 2011 г.

[22] «Марсотрясение! Посадочный модуль НАСА InSight почувствовал первое сотрясение Красной планеты» . Space.com . 23 апреля 2019 г.

[23] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 13 июня 2018 г. Проверено 22 августа 2018 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]