Слабое измерение

В квантовой механике (а также вычислениях и информации ) слабые измерения — это тип квантовых измерений , в результате которого наблюдатель в среднем получает очень мало информации о системе, но при этом очень мало нарушает состояние. Из теоремы Буша система обязательно возмущается измерением. В литературе слабые измерения также известны как нерезкие. нечеткий, скучно, шумно, приблизительный и нежный измерения. Кроме того, слабые измерения часто путают с отдельной, но связанной концепцией слабого значения .

История

О слабых измерениях впервые подумали в контексте слабых непрерывных измерений квантовых систем. (т.е. квантовая фильтрация и квантовые траектории ). Физика непрерывных квантовых измерений такова. Рассмотрите возможность использования вспомогательного вещества, например поля или тока , для исследования квантовой системы. Взаимодействие между системой и зондом коррелирует две системы. Обычно взаимодействие лишь слабо коррелирует систему и вспомогательную систему (в частности, унитарный оператор взаимодействия необходимо разложить только до первого или второго порядка в теории возмущений). Измерив вспомогательную систему, а затем используя квантовую теорию измерений, можно определить состояние системы, обусловленное результатами измерения. Чтобы получить надежные измерения, необходимо соединить множество вспомогательных устройств, а затем провести измерения. В пределе, когда существует континуум вспомогательных функций, процесс измерения становится непрерывным во времени. Этот процесс был впервые описан: Майклом Б. Менски; Вячеслав Белавкин ; Альберто Баркьелли, Л. Ланц, ГМ Проспери; Баркьелли; Карлтон-Кейвс ; Кейвс и Джеральд Дж. Милберн . Позже Говард Кармайкл и Говард М. Уайзман также внесли важный вклад в эту область.

Идею слабого измерения часто ошибочно приписывают Якиру Ахаронову , Давиду Альберту и Льву Вайдману . В своей статье они рассматривают пример слабого измерения (и, возможно, придумали фразу «слабое измерение») и используют его, чтобы мотивировать свое определение слабого значения , которое они определили там впервые.

Математика

Не существует общепринятого определения слабого измерения. Один из подходов состоит в том, чтобы объявить слабое измерение обобщенным измерением, в котором некоторые или все операторы Крауса близки к тождественному. Нижеприведенный подход заключается в слабом взаимодействии двух систем и последующем измерении одной из них. После детализации этого подхода мы проиллюстрируем его примерами.

Слабое взаимодействие и измерение, связанное с вспомогательными устройствами

Рассмотрим систему, которая начинается в квантовом состоянии $|\psi \rangle$ и помощник, который начинается в штате $|\phi \rangle$, объединенное начальное состояние равно $|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$. Эти две системы взаимодействуют посредством гамильтониана $H=A\otimes B$, который генерирует временную эволюцию $U(t)=\exp[-ixtH]$ (в единицах, где $\hbar =1$), где $x$ - это «сила взаимодействия», имеющая единицы обратного времени. Предположим фиксированное время взаимодействия $t=\Delta t$ и это $\lambda =x\Delta t$ мал, такой, что $\lambda ^{3}\approx 0$. Расширение серии $U$ в $\lambda$ дает

${\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}$

Поскольку нужно было лишь разложить унитарное взаимодействие до низкого порядка в теории возмущений, мы называем это слабым взаимодействием. Кроме того, тот факт, что унитарный оператор является преимущественно тождественным оператором, поскольку $\lambda$ и $\lambda ^{2}$ малы, означает, что состояние после взаимодействия радикально не отличается от исходного состояния. Комбинированное состояние системы после взаимодействия есть

$|\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .$

Теперь мы выполняем измерение вспомогательного устройства, чтобы узнать о системе. Это называется измерением, связанным с вспомогательным устройством. Будем считать измерения в основе $|q\rangle$ (в вспомогательной системе) такой, что ${\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I}$. Воздействие измерения на обе системы описывается действием проекторов. $\Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|$ о совместном государстве $|\Psi '\rangle$. Из квантовой теории измерений мы знаем условное состояние после измерения.

${\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}$

где ${\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}$ является нормировочным коэффициентом волновой функции. Обратите внимание, что состояние вспомогательной системы записывает результаты измерения. Объект ${\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }$ является оператором в системном гильбертовом пространстве и называется оператором Крауса .

По отношению к операторам Крауса состояние объединенной системы после измерения равно

$|\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .$

Объекты $E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}$ являются элементами того, что называется POVM , и должны подчиняться ${\textstyle \sum _{q}E_{q}=I}$ так что сумма соответствующих вероятностей равна единице: ${\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1}$. Поскольку вспомогательная система больше не коррелирует с основной системой, она просто записывает результаты измерения, и мы можем отслеживать их. Это дает условное состояние только первичной системы:

$|\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},$

который мы до сих пор обозначаем результатом измерения $q$. Действительно, эти соображения позволяют вывести квантовую траекторию .

Примеры операторов Крауса

Мы будем использовать канонический пример гауссовых операторов Крауса, данный Баркьелли, Ланцем, Проспери; и Кейвс и Милберн. Брать $H=x\otimes p$, где положение и импульс в обеих системах имеют обычное каноническое коммутационное соотношение $[x,p]=i$. Возьмем начальную волновую функцию вспомогательной функции так, чтобы она имела гауссово распределение.

$|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .$

Волновая функция положения вспомогательной

$\Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].$

Операторы Крауса (по сравнению с обсуждением выше мы полагаем $\lambda =1$)

${\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}$

в то время как соответствующие элементы POVM

${\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}$

которые подчиняются ${\textstyle \int dq\,E(q)=I}$. Альтернативное представление часто встречается в литературе. Использование спектрального представления оператора положения ${\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|}$, мы можем написать

${\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что ${\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|}$. То есть в определенном пределе эти операторы ограничиваются строгим измерением положения; для других значений $\sigma$ мы называем измерение конечной силой; и как $\sigma \to \infty$, мы говорим, что измерение слабое.

Компромисс между получением информации и помехами

Как говорилось выше, теорема Буша мешает бесплатному обеду: не может быть получения информации без беспокойства. Однако компромисс между получением информации и помехами охарактеризовали многие авторы, в том числе К. А. Фукс и Ашер Перес ; Фукс; Фукс и К.А. Джейкобс; и К. Банашек.

Недавно соотношение компромисса между получением информации и помехами было исследовано в контексте так называемой «леммы о мягком измерении».

Приложения

С самого начала было ясно, что слабое измерение в основном будет использоваться для управления с обратной связью или адаптивных измерений квантовых систем. Действительно, это мотивировало большую часть работы Белавкина, и явный пример был приведен Кейвсом и Милберном. Одним из первых применений адаптивных слабых измерений был приемник Долинар . что и было реализовано экспериментально. Еще одним интересным применением слабых измерений является использование слабых измерений, за которыми следует унитарный результат, возможно, обусловленный результатом слабого измерения, для синтеза других обобщенных измерений. Книга Уайзмана и Милберна является хорошим ориентиром для многих современных разработок.

Дальнейшее чтение

• статья Брюна
• Статья Джейкобса и Стека
• Квантовая теория измерений и ее приложения, К. Джейкобс (Cambridge Press, 2014) ISBN   9781107025486
• Квантовые измерения и контроль, Х. М. Уайзман и Г. Дж. Милберн (Cambridge Press, 2009)
• Статья Тамира и Коэна