Многомасштабный анализ

В математике и физике , как для малых , многомасштабный анализ (также называемый методом нескольких масштабов ) включает в себя методы, используемые для построения единообразно допустимых приближений к решениям задач возмущений так и для больших значений независимых переменных . Это делается путем введения переменных быстрого и медленного масштаба для независимой переменной и последующей обработки этих переменных, быстрых и медленных, как если бы они были независимыми. В дальнейшем в процессе решения проблемы возмущения полученная дополнительная свобода, введенная новыми независимыми переменными, используется для удаления (нежелательных) вековых членов . Последнее накладывает ограничения на приближенное решение, которые называются условиями разрешимости .

Математические исследования примерно 1980-х годов предполагают, что преобразования координат и инвариантные многообразия обеспечивают более надежную поддержку многомасштабного моделирования (например, см. Центральное многообразие и медленное многообразие ).

Пример: незатухающее уравнение Дуффинга

Здесь различия между ${\textstyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$ можно увидеть подходы как для регулярной теории возмущений, так и для многомасштабного анализа, и сравнить их с точным решением для ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{4}}}$

Дифференциальное уравнение и сохранение энергии

В качестве примера метода многомасштабного анализа рассмотрим незатухающее и невынужденное уравнение Даффинга : ^{[ 1 ]} ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,$ $y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,$ второго порядка, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение описывающее нелинейный осциллятор . Решение y ( t ) ищется при малых значениях параметра (положительного) нелинейности 0 < ε ≪ 1. Незатухающее уравнение Дуффинга, как известно, является гамильтоновой системой : ${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ with }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},$ с q знак равно y ( t ) и p = dy / dt . Следовательно, гамильтониан H ( p , q ) является сохраняющейся величиной, константой, равной H = ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1/4 ⁠ начальных ε для заданных условий . Это означает, что и y, и dy / dt должны быть ограничены: $\left|y(t)\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ and }}\quad \left|{\frac {dy}{dt}}\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ for all }}t.$

Простое решение ряда возмущений

регулярных рядов возмущений заключается в записи Подход к проблеме с помощью ${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$ и подставив это в незатухающее уравнение Даффинга. Соответствующие полномочия ${\textstyle \varepsilon }$ дает систему уравнений ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}$

Решение этих задач с учетом начальных условий дает $y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).$

Обратите внимание, что последнее слагаемое в квадратных скобках является вековым: оно неограниченно растет при больших | т |. В частности, для $t=O(\varepsilon ^{-1})$ этот член равен O (1) и имеет тот же порядок величины, что и член ведущего порядка. Поскольку члены стали неупорядоченными, ряд больше не является асимптотическим разложением решения.

Метод нескольких шкал

Чтобы построить решение, которое действует за пределами $t=O(\epsilon ^{-1})$ метод многомасштабного анализа , используется . Введем медленную шкалу t ₁ : $t_{1}=\varepsilon t$ и предположим, что решение y ( t ) является решением ряда возмущений, зависящим как от t, так и от t ₁ , и рассматривается как: $y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .$

Так: ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}$ используя dt ₁ / dt знак равно ε . Сходным образом: ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).$

Тогда задачи нулевого и первого порядка многомасштабных рядов возмущений для уравнения Дуффинга принимают вид: ${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}$

Решение

Задача нулевого порядка имеет общее решение: $Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},$ с A ( t ₁ ) комплексной амплитудой решения нулевого порядка Y ₀ ( t , t ₁ ) и i ² = −1. Теперь в задаче первого порядка сила в правой части дифференциального уравнения равна $\left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.$ где cc обозначает комплексное сопряжение предыдущих членов. Появление вековых членов можно предотвратить, наложив на еще неизвестную амплитуду A ( t ₁ ) условие разрешимости $-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.$

Решение условия разрешимости, также удовлетворяющее начальным условиям $y (0)=1$ и $dy / dt (0)=0$ , имеет вид: $A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).$

В результате приближенное решение с помощью многомасштабного анализа имеет вид $y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),$ используя $t 1 = εt$ и справедливо для $εt = O(1)$ . Это согласуется с нелинейными изменениями частоты , обнаруженными с помощью метода Линдстедта – Пуанкаре .

Это новое решение действительно до тех пор, пока $t=O(\epsilon ^{-2})$ . Решения более высокого порядка – с использованием метода кратных масштабов – требуют введения дополнительных медленных масштабов, т.е. $t 2 = ε 2 т$ , $т 3 знак равно е 3 t$ и т. д. Однако это вносит возможные неоднозначности в решение ряда возмущений, которые требуют осторожного подхода (см. Kevorkian & Cole 1996 ; Bender & Orszag 1999 ). ^{[ 2 ]}

Преобразование координат в переменные амплитуды/фазы

Альтернативно, современные подходы выводят такие модели с использованием преобразований координат, например, в методе нормальных форм . ^{[ 3 ]} как описано далее.

Решение $y\approx r\cos \theta$ ищется в новых координатах $(r,\theta )$ где амплитуда $r(t)$ меняется медленно, а фаза $\theta (t)$ изменяется с почти постоянной скоростью, а именно $d\theta /dt\approx 1.$ Простая алгебра находит преобразование координат ^{[ нужна ссылка ]} $y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})$ преобразует уравнение Даффинга в пару, в которой радиус постоянен $dr/dt=0$ и фаза развивается согласно ${\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).$

То есть колебания Дуффинга имеют постоянную амплитуду. $r$ но имеют разные частоты $d\theta /dt$ в зависимости от амплитуды. ^{[ 4 ]}

Более сложные примеры лучше рассматривать с использованием зависящего от времени преобразования координат, включающего сложные экспоненты (что также использовалось в предыдущем подходе с несколькими временными масштабами). Веб-сервис выполнит анализ для широкого круга примеров. ^{[ когда? ]}^{[ 5 ]}

См. также

Примечания

^ Этот пример рассматривается в: Bender & Orszag (1999), стр. 545–551.
^ Бендер и Орзаг (1999), с. 551.
^ Ламарк, CH; Туз, К.; Томас, О. (2012), «Верхняя оценка пределов применимости асимптотических аналитических подходов, основанных на теории нормальной формы» (PDF) , Nonlinear Dynamics , 70 (3): 1931–1949, doi : 10.1007/s11071-012-0584 -y , hdl : 10985/7473 , S2CID 254862552
^ Робертс, А.Дж., Моделирование возникающей динамики в сложных системах , получено 3 октября 2013 г.
^ Робертс, А.Дж., Построение центральных многообразий обыкновенных или дифференциальных уравнений с запаздыванием (автономных) , получено 3 октября 2013 г.

Ссылки

Кеворкян Дж.; Коул, Дж. Д. (1996), Методы множественных и сингулярных возмущений , Springer, ISBN 978-0-387-94202-5
Бендер, СМ ; Орзаг, С.А. (1999), Передовые математические методы для ученых и инженеров , Springer, стр. 544–568, ISBN. 978-0-387-98931-0
Найфе, АХ (2004), Методы возмущений , Wiley – VCH Verlag, ISBN 978-0-471-39917-9

Внешние ссылки

Карсон К. Чоу (ред.). «Многомасштабный анализ» . Схоларпедия .

[1] Этот пример рассматривается в: Bender & Orszag (1999), стр. 545–551.

[2] Бендер и Орзаг (1999), с. 551.

[3] Ламарк, CH; Туз, К.; Томас, О. (2012), «Верхняя оценка пределов применимости асимптотических аналитических подходов, основанных на теории нормальной формы» (PDF) , Nonlinear Dynamics , 70 (3): 1931–1949, doi : 10.1007/s11071-012-0584 -y , hdl : 10985/7473 , S2CID 254862552

[4] Робертс, А.Дж., Моделирование возникающей динамики в сложных системах , получено 3 октября 2013 г.

[5] Робертс, А.Дж., Построение центральных многообразий обыкновенных или дифференциальных уравнений с запаздыванием (автономных) , получено 3 октября 2013 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]