Уравнение Кунду

Не путать с уравнением Кунду–Экхауза .

Уравнение Кунду — это общая форма интегрируемой системы , калибровочно эквивалентная смешанному нелинейному уравнению Шрёдингера . Это было предложено Анджаном Кунду. как

$$iq_{t}+q_{xx}+i\alpha (|q|^{2}q)_{x}+c|q|^{2}q-(\theta _{t}+\theta _{x}^{2}-i\theta _{xx})q+\theta _{x}(2iq_{x}-\alpha |q|^{2}q)=0,$$ ( 1 )

с произвольной функцией $\theta (t,x)$ а нижние индексы обозначают частные производные. Показано, что уравнение (1) приводится при выборе $\theta _{x}=-\kappa |q|^{2}$ к интегрируемому классу смешанного нелинейного уравнения Шредингера с кубической-пятичной нелинейностью, заданного в представительном виде

$$q_{t}+q_{xx}+i\alpha (|q|^{2}q)_{x}+c|q|^{2}q+\gamma |q|^{4}q+4i\kappa (|q|^{2})_{x}q=0.$$ ( 2 )

Здесь $\alpha ,c,\kappa$ являются независимыми параметрами, а $\gamma =\kappa (4\kappa +\alpha ).$ Уравнение (1) , точнее уравнение (2), известно как уравнение Кунду .

Свойства и применение

Уравнение Кунду представляет собой полностью интегрируемую систему , допускающую представление пар Лакса , точные решения и более высокие сохраняющиеся величины . Наряду с различными частными случаями это уравнение исследовалось для нахождения его точных в виде бегущей волны : решений точные для уединенных волн решения посредством билинеаризации, и преобразование Дарбу вместе с орбитальной устойчивостью таких уединенно-волновых решений.

Уравнение Кунду применялось к различным физическим процессам, таким как гидродинамика , физика плазмы и нелинейная оптика . Оно связано со смешанным нелинейным уравнением Шредингера посредством калибровочного преобразования и сводится к множеству известных интегрируемых уравнений, таких как нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), производная НУШ, высшая нелинейная производная НУШ, Чен – Ли – Лю, Гержиков-Ванов. и уравнения Кунду–Экхауза для различного выбора параметров.

Уравнение углового дома Кунду

Было предложено обобщение нелинейного уравнения Шрёдингера с дополнительной нелинейностью пятой степени и нелинейным дисперсионным членом в виде

$$\psi _{t}+\psi _{xx}-2c|\psi |^{2}\psi +\kappa ^{2}|\psi |^{4}\psi \pm 2i\kappa (|\psi |^{2})_{x}\psi =0,$$ ( 3 )

которое может быть получено из уравнения Кунду (2) , если оно ограничено $\alpha =0$. То же уравнение, ограниченное далее частным случаем $c=0,$ было введено позже как уравнение Экхауза , после чего уравнение (3) в настоящее время известно как уравнение Кунду-Экхауза . Уравнение Кунду-Экхауса можно свести к нелинейному уравнению Шрёдингера посредством нелинейного преобразования поля, и поэтому оно известно как калибровочно-эквивалентные интегрируемые системы, поскольку они эквивалентны относительно калибровочного преобразования .

Свойства и приложения

Уравнение Кунду-Экчауса связано с парой Лакса , высшей сохраняющейся величиной , точным солитонным решением , решением волны-убийцы и т. д. На протяжении многих лет изучались различные аспекты этого уравнения, его обобщения и связь с другими уравнениями. В частности, установлена ​​связь уравнения Кунду-Экчауса с гидродинамическим уравнением Джонсона вблизи критичности: его дискретизация , редукция посредством симметрии Ли, сложная структура через подуравнение Бернулли, светлые и темные солитонные решения посредством преобразования Бэклунда и преобразование Дарбу с соответствующими решениями для волн-убийц , изучаются.

уравнение РКЛ

Многокомпонентное обобщение Кунду-Экчауса уравнения (3) , известное как уравнение Радхакришнана, Кунду и Ласкшманана (РКЛ), было предложено в нелинейной оптике для оптоволоконной связи посредством солитонных импульсов в двулучепреломляющей некерровской среде. и впоследствии проанализирован на предмет точного солитонного решения и других аспектов в серии статей.

Квантовые аспекты

Хотя уравнение Кунду-Экхауса (3) калибровочно эквивалентно нелинейному уравнению Шрёдингера , они различаются гамильтоновой структурой и коммутационными соотношениями полей. модели Гамильтонов оператор квантового поля уравнения Кунду -Экчауса, определяемый формулой

${H}=\int dx\left[:\left((\psi _{x}^{\dagger }\psi _{x}+c\rho ^{2}+i\kappa \rho (\psi ^{\dagger }\psi _{x}-\psi _{x}^{\dagger }\psi )\right):+\kappa ^{2}(\psi ^{\dagger }\rho ^{2}\psi )\right],\ \ \ \ \rho \equiv (\psi ^{\dagger }\psi )$

и определяется через бозонного поля оператора коммутационное соотношение $[\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y)$, сложнее известного бозонного гамильтониана квантового нелинейного уравнения Шредингера. Здесь $\ :\ \ :\$ указывает на нормальный порядок в бозонных операторах. Эта модель соответствует двойному $\delta$-функция взаимодействия бозе-газа и ее трудно решить напрямую.

Одномерный анионный газ

Однако при нелинейном преобразовании поля ниже:

${\tilde {\psi }}(x)=e^{-i\kappa \int _{-\infty }^{x}\psi ^{\dagger }(x')\psi (x')dx'}\psi (x)$

модель может быть преобразована в:

${\tilde {H}}=\int dx\vdots \left({\tilde {\psi }}_{x}^{\dagger }{\tilde {\psi }}_{x}+c({\tilde {\psi }}^{\dagger }{\tilde {\psi }})^{2}\right)\vdots ,$

то есть в той же форме, что и квантовая модель нелинейного уравнения Шредингера (НУШ), хотя она и отличается от НУШ по своему содержанию, поскольку теперь задействованные поля больше не являются бозонными операторами, а проявляют анионоподобные свойства.

${\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{1}){\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2})=e^{i\kappa \epsilon (x_{1}-x_{2})}{\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2}){\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{1}),\ {\tilde {\psi }}(x_{1}){\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2})=e^{-i\kappa \epsilon (x_{1}-x_{2})}{\tilde {\psi }}^{\dagger }(x_{2}){\tilde {\psi }}(x_{1})+\delta (x_{1}-x_{2})$

и т. д., где

$\epsilon (x-y)=+\ ,-,0\ \ ~$ для $\ ~x>y,\ x<y,\ \ x=y,$

хотя в совпадающих точках бозонное соотношение коммутации все еще сохраняется. По аналогии с моделью Либа Лимигера. $\delta$ Таким образом через , квантовая модель Кунду-Экчауса в секторе N-частиц соответствует одномерному (1D) анионному газу, взаимодействующему $\delta$ функциональное взаимодействие. Эта модель взаимодействующего анионного газа была предложена и точно решена анзацем Бете в и эта базовая модель аниона изучается далее для исследования различных аспектов одномерного анионного газа, а также расширяется в разных направлениях.

Внешние ссылки

• Анализ Пенлеве .
• Преобразование Дарбу .
• Смешанное нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнение Герджикова-Иванова
• 1D анион
• Как работает оптоволокно