q -производная

В математике , в области комбинаторики и квантового исчисления , q -производная , или производная Джексона , является q -аналогом обычной производной , введенной Фрэнком Хилтоном Джексоном . Это обращение Джексона к q -интегрированию . О других формах q-производной см. Chung et al. (1994) .

Определение

q ( -производная функции f ) x определяется как

$\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$

Его также часто пишут как $D_{q}f(x)$. - производная q также известна как производная Джексона .

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равнозначно оператору

$D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,$

которая переходит в простую производную, $D_{q}\to {\frac {d}{dx}}$ как $q\to 1$.

Он явно линейный,

$\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.$

Он имеет правило произведения, аналогичное обычному правилу производного произведения, с двумя эквивалентными формами.

$\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Аналогично, он удовлетворяет правилу фактора:

$\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.$

Существует также правило, аналогичное цепному правилу для обычных деривативов. Позволять $g(x)=cx^{k}$. Затем

$\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).$

Собственная функция - производной q — это q -экспонента e _q ( x ).

Связь с обычными деривативами

Q -дифференцировка напоминает обычную дифференцировку, но имеет любопытные различия. Например, q -производная монома :

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}$

где $[n]_{q}$ является q -скобкой числа n . Обратите внимание, что $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$ поэтому в этом пределе восстанавливается обычная производная.

n -я q : -производная функции может быть задана как

$(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}$

при условии, что обычная n -я производная функции f существует при x = 0. Здесь $(q;q)_{n}$ — символ q -Похгаммера , а $[n]!_{q}$ является q -факториалом . Если $f(x)$ является аналитическим, мы можем применить формулу Тейлора к определению $D_{q}(f(x))$ получить

$\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).$

Далее следует q : -аналог разложения Тейлора функции около нуля

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.$

высшего порядка q -производные

Следующее представление для высшего порядка $q$-производные известны:

$D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).$

${\binom {n}{k}}_{q}$ это $q$-биномиальный коэффициент. Изменив порядок суммирования как $r=n-k$, получим следующую формулу:

$D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).$

Высший порядок $q$-производные используются для $q$-Формула Тейлора и $q$- Формула Родригеса (формула, используемая для построения $q$- ортогональные полиномы ).

Обобщения

После квантового исчисления

Пост-квантовое исчисление является обобщением теории квантового исчисления и использует следующий оператор:

$D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.$

Разница Хана

Вольфганг Хан ввел следующий оператор (разность Хана):

$D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.$

Когда $\omega \to 0$ этот оператор сводится к $q$-производная, и когда $q\to 1$ это сводится к прямой разнице. Это успешный инструмент для построения семейств ортогональных полиномов и исследования некоторых задач аппроксимации.

β- производное

$\beta$-derivative — это оператор, определенный следующим образом:

$D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.$

В определении $I$ представляет собой заданный интервал, и $\beta (t)$ — это любая непрерывная функция, которая строго монотонно возрастает (т.е. $t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)$). Когда $\beta (t)=qt$ тогда этот оператор $q$-производная, и когда $\beta (t)=qt+\omega$ этот оператор представляет собой разность Хана.

Приложения

Q-исчисление использовалось в машинном обучении для проектирования стохастических функций активации.

См. также

• Производная (обобщения)
• Интеграл Джексона
• Q-экспонента
• Q-разностные полиномы
• Количество угля
• Энтропия Цаллиса

Библиография

• Аннаби, Миннесота; Мансур, З.С. (2008). «q-Тейлора и интерполяционно-разностные операторы» . Журнал математического анализа и приложений . 344 (1): 472–483. дои : 10.1016/j.jmaa.2008.02.033 .
• Чанг, Канзас; Чанг, WS; Нам, СТ; Канг, HJ (1994). «Новая q-производная и q-логарифм». Международный журнал теоретической физики . 33 (10): 2019–2029. Бибкод : 1994IJTP...33.2019C . дои : 10.1007/BF00675167 . S2CID   117685233 .
• Дюран, У. (2016). Постквантовое исчисление (магистерская диссертация). Кафедра математики, Высшая школа естественных и прикладных наук Университета Газиантепа . Проверено 9 марта 2022 г. - через ResearchGate .
• Эрнст, Т. (2012). Комплексное рассмотрение q-исчисления . Springer Science & Business Media. ISBN  978-303480430-1 .
• Эрнст, Томас (2001). «История q-исчисления и новый метод» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 28 ноября 2009 года . Проверено 9 марта 2022 г.
• Экстон, Х. (1983). q-гипергеометрические функции и приложения . Нью-Йорк: Холстед Пресс. ISBN  978-047027453-8 .
• Фупуаньиньи, М. (1998). Ортогональные полиномы Лагерра-Хана относительно оператора Хана: разностное уравнение четвертого порядка для r-го ассоциированного и уравнения Лагерра-Фрейда для рекуррентных коэффициентов (кандидатская диссертация). Национальный университет Бенина.
• Хамза, А.; Сархан, А.; Шехата, Э.; Алдвоа, К. (2015). «Общее квантово-разностное исчисление» . Достижения в разностных уравнениях . 1 : 182. дои : 10.1186/s13662-015-0518-3 . S2CID   54790288 .
• Джексон, Ф.Х. (1908). «О q-функциях и одном разностном операторе». Пер. Р. Сок. Эдинб . 46 (2): 253–281. дои : 10.1017/S0080456800002751 . S2CID   123927312 .
• Кац, Виктор; Покман Чунг (2002). Квантовое исчисление . Спрингер Верлаг. ISBN  0-387-95341-8 .
• Кукук, Дж.; Кукук, Р. (1999). «Заметка об операторе q-производной». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 176 (2): 627–634. arXiv : math/9908140 . дои : 10.1006/jmaa.1993.1237 . S2CID   329394 .
• Кепф, В.; Райкович, премьер-министр; Маринкович, С.Д. (июль 2007 г.). «Свойства q-голономных функций». Журнал разностных уравнений и приложений . 13 (7): 621–638. CiteSeerX   10.1.1.298.4595 . дои : 10.1080/10236190701264925 . S2CID   123079843 .
• Кепф, Вольфрам (2014). Гипергеометрическое суммирование. Алгоритмический подход к суммированию и тождества специальных функций . Спрингер. ISBN  978-1-4471-6464-7 .
• Нильсен, Франк; Сунь, Ке (2021). «Д-нейроны: активации нейронов на основе стохастических производных операторов Джексона» . IEEE Транс. Нейронная сеть. Учиться. Сист . 32 (6): 2782–2789. arXiv : 1806.00149 . дои : 10.1109/TNNLS.2020.3005167 . ПМИД   32886614 . S2CID   44143912 .