Системы координат для гиперболической плоскости

В гиперболической плоскости , как и в евклидовой плоскости , каждая точка однозначно идентифицируется двумя действительными числами . Используются несколько качественно различных способов координации плоскости в гиперболической геометрии.

В этой статье делается попытка дать обзор нескольких систем координат, используемых для двумерной гиперболической плоскости.

В приведенных ниже описаниях постоянная гауссова кривизна плоскости равна −1. Sinh , cosh и tanh — гиперболические функции .

Полярная система координат [ править ]

Полярная система координат — это двумерная система координат , в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от опорной точки и углом от опорного направления.

Точка отсчета (аналог начала декартовой системы ) называется полюсом , а луч от полюса в исходном направлении — полярной осью . Расстояние от полюса называется радиальной координатой или радиусом , а угол называется угловой координатой или полярным углом .

Из гиперболического закона косинусов получаем, что расстояние между двумя точками, заданными в полярных координатах, равно

\operatorname {dist} (\langle r_{1},\theta _{1}\rangle ,\langle r_{2},\theta _{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh r_{1}\cosh r_{2}-\sinh r_{1}\sinh r_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})\right)\,.

Позволять $r=r_{1}=r_{2},\theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ , дифференцируя на ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}=0$ :

{\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {dist} (\langle r,\theta _{1}\rangle ,\langle r,\theta _{1}+\theta \rangle )\right|_{\theta =0}&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\theta }}}\operatorname {arcosh} \,\left(\cosh ^{2}r-\sinh ^{2}r\cos(\theta )\right)\right|_{\theta =0}\\&=\sinh(r)\end{aligned}}

получим соответствующий метрический тензор : $(\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} r)^{2}+\sinh ^{2}r\,(\mathrm {d} \theta )^{2}\,.$

Прямые описываются уравнениями вида

\theta =\theta _{0}\pm {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \tanh r=\tanh r_{0}\sec(\theta -\theta _{0})

где r ₀ и θ ₀ — координаты ближайшей к полюсу точки на линии.

Система квадрантной модели [ править ]

Модель полуплоскости Пуанкаре тесно связана с моделью гиперболической плоскости в квадранте Q = {( x, y ): x > 0, y > 0}. Для такой точки среднее геометрическое $v={\sqrt {xy}}$ и гиперболический угол $u=\ln {\sqrt {x/y}}$ создайте точку ( u,v ) в верхней полуплоскости. Гиперболическая метрика в квадранте зависит от метрики полуплоскости Пуанкаре. Движения ; модели Пуанкаре переносятся на квадрант в частности, сдвиг вещественной оси влево или вправо соответствует гиперболическому повороту квадранта. Из-за изучения соотношений в физике и экономике, где квадрант представляет собой вселенная дискурса, говорят, что его точки расположены в гиперболических координатах .

Декартовы системы координат [ править ]

В гиперболической геометрии прямоугольников не существует. Сумма углов четырехугольника в гиперболической геометрии всегда меньше 4 прямых углов (см. Четырехугольник Ламберта ). Также в гиперболической геометрии нет равноотстоящих прямых (см. гиперциклы ). Все это оказывает влияние на системы координат.

Однако существуют разные системы координат для геометрии гиперболической плоскости. Все они основаны на выборе реальной (неидеальной ) точки ( Начало координат ) на выбранной направленной линии ( ось X ), после чего существует множество вариантов выбора.

Осевые координаты [ править ]

Осевые координаты x _a и y _a находятся путем построения оси y , перпендикулярной оси x через начало координат. ^[1]

Как и в декартовой системе координат , координаты находятся путем опускания перпендикуляров из точки на оси x и y . x _a — расстояние от основания перпендикуляра на оси x до начала координат (считается положительным с одной стороны и отрицательным с другой); y _a — расстояние от основания перпендикуляра на оси y до начала координат.

Каждая точка и большинство идеальных точек имеют осевые координаты, но не каждая пара действительных чисел соответствует точке.

Если $\tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})=1$ затем $P(x_{a},y_{a})$ это идеальная точка.

Если $\tanh ^{2}(x_{a})+\tanh ^{2}(y_{a})>1$ затем $P(x_{a},y_{a})$ это вообще не точка.

Расстояние до точки $P(x_{a},y_{a})$ относительно x оси $\operatorname {artanh} \left(\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\right)$ . По оси Y это $\operatorname {artanh} \left(\tanh(x_{a})\cosh(y_{a})\right)$ .

Отношение осевых координат к полярным координатам (при условии, что началом координат является полюс, а положительная ось x является полярной осью) равна

x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )

y=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\sin \theta )

r=\operatorname {artanh} \,({\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}\,)

\theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\tanh y}{\tanh x+{\sqrt {\tanh ^{2}x+\tanh ^{2}y}}}}\right)\,.

Координаты Лобачевского [ править ]

Координаты Лобачевского x _ℓ и y _ℓ находятся путем опускания перпендикуляра на ось x . x _ℓ — расстояние от основания перпендикуляра к оси x до начала координат (положительное с одной стороны и отрицательное с другой, так же, как и в осевых координатах ). ^[1]

y _ℓ — расстояние по перпендикуляру данной точки к ее основанию (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

x_{l}=x_{a}\ ,\ \tanh(y_{l})=\tanh(y_{a})\cosh(x_{a})\ ,\ \tanh(y_{a})={\frac {\tanh(y_{l})}{\cosh(x_{l})}}

.

Координаты Лобачевского полезны для интегрирования длины кривых. ^[2] и область между линиями и кривыми. ^{[ нужен пример ]}

Координаты Лобачевского названы в честь Николая Лобачевского, одного из первооткрывателей гиперболической геометрии .

Постройте декартову систему координат следующим образом. Выберите линию ( ось x ) на гиперболической плоскости (со стандартизированной кривизной -1) и отметьте точки на ней по их расстоянию от исходной точки ( x =0) на оси x (положительной с одной стороны). и отрицательный с другой). Для любой точки плоскости можно определить координаты x и y , опустив перпендикуляр на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. у будет расстояние по перпендикуляру данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой). Тогда расстояние между двумя такими точками будет

\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.

Эту формулу можно вывести из формул о гиперболических треугольниках .

Соответствующий метрический тензор: $(\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}$ .

В этой системе координат прямые либо перпендикулярны оси x (с уравнением x = константа), либо описываются уравнениями вида

\tanh y=A\cosh x+B\sinh x\quad {\text{ when }}\quad A^{2}<1+B^{2}

где A и B — действительные параметры, характеризующие прямую.

Связь координат Лобачевского с полярными координатами (при условии, что началом координат является полюс, а положительная ось x является полярной осью) равна

x=\operatorname {artanh} \,(\tanh r\cos \theta )

y=\operatorname {arsinh} \,(\sinh r\sin \theta )

r=\operatorname {arcosh} \,(\cosh x\cosh y)

\theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\sinh y}{\sinh x\cosh y+{\sqrt {\cosh ^{2}x\cosh ^{2}y-1}}}}\right)\,.

Система координат на основе орицикла [ править ]

Другая система координат использует расстояние от точки до орицикла через начало координат с центром вокруг $\Omega =(0,+\infty )$ ^{[ нужны разъяснения ]} и длина дуги вдоль этого орицикла. ^[3]

Проведите орицикл h _O через начало координат с центром в идеальной точке. $\Omega$ в конце оси x .

Из точки P проведем линию p , асимптотическую к оси x , до правой идеальной точки. $\Omega$ . Ph _— пересечение линии p и h _O. орицикла

Координата x _h — это расстояние от P до P _h.^{[ нужны разъяснения ]} – положительный, если P находится между P _h и $\Omega$ если Ph _{, отрицательный ,} находится между P и $\Omega$ .

Координата y _h — это длина дуги вдоль орицикла h _O от начала координат до Ph _h . ^{[ нужны разъяснения ]}

Расстояние между двумя точками, заданными в этих координатах, равно

\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} (\cosh(x_{2}-x_{1})+{\tfrac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})^{2}\exp(-x_{1}-x_{2}))\,.

Соответствующий метрический тензор: $(\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} x)^{2}+\exp(-2x)\,(\mathrm {d} y)^{2}\,.$

Прямые описываются уравнениями вида y = константа или

x={\tfrac {1}{2}}\ln(\exp(2x_{0})-(y-y_{0})^{2})

где x ₀ и y ₀ — координаты точки на прямой, ближайшей к идеальной точке $\Omega$ (т.е. имеющий наибольшее значение x в строке).

Системы координат на основе моделей [ править ]

Системы координат на основе моделей используют одну из моделей гиперболической геометрии и принимают евклидовы координаты внутри модели в качестве гиперболических координат.

Координаты Бельтрами [ править ]

Координаты Бельтрами точки представляют собой декартовы координаты точки, когда точка отображается в модели Бельтрами – Клейна гиперболической плоскости, ось x отображается в отрезок (−1,0) − (1,0). и начало координат отображается в центр граничного круга. ^[1]

Имеют место следующие уравнения:

x_{b}=\tanh(x_{a}),\ y_{b}=\tanh(y_{a})

Координаты Пуанкаре [ править ]

Координаты Пуанкаре точки — это декартовы координаты точки, когда точка отображается в модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости, ^[1] ось x отображается в сегмент (−1,0) − (1,0) , а начало координат отображается в центр граничного круга.

Координаты Пуанкаре через координаты Бельтрами:

x_{p}={\frac {x_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}

Координаты Вейерштрасса [ править ]

Координаты Вейерштрасса точки - это декартовы координаты точки, когда точка отображается в гиперболоидной модели гиперболической плоскости, ось x отображается в (половинную) гиперболу. $(t\ ,\ 0\ ,\ {\sqrt {t^{2}+1}})$ и начало координат отображается в точку (0,0,1). ^[1]

Точка P с осевыми координатами ( x _a , y _a ) отображается в

\left({\frac {\tanh x_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {\tanh y_{a}}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}x_{a}-\tanh ^{2}y_{a}}}}\right)

Другие [ править ]

Координаты гировектора [ править ]

Гировекторное пространство

координаты Гиперболические барицентрические

Из пространства Гировектора#Центры треугольников

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией, но центры треугольников также можно изучать в гиперболической геометрии. С помощью гиротригонометрии можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Чтобы выражения совпадали, они не должны инкапсулировать указание суммы углов, равной 180 градусам. ^[4]^[5]^[6]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 447–450 . ISBN 0387906940 .
^ Сморгоржевский А.С. (1982). Геометрия Лобачевского . Москва: Мир. стр. 64–68.
^ Рамзи, Арлан; Рихтмайер, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 97–103 . ISBN 0387943390 .
^ Гиперболические барицентрические координаты , Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
^ Центры гиперболического треугольника: специальный релятивистский подход , Абрахам Унгар, Спрингер, 2010 г.
^ Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение. Архивировано 19 мая 2012 г. в Wayback Machine , Абрахам Унгар, World Scientific, 2010.

[martin_analytic-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. стр. 447–450 . ISBN 0387906940 .

[Smorgorzhevsky-2] Сморгоржевский А.С. (1982). Геометрия Лобачевского . Москва: Мир. стр. 64–68.

[3] Рамзи, Арлан; Рихтмайер, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 97–103 . ISBN 0387943390 .

[4] Гиперболические барицентрические координаты , Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.

[5] Центры гиперболического треугольника: специальный релятивистский подход , Абрахам Унгар, Спрингер, 2010 г.

[barycalc-6] Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение. Архивировано 19 мая 2012 г. в Wayback Machine , Абрахам Унгар, World Scientific, 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]