Рядом с полигоном

Плотный почти многоугольник диаметром d = 2

В математике — почти многоугольник это геометрия инцидентности, введенная Эрнестом Э. Шультом и Артуром Янушкой в ​​1980 году. Шульт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрически замкнутыми системами прямых в евклидовых пространствах и классом геометрий точечных линий , которые они назвали близкими многоугольниками. Эти структуры обобщают понятие обобщенного многоугольника , поскольку каждый обобщенный 2 n -угольник является почти 2 n -угольником определенного вида. Широко изучались околополигоны и связь между ними и двойными полярными пространствами. был показан в 1980-х и начале 1990-х годов. Некоторые спорадические простые группы , например группа Холла-Янко и группы Матье , действуют как группы автоморфизмов близких многоугольников.

Определение

Ближний 2d - угольник представляет собой структуру инцидентности ( $P,L,I$), где $P$ это набор точек, $L$ представляет собой набор линий и $I\subseteq P\times L$ такое отношение инцидентности , что:

• Максимальное расстояние между двумя точками (так называемый диаметр) равно d .
• Для каждой точки $x$ и каждая строка $L$ существует единственная точка на $L$ который находится ближе всего к $x$.

Заметим, что расстояния измеряются в графе коллинеарности точек, т. е. графе, образованном путем принятия точек за вершины и соединения пары вершин, если они инцидентны общей линии. Мы также можем дать альтернативное определение теории графов : почти 2 d -угольник - это связный граф конечного диаметра d со свойством, что для каждой вершины x и каждой максимальной клики M существует уникальная вершина x' в M, ближайшая к x . Максимальные клики такого графа соответствуют линиям в определении структуры инцидентности. Почти 0-угольник ( d = 0) — это одна точка, а почти 2-угольник ( d = 1) — это всего лишь одна линия, т. е. полный граф . Близкий четырехугольник ( d = 2) — это то же самое, что (возможно, вырожденный) обобщенный четырехугольник . Фактически, можно показать, что каждый обобщенный 2d - угольник является близким 2d - угольником, который удовлетворяет следующим двум дополнительным условиям:

• Каждая точка инцидентна как минимум двум прямым.
• Для каждых двух точек x , y на расстоянии i < d существует единственный сосед точки y на расстоянии i - 1 от x .

Близкий многоугольник называется плотным, если каждая линия инцидентна не менее чем с тремя точками и если каждые две точки на расстоянии два имеют не менее двух общих соседей. Говорят, что он имеет порядок ( s , t ), если каждая прямая инцидентна ровно s + 1 точке и каждая точка инцидентна ровно t + 1 прямой. Плотные ближние многоугольники имеют богатую теорию, и несколько их классов (например, тонкие плотные ближние многоугольники) полностью классифицированы.

Примеры

• Все связные двудольные графы близки к многоугольникам. Фактически, любой почти многоугольник, имеющий ровно две точки на линии, должен быть связным двудольным графом.
• Все конечные обобщенные многоугольники, кроме проективных плоскостей.
• Все двойные полярные пространства .
• Холл-Янко около восьмиугольника, также известный как Коэн- Титс около восьмиугольника. связан с группой Холла-Янко . Его можно построить, выбрав класс сопряженности 315 центральных инволюций группы Холла-Янко в виде точек и прямых в качестве трехэлементных подмножеств {x, y, xy} всякий раз, когда x и y коммутируют.
• М ₂₄ Около шестиугольника связано с группой Матье М24 и расширенным двоичным кодом Голея . Он построен путем взятия 759 октад (блоков) в схеме Витта S (5, 8, 24), соответствующих коду Голея, в качестве точек и тройки из трех попарно непересекающихся октад в качестве линий.
• Возьмем разбиения {1, 2, ..., 2 n + 2} на n + 1 2-подмножества в качестве точек, а разбиения на n − 1 2-подмножества и одно 4-подмножества в качестве линий. Точка инцидентна прямой, если она как разбиение является уточнением линии. Это дает нам почти 2 n -угольник с тремя точками на каждой линии, обычно обозначаемый H _n . Ее полной группой автоморфизмов является симметрическая группа S _{2 n +2} .

Регулярные вблизи многоугольников

Конечная близость $2d$-гон S называется регулярным, если он имеет порядок $(s,t)$ и если существуют константы $t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}$, такой, что для каждых двух точек $x$ и $y$ на расстоянии $i$, есть именно $t_{i}+1$ линии через $y$ содержащая (обязательно уникальную) точку на расстоянии $i-1$ от $x$. Оказывается, что обычный рядом $2d$-гоны – это именно те, что рядом $2d$-угольники, чей точечный граф (также известный как граф коллинеарности ) является дистанционно регулярным графом . Обобщенный $2d$-гон порядка $(s,t)$ является постоянным соседом $2d$-угольник с параметрами $t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t$

См. также

• Конечная геометрия
• Полярное пространство
• Частичное линейное пространство
• Схема ассоциации
• Граф Холла – Янко

Ссылки

• Брауэр, А.Э.; Коэн, AM; Уилбринк, штат Ха; Холл, Дж. Дж. (1994), «Близкие многоугольники и пространства Фишера» (PDF) , Geometriae Dedicata , 49 (3): 349–368, doi : 10.1007/BF01264034 .

• Брауэр, AE ; Коэн, AM; Ноймайер, А. (1989), Регулярные графы расстояний , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag., ISBN  3-540-50619-5 , МР   1002568 .

• Брауэр, AE ; Уилбринк, Х.А. (1983), Две бесконечные последовательности близких многоугольников (PDF) , Отчет ZW194/83, Математический центр .

• Кэмерон, Питер Дж. (1982), «Двойные полярные пространства», Applied Geometry , 12 : 75–85, doi : 10.1007/bf00147332 , MR   0645040 .

• Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, vol. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR   1153019 .
• Де Брюйн, Барт (2006), Около многоугольников , Границы математики, Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-7643-7553-9 , ISBN  3-7643-7552-3 , МР   2227553 .

• Де Клерк, Ф.; Ван Малдегем, Х. (1995), «Некоторые классы геометрии ранга 2», Справочник по геометрии инцидентности , Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475 .
• Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN  978-3-642-15626-7 .

• Шульт, Эрнест; Янушка, Артур (1980), «Около n-угольников и линейные системы», Geometriae Dedicata , 9 : 1–72, doi : 10.1007/BF00156473 , MR   0566437 .