Янко группа J ₂

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J ₂ или группа Холла-Янко HJ представляет собой простую группу порядка спорадическую

2 ⁷ · 3 ³ · 5 ² · 7 = 604800

≈ 6 × 10 ⁵.

История и свойства

J ₂ — одна из 26 спорадических групп , также называемая группой Холла–Янко–Уэльса . В 1969 году Звонимир Янко предсказал J ₂ как одну из двух новых простых групп, имеющих 2 ¹⁺⁴:A ₅ как централизатор инволюции (второй — группа Янко J3 ). Она была построена Маршаллом Холлом и Дэвидом Уэйлсом ( 1968 ) как группа перестановок 3-го ранга по 100 точкам.

И множитель Шура , и внешняя группа автоморфизмов имеют порядок 2. Как группа перестановок на 100 точках, J ₂ имеет инволюции, перемещающие все 100 точек, и инволюции, перемещающие только 80 точек. Первые инволюции произведения 25 двойных переносов, нечетное число и, следовательно, подъем до 4-элементов в двойном накрытии 2.A ₁₀₀ . Двойное накрытие 2.J ₂ возникает как подгруппа группы Конвея Co ₀ .

J ₂ — единственная из 4 групп Янко, которая является подфактором группы монстров ; таким образом, это часть того, что Роберт Грис называет счастливой семьей. Поскольку он также встречается в группе Конвея Co1 , он, следовательно, является частью второго поколения счастливой семьи.

Представительства

Это подгруппа индекса два группы автоморфизмов графа Холла-Янко , приводящая к представлению перестановок степени 100. Это также подгруппа индекса два группы автоморфизмов графа Холла-Янко около октагона , ^[1] что приводит к перестановочному представлению степени 315.

Он имеет модульное представление шестого измерения над полем из четырех элементов; если во второй характеристике имеем w ² + w + 1 = 0 , то J ₂ порождается двумя матрицами

{\mathbf {A} }={\begin{pmatrix}w^{2}&w^{2}&0&0&0&0\\1&w^{2}&0&0&0&0\\1&1&w^{2}&w^{2}&0&0\\w&1&1&w^{2}&0&0\\0&w^{2}&w^{2}&w^{2}&0&w\\w^{2}&1&w^{2}&0&w^{2}&0\end{pmatrix}}

и

{\mathbf {B} }={\begin{pmatrix}w&1&w^{2}&1&w^{2}&w^{2}\\w&1&w&1&1&w\\w&w&w^{2}&w^{2}&1&0\\0&0&0&0&1&1\\w^{2}&1&w^{2}&w^{2}&w&w^{2}\\w^{2}&1&w^{2}&w&w^{2}&w\end{pmatrix}}.

Эти матрицы удовлетворяют уравнениям

{\mathbf {A} }^{2}={\mathbf {B} }^{3}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} })^{7}=({\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {A} }{\mathbf {B} }{\mathbf {B} })^{12}=1.

(Обратите внимание, что умножение матриц в конечном поле порядка 4 определяется несколько иначе, чем обычное умножение матриц. См. Конкретное поле § Поле с четырьмя элементами для конкретных таблиц сложения и умножения, где w такое же, как a и w. ² то же, что 1 + а .)

Таким образом, J ₂ является группой Гурвица , конечным гомоморфным образом группы треугольников (2,3,7) .

Приведенное выше матричное представление представляет собой вложение в Диксона группу G ₂ (4) . Существует только один класс сопряженности J ₂ в G ₂ (4). Каждая подгруппа J _2, содержащаяся в G ₂ (4), продолжается до подгруппы J ₂ :2 = Aut(J ₂ ) в G ₂ (4):2 = Aut( G ₂ (4)) ( G ₂ (4), расширенной посредством полевые автоморфизмы F ₄ ). G ₂ (4) в свою очередь изоморфна подгруппе группы Конвея Co ₁ .

Максимальные подгруппы

Имеется 9 классов сопряженности максимальных подгрупп группы J ₂ . Некоторые из них описаны здесь в терминах действия на графе Холла – Янко.

У ₃ (3) порядок 6048 – одноточечный стабилизатор, с орбитами 36 и 63.

Простая, содержащая 36 простых подгрупп порядка 168 и 63 инволюций, все сопряженные, каждая перемещается на 80 точек. Данная инволюция находится в 12 168-подгруппах, тем самым фиксируя их относительно сопряженности. Его централизатор имеет структуру 4.S ₄ , содержащую 6 дополнительных инволюций.

3.PGL(2,9) порядка 2160 – имеет подчастное A ₆
2 ¹⁺⁴:А ₅ порядка 1920 г. – центратор инволюции, перемещающийся на 80 пунктов.
2 ²⁺⁴:(3 × S3 ₎ порядка 1152
A ₄ × A ₅ order 720

Содержит 2 ² × А ₅ (порядок 240), централизатор из 3-х инволюций, каждая перемещается на 100 пунктов

А ₅ ×Д ₁₀ порядка 600
PGL(2,7) заказ 336
5 ²:D ₁₂ заказ 300
А ₅ порядка 60

Классы сопряженности

Максимальный порядок любого элемента равен 15. В качестве перестановок элементы действуют на 100 вершин графа Холла – Янко.

Заказ	Количество элементов	Структура цикла и сопряженность
1 = 1	1 = 1	1 класс
2 = 2	315 = 3 ² · 5 · 7	2 ⁴⁰, 1 класс
2 = 2	2520 = 2 ³ · 3 ² · 5 · 7	2 ⁵⁰, 1 класс
3 = 3	560 = 2 ⁴ · 5 · 7	3 ³⁰, 1 класс
3 = 3	16800 = 2 ⁵ · 3 · 5 ² · 7	3 ³², 1 класс
4 = 2 ²	6300 = 2 ² · 3 ² · 5 ² · 7	2 ⁶4 ²⁰, 1 класс
5 = 5	4032 = 2 ⁶ · 3 ² · 7	5 ²⁰, 2 класса, эквивалент мощности
5 = 5	24192 = 2 ⁷ · 3 ³ · 7	5 ²⁰, 2 класса, эквивалент мощности
6 = 2 · 3	25200 = 2 ⁴ · 3 ² · 5 ² · 7	2 ⁴3 ⁶6 ¹², 1 класс
6 = 2 · 3	50400 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 ² · 7	2 ²6 ¹⁶, 1 класс
7 = 7	86400 = 2 ⁷ · 3 ³ · 5 ²	7 ¹⁴, 1 класс
8 = 2 ³	75600 = 2 ⁴ · 3 ³ · 5 ² · 7	2 ³4 ³8 ¹⁰, 1 класс
10 = 2 · 5	60480 = 2 ⁶ · 3 ³ · 5 · 7	10 ¹⁰, 2 класса, эквивалент мощности
10 = 2 · 5	120960 = 2 ⁷ · 3 ³ · 5 · 7	5 ⁴10 ⁸, 2 класса, эквивалент мощности
12 = 2 ² · 3	50400 = 2 ⁵ · 3 ² · 5 ² · 7	3 ²4 ²6 ²12 ⁶, 1 класс
15 = 3 · 5	80640 = 2 ⁸ · 3 ² · 5 · 7	5 ²15 ⁶, 2 класса, эквивалент мощности

Ссылки

^ «Ближний октагон на 315 очков» .

Роберт Л. Грисс -младший, «Двенадцать спорадических групп», Springer-Verlag, 1998.
Холл, Маршалл ; Уэльс, Дэвид (1968), «Простая группа порядка 604 800», Journal of Algebra , 9 (4): 417–450, doi : 10.1016/0021-8693(68)90014-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0240192 (Грисс рассказывает [стр. 123], как Маршалл Холл, будучи редактором «Журнала алгебры» , получил очень короткую статью, озаглавленную «Простая группа порядка 604801». Да, 604801 — простое число.)
Янко, Звонимир (1969), «Некоторые новые простые группы конечного порядка. I», Symposia Mathematica (INDAM, Рим, 1967/68), Vol. 1 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 25–64, MR 0244371.
Уэльс, Дэвид Б., «Единственность простой группы порядка 604800 как подгруппы SL (6,4)», Journal of Algebra 11 (1969), 455–460.
Уэльс, Дэвид Б., «Генераторы группы Холла – Янко как подгруппы G2 (4)», Journal of Algebra 13 (1969), 513–516, два : 10.1016/0021-8693(69)90113-6 , МР 0251133 , ISSN 0021-8693

Внешние ссылки

[1] «Ближний октагон на 315 очков» .

[1]

v т и Группы
Basic notions	Subgroup Normal subgroup Commutator subgroup Quotient group Group homomorphism (Semi-) direct product direct sum
Types of groups	Finite groups Abelian groups Cyclic groups Infinite group Simple groups Solvable groups Symmetry group Space group Point group Wallpaper group Trivial group
Discrete groups	Classification of finite simple groups Cyclic group Z_n Alternating group A_n Sporadic groups Mathieu group M_11..12,M_22..24 Conway group Co_1..3 Janko groups J₁, J₂, J₃, J₄ Fischer group F_22..24 Baby monster group B Monster group M Other finite groups Symmetric group S_n Dihedral group D_n Rubik's Cube group
Lie groups	General linear group GL(n) Special linear group SL(n) Orthogonal group O(n) Special orthogonal group SO(n) Unitary group U(n) Special unitary group SU(n) Symplectic group Sp(n) Exceptional Lie groups G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Circle group Lorentz group Poincaré group Quaternion group
Infinite dimensional groups	Conformal group Diffeomorphism group Loop group Quantum group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
History Applications Abstract algebra