Метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны

В дифференциальной геометрии метрика Кэлера постоянной скалярной кривизны (метрика cscK) — это (как следует из названия) метрика Кэлера на комплексном многообразии, которого скалярная кривизна постоянна. Частным случаем является метрика Кэлера–Эйнштейна , а более общим случаем является экстремальная метрика Кэлера .

Дональдсон (2002) Тиан ^{[ нужна ссылка ]} и Яу ^{[ нужна ссылка ]} выдвинул гипотезу , что существование метрики cscK на поляризованном проективном многообразии эквивалентно тому, что поляризованное многообразие является K-полистабильным . Недавние разработки в этой области предполагают, что правильной эквивалентностью может быть то, что поляризованное многообразие является равномерно K-полистабильным. ^{[ нужна ссылка ]}. Когда поляризация задается (анти)-каноническим линейным расслоением (т.е. в случае многообразий Фано или Калаби–Яу ), понятия K-стабильности и K-полистабильности совпадают, метрики cscK являются в точности метриками Кэлера-Эйнштейна, а метрики Яу -Известно, что гипотеза Тиана-Дональдсона верна. ^{[ нужна ссылка ]}.

Кэлера Экстремальные метрики

Метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны являются конкретными примерами более общего понятия канонической метрики на многообразиях Кэлера, экстремальных метрик Кэлера . Экстремальные метрики, как следует из названия, экстремизируют некоторый функционал в пространстве кэлеровых метрик, функционал Калаби, введенный Калаби . ^[1]^[2]

Функционал [ править] Калаби

Функционал Калаби — это функционал, определенный в пространстве кэлерова потенциала в определенном классе когомологий Кэлера де Рама на компактном кэлеровом многообразии. А именно, пусть $[\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)$ быть кэлеровым классом на компактном кэлеровом многообразии $(X,\omega )$ , и пусть $\omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi$ — любая кэлерова метрика этого класса, отличная от $\omega$ потенциалом $\varphi$ . Функционал Калаби $C$ определяется

C(\omega _{\varphi })=\int _{X}S(\omega _{\varphi })^{2}\omega _{\varphi }^{n}

где $S(\omega _{\varphi })$ скалярная кривизна соответствующей римановой метрики $\omega _{\varphi }$ и $\dim X=n$ . Этот функционал по существу представляет собой квадрат нормы скалярной кривизны для кэлеровых метрик в классе кэлера. $[\omega ]$ . Понимание потока этого функционала, потока Калаби , является ключевой целью в понимании существования канонических метрик Кэлера.

Экстремальные метрики [ править ]

По определению экстремальная кэлерова метрика является критической точкой функционала Калаби. ^[1] либо локальные, либо глобальные минимизаторы. В этом смысле экстремальные кэлеровы метрики можно рассматривать как лучший или канонический выбор кэлеровой метрики на любом компактном кэлеровом многообразии.

Метрики Кэлера постоянной скалярной кривизны являются примерами экстремальных метрик Кэлера, которые являются абсолютными минимизаторами функционала Калаби. В этом смысле функционал Калаби аналогичен функционалу Янга–Миллса , а экстремальные метрики аналогичны связностям Янга–Миллса . Роль постоянных скалярных метрик кривизны играют некоторые абсолютные минимизаторы функционала Янга–Миллса, антисамодвойственные связи или эрмитовые связи Янга–Миллса .

В некоторых случаях кэлеровы метрики постоянной скалярной кривизны могут не существовать на компактном кэлеровом многообразии, но экстремальные метрики все еще могут существовать. Например, некоторые многообразия могут допускать солитоны Кэлера – Риччи , которые являются примерами экстремальных кэлеровых метрик, а в случае поверхностей могут быть построены явные экстремальные метрики. ^[3]

Абсолютные минимизаторы функционала Калаби, метрики постоянной скалярной кривизны, можно альтернативно охарактеризовать как критические точки другого функционала, функционала Мабучи . Этот альтернативный вариационный взгляд на метрики постоянной скалярной кривизны имеет лучшие формальные свойства, чем функционал Калаби, из-за его связи с отображениями моментов в пространстве метрик Кэлера.

Потенциалы голоморфности

Существует альтернативная характеристика критических точек функционала Калаби в терминах так называемых потенциалов голоморфности. ^[2]^[4] Потенциалы голоморфности — это некоторые гладкие функции на компактном кэлеровом многообразии, гамильтонов поток которых порождает автоморфизмы кэлерова многообразия. Другими словами, их градиентные векторные поля голоморфны.

Потенциал голоморфности — это комплекснозначная функция $f:X\to \mathbb {C}$ такое, что векторное поле $\xi$ определяется $\xi ^{j}=g^{j{\bar {k}}}\partial _{\bar {k}}f$ — голоморфное векторное поле , где $g$ — риманова метрика, связанная с формой Кэлера, и суммирование здесь производится с использованием обозначений суммирования Эйнштейна . Векторное пространство потенциалов голоморфности, обозначаемое ${\mathfrak {h}}$ , можно отождествить с алгеброй Ли группы автоморфизмов кэлерова многообразия $(X,\omega )$ .

Метрика Кэлера $\omega$ является экстремальным, минимизирующим функционал Калаби тогда и только тогда, когда скалярная кривизна $S(\omega )$ является потенциалом голоморфности. Если скалярная кривизна постоянна, так что $\omega$ является cscK, то ассоциированный потенциал голоморфности является постоянной функцией, а индуцированное голоморфное векторное поле является нулевым векторным полем. В частности, на кэлеровом многообразии, которое не допускает ненулевых голоморфных векторных полей, единственные потенциалы голоморфности являются постоянными функциями, и каждая экстремальная метрика является метрикой Кэлера постоянной скалярной кривизны.

Существование постоянных метрик кривизны тесно связано с препятствиями, возникающими из-за голоморфных векторных полей, что приводит к инварианту Футаки и K-стабильности . Эта теория хорошо изучена для частного случая метрик Кэлера–Эйнштейна .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Бикард, Оливье (2006), «Метрики Кэлера с постоянной скалярной кривизной: уникальность, стабильность», Asterisk , Семинар Бурбаки. Полет. 2004/2005 Эксп. № 938 (307): 1–31, ISSN 0303-1179 , МР 2296414.
Дональдсон, С.К. (2001), «Скалярная кривизна и проективные вложения. I» , Журнал дифференциальной геометрии , 59 (3): 479–522, ISSN 0022-040X , MR 1916953
Дональдсон, С.К. (2002), «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий» , Журнал дифференциальной геометрии , 62 (2): 289–349, ISSN 0022-040X , MR 1988506

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Калаби, Э., 1982. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КАЛЕРОВЫ МЕТРИКИ. В СЕМИНАРЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (с. 259).
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Секелихиди, Г., 2014. Введение в экстремальные келеровые метрики (том 152). Американское математическое соц.
^ Тоннесен-Фридман, Кристина Вийс (1998), «Экстремальные метрики Кэлера на минимально линейчатых поверхностях», Журнал чистой и прикладной математики , 502 : 175–197, doi : 10.1515/crll.1998.086 , MR 1647571
^ Годюшон, Поль. 2014. Экстремальные метрики Кэлера Калаби: элементарное введение.

[calabi-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Калаби, Э., 1982. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ КАЛЕРОВЫ МЕТРИКИ. В СЕМИНАРЕ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (с. 259).

[Szekelyhidi-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Секелихиди, Г., 2014. Введение в экстремальные келеровые метрики (том 152). Американское математическое соц.

[3] Тоннесен-Фридман, Кристина Вийс (1998), «Экстремальные метрики Кэлера на минимально линейчатых поверхностях», Журнал чистой и прикладной математики , 502 : 175–197, doi : 10.1515/crll.1998.086 , MR 1647571

[4] Годюшон, Поль. 2014. Экстремальные метрики Кэлера Калаби: элементарное введение.

[1]

[2]

[3]

[4]

Кэлера Экстремальные метрики ​