Квазирегулярный элемент

В данной статье рассматривается понятие квазирегулярности в контексте теории колец , раздела современной алгебры . Другие понятия квазирегулярности в математике см. на странице значений квазирегулярности .

В математике , особенно в теории колец , понятие квазирегулярности отношении способ работы с радикалом Джекобсона кольца обеспечивает удобный в вычислительном . ^[1] В этой статье нас в первую очередь интересует понятие квазирегулярности колец с единицей . Однако один раздел посвящен теории квазирегулярности в неединичных кольцах, которая составляет важный аспект некоммутативной теории колец.

Определение

Пусть R кольцо (с единицей ) и пусть r — элемент R. — Тогда r называется квазирегулярным , если 1 − r является единицей в R ; то есть обратимый при умножении. ^[1] Понятия правой или левой квазирегулярности соответствуют ситуациям, когда 1 − r имеет правую или левую инверсию соответственно. ^[1]

Элемент x неединичного кольца R называется правоквазирегулярным, если существует элемент y из R такой, что $x+y-xy=0$ . ^[2] понятие левого квазирегулярного Аналогично определяется элемента. Элемент y иногда называют правым квазиобратным к x . ^[3] Если кольцо унитально, то это определение квазирегулярности совпадает с данным выше. ^[4] Если кто-то пишет $x\cdot y=x+y-xy$ , то эта бинарная операция $\cdot$ является ассоциативным . ^[5] Действительно, в единичном случае отображение $(R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x$ (где × обозначает умножение кольца R ) — моноида изоморфизм . ^[4] Следовательно, если элемент обладает как левым, так и правым квазиобратным, они равны. ^[6]

Обратите внимание, что некоторые авторы используют разные определения. называют Элемент x правоквазирегулярным, если существует элемент y такой, что $x+y+xy=0$ , ^[7] что эквивалентно утверждению, что 1 + x имеет правое обратное, когда кольцо единично. Если мы напишем $x\circ y=x+y+xy$ , затем $(-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)$ , поэтому мы можем легко переходить от одной настройки к другой, меняя знаки. ^[8] Например, x является квазирегулярным справа в одном наборе тогда и только тогда, когда − x является квазирегулярным справа в другом наборе. ^[8]

Примеры

Если R — кольцо, то аддитивное тождество R всегда квазирегулярно.
Если $x^{2}$ является правым (соответственно левым) квазирегулярным, то $x$ является правым (соответственно левым) квазирегулярным. ^[9]
Если R — кольцо, каждый нильпотентный элемент R квазирегулярен . ^[10] Этот факт подтверждается элементарным вычислением:

Если

x^{n+1}=0

, затем

(1-x)(1+x+x^{2}+\dotsb +x^{n})=1

(или

(1+x)(1-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n})=1

если следовать второму соглашению).

Отсюда легко видеть, что квазиобратное к x есть

-x-x^{2}-\dotsb -x^{n}

(или

-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}

).

Согласно второму соглашению, матрица является квазирегулярной в кольце матриц , если она не имеет −1 в качестве собственного значения . В более общем смысле, ограниченный оператор является квазирегулярным, если −1 не входит в его спектр .
В банаховой алгебре с единицей , если $\|x\|<1$ , то геометрическая прогрессия $\sum _{0}^{\infty }x^{n}$ сходится . Следовательно, каждый такой x квазирегулярен.
Если R — кольцо и S = R [[ X ₁ , ..., X _n ]] обозначает кольцо формальных степенных рядов от n индетерминантов над R , элемент S является квазирегулярным тогда и только тогда, когда его постоянный член квазирегулярен как элемент Р.

Характеристики

Каждый элемент радикала Джекобсона кольца (не обязательно коммутативного ) квазирегулярен. ^[11] Фактически радикал Джекобсона кольца можно охарактеризовать как единственный правый идеал кольца, максимальный по тому свойству, что каждый элемент квазирегулярен справа. ^[12]^[13] Однако правый квазирегулярный элемент не обязательно должен быть членом радикала Джекобсона. ^[14] Это оправдывает замечание в начале статьи – «плохие элементы» квазирегулярны, хотя квазирегулярные элементы не обязательно являются «плохими». Элементы радикала Якобсона кольца часто считаются «плохими».
Если элемент кольца нильпотентен и централен , то он является членом радикала Джекобсона кольца. ^[15] Это связано с тем, что главный правый идеал, порожденный этим элементом, состоит только из квазирегулярных (фактически, нильпотентных) элементов.
Если элемент r кольца идемпотентен , он не может быть членом радикала Джекобсона кольца. ^[16] Это связано с тем, что идемпотентные элементы не могут быть квазирегулярными. Это свойство, а также свойство, приведенное выше, оправдывают сделанное в начале статьи замечание о том, что понятие квазирегулярности удобно в вычислительном отношении при работе с радикалом Джекобсона. ^[1]

Обобщение на полукольца

Понятие квазирегулярного элемента легко обобщается на полукольца . Если a — элемент полукольца S , то аффинное отображение S в себя есть $\mu _{a}(r)=ra+1$ . Элемент a из S называется правоквазирегулярным, если $\mu _{a}$ имеет фиксированную точку , которая не обязательно должна быть уникальной. называется левой квазиобратной к . Каждая такая неподвижная точка Если b является левым квазиобратным к a и, кроме того, b = ab + 1, то b называется квазиобратным к a ; любой элемент полукольца, имеющий квазиобратный, называется квазирегулярным . Возможно, что некоторые, но не все элементы полукольца квазирегулярны; например, в полукольце неотрицательных вещественных чисел с обычным сложением и умножением вещественных чисел, $\mu _{a}$ имеет фиксированную точку ${\frac {1}{1-a}}$ для всех a < 1, но не имеет неподвижной точки при a ≥ 1. ^[17] Если каждый элемент полукольца квазирегулярен, то полукольцо называется квазиправильным полукольцом , замкнутым полукольцом , ^[18] или иногда полукольцо Лемана ^[17] (последний в честь статьи Дэниела Дж. Лемана. ^[19])

Примерами квазирегулярных полуколец служат алгебры Клини (в первую очередь алгебра регулярных выражений ), в которых квазиобратная операция поднимается до роли унарной операции (обозначаемой * ), определяемой как наименьшая неподвижная точка решение. Алгебры Клини аддитивно идемпотентны, но не все квазирегулярные полукольца таковы. Мы можем расширить пример неотрицательных чисел, включив в него бесконечность , и оно станет квазирегулярным полукольцом, где квазиобратным к любому элементу a ≥ 1 будет бесконечность. Однако это квазирегулярное полукольцо не является аддитивно идемпотентным, поэтому оно не является алгеброй Клини. ^[18] Однако это полное полукольцо . ^[20] В более общем смысле все полные полукольца квазирегулярны. ^[21] Термин «замкнутое полукольцо» на самом деле используется некоторыми авторами для обозначения полного полукольца, а не просто квазирегулярного. ^[22]^[23]

Полукольца Конвея также квазирегулярны; две аксиомы Конвея на самом деле независимы, т.е. существуют полукольца, удовлетворяющие только аксиоме звезды-продукта [Конвея], ( ab )* = 1+ a ( ba )* b , но не аксиоме звезды-суммы, ( a + b ) * = ( a * b )* a * и наоборот; именно аксиома звезды-продукта [Конвея] подразумевает, что полукольцо квазирегулярно. Кроме того, коммутативное полукольцо квазирегулярно тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет аксиоме Конвея-произведения-звезды. ^[17]

Квазирегулярные полукольца появляются в алгебраических задачах о пути , являющихся обобщением задачи о кратчайшем пути . ^[18]

См. также

обратный элемент

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Айзекс, с. 180
^ Лам, Ex. 4.2, с. 50
^ Полчино и Сегал (2002), с. 298 .
^ Jump up to: ^а ^б Лам, экс. 4.2(3), с. 50
^ Лам, Ex. 4.1, с. 50
^ Поскольку 0 является мультипликативным тождеством, если $x\cdot y=0=y'\cdot x$ , затем $y=(y'\cdot x)\cdot y=y'\cdot (x\cdot y)=y'$ . Квазирегулярность не требует, чтобы кольцо имело мультипликативную идентичность.
^ Капланский, с. 85
^ Jump up to: ^а ^б Лам, с. 51
^ Капланский, с. 108
^ Лам, Ex. 4.2(2), с. 50
^ Айзекс, Теорема 13.4 (а), с. 180
^ Айзекс, Теорема 13.4 (b), с. 180
^ Айзекс, Следствие 13.7, с. 181
^ Айзекс, с. 181
^ Айзекс, Следствие 13.5, с. 181
^ Айзекс, Следствие 13.6, с. 181
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джонатан С. Голан (30 июня 2003 г.). Полукольца и аффинные уравнения над ними . Springer Science & Business Media. стр. 157–159 и 164–165. ISBN 978-1-4020-1358-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Марк Пули; Юрг Колас (2011). Общий вывод: объединяющая теория для автоматизированного рассуждения . Джон Уайли и сыновья. стр. 232 и 248–249. ISBN 978-1-118-01086-0 .
^ Леманн, диджей (1977). «Алгебраические структуры для транзитивного замыкания» (PDF) . Теоретическая информатика . 4 : 59–76. дои : 10.1016/0304-3975(77)90056-1 .
^ Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1 , стр. 7-10.
^ У. Циммерманн (1981). Линейная и комбинаторная оптимизация в упорядоченных алгебраических структурах . Эльзевир. п. 141. ИСБН 978-0-08-086773-1 .
^ Декстер Козен (1992). Разработка и анализ алгоритмов . Springer Science & Business Media. п. 31. ISBN 978-0-387-97687-7 .
^ Дж. А. Сторер (2001). Введение в структуры данных и алгоритмы . Springer Science & Business Media. п. 336. ИСБН 978-0-8176-4253-2 .

Ссылки

И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Издательская компания Брукса / Коула. ISBN 0-534-19002-2 .
Ирвинг Каплански (1969). Поля и кольца . Издательство Чикагского университета.
Лам, Цит-Юэн (2003). Упражнения по классической теории колец . Задачи по математике (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0387005003 .
Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. (2002). Знакомство с групповыми кольцами . Спрингер. ISBN 978-1-4020-0238-0 .

[Isaacs,_p._180-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Айзекс, с. 180

[2] Лам, Ex. 4.2, с. 50

[3] Полчино и Сегал (2002), с. 298 .

[Lam4.2(3)-4] Jump up to: ^а ^б Лам, экс. 4.2(3), с. 50

[5] Лам, Ex. 4.1, с. 50

[6] Поскольку 0 является мультипликативным тождеством, если $x\cdot y=0=y'\cdot x$ , затем $y=(y'\cdot x)\cdot y=y'\cdot (x\cdot y)=y'$ . Квазирегулярность не требует, чтобы кольцо имело мультипликативную идентичность.

[7] Капланский, с. 85

[Lam51-8] Jump up to: ^а ^б Лам, с. 51

[9] Капланский, с. 108

[10] Лам, Ex. 4.2(2), с. 50

[11] Айзекс, Теорема 13.4 (а), с. 180

[12] Айзекс, Теорема 13.4 (b), с. 180

[13] Айзекс, Следствие 13.7, с. 181

[14] Айзекс, с. 181

[15] Айзекс, Следствие 13.5, с. 181

[16] Айзекс, Следствие 13.6, с. 181

[Golan2003-17] Jump up to: ^а ^б ^с Джонатан С. Голан (30 июня 2003 г.). Полукольца и аффинные уравнения над ними . Springer Science & Business Media. стр. 157–159 и 164–165. ISBN 978-1-4020-1358-4 .

[PoulyKohlas2012b-18] Jump up to: ^а ^б ^с Марк Пули; Юрг Колас (2011). Общий вывод: объединяющая теория для автоматизированного рассуждения . Джон Уайли и сыновья. стр. 232 и 248–249. ISBN 978-1-118-01086-0 .

[19] Леманн, диджей (1977). «Алгебраические структуры для транзитивного замыкания» (PDF) . Теоретическая информатика . 4 : 59–76. дои : 10.1016/0304-3975(77)90056-1 .

[droste-20] Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1 , стр. 7-10.

[Zimmermann2011-21] У. Циммерманн (1981). Линейная и комбинаторная оптимизация в упорядоченных алгебраических структурах . Эльзевир. п. 141. ИСБН 978-0-08-086773-1 .

[Kozen1992-22] Декстер Козен (1992). Разработка и анализ алгоритмов . Springer Science & Business Media. п. 31. ISBN 978-0-387-97687-7 .

[Storer2001-23] Дж. А. Сторер (2001). Введение в структуры данных и алгоритмы . Springer Science & Business Media. п. 336. ИСБН 978-0-8176-4253-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]