несжимаемый поток

В механике жидкости или, в более общем смысле, в механике сплошной среды , несжимаемый поток ( изохорный поток ) относится к потоку материала , в котором плотность каждой порции жидкости — бесконечно малого объема, который движется со скоростью потока , — не зависит от времени. Эквивалентное утверждение, подразумевающее несжимаемый поток , состоит в том, что дивергенция скорости потока равна нулю (см. вывод ниже, который показывает, почему эти условия эквивалентны).

Несжимаемый поток не означает, что сама жидкость несжимаема. В приведенном ниже выводе показано, что при правильных условиях даже течение сжимаемой жидкости можно с хорошим приближением моделировать как поток несжимаемой жидкости.

Вывод

Основное требование к несжимаемому потоку состоит в том, чтобы плотность $\rho$ , является постоянным в пределах небольшого объема элемента dV , который движется со скоростью потока u . Математически это ограничение подразумевает, что производная материала (обсуждаемая ниже) плотности должна обращаться в нуль, чтобы обеспечить несжимаемый поток. Прежде чем вводить это ограничение, мы должны применить закон сохранения массы , чтобы сгенерировать необходимые соотношения. Масса рассчитывается по объемному интегралу плотности: $\rho$ :

{m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.

Сохранение массы требует, чтобы производная массы по времени внутри контрольного объема была равна потоку массы J через его границы. Математически мы можем представить это ограничение в виде поверхностного интеграла :

{\partial m \over \partial t}=-

$\оинт$

S

\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

Отрицательный знак в приведенном выше выражении гарантирует, что поток наружу приводит к уменьшению массы по отношению ко времени, используя соглашение, согласно которому вектор площади поверхности направлен наружу. Теперь, используя теорему о дивергенции, мы можем вывести связь между потоком и частной производной плотности по времени:

{\iiint \limits _{V}{\partial \rho  \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},

поэтому:

{\partial \rho  \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .

Частная производная плотности по времени не обязательно обращается в нуль, чтобы обеспечить несжимаемый поток . Когда мы говорим о частной производной плотности по времени, мы имеем в виду эту скорость изменения в контрольном объеме фиксированного положения . Позволяя частной производной плотности по времени быть отличной от нуля, мы не ограничиваемся несжимаемыми жидкостями , поскольку плотность может меняться, наблюдаемая из фиксированного положения, когда жидкость течет через контрольный объем. Этот подход сохраняет общность и не требует, чтобы частная производная плотности по времени обращалась в нуль, показывает, что сжимаемые жидкости все еще могут подвергаться течению несжимаемыми. Нас интересует изменение плотности контрольного объема, движущегося вместе со скоростью потока u . Поток связан со скоростью потока посредством следующей функции:

{\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.

Итак, сохранение массы означает, что:

{\partial \rho  \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho  \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.

Предыдущее соотношение (где мы использовали соответствующее правило произведения ) известно как уравнение непрерывности . Теперь нам нужно следующее соотношение о полной производной плотности (где мы применяем цепное правило ):

{\mathrm {d} \rho  \over \mathrm {d} t}={\partial \rho  \over \partial t}+{\partial \rho  \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho  \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho  \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.

Итак, если мы выберем контрольный объем, который движется с той же скоростью, что и жидкость (т.е. ( dx / dt , dy / dt , dz / dt ) = u ), то это выражение упрощается до материальной производной :

{D\rho  \over Dt}={\partial \rho  \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.

Итак, используя уравнение неразрывности, полученное выше, мы видим, что:

{D\rho  \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.

Изменение плотности с течением времени означало бы, что жидкость либо сжималась, либо расширялась (или что масса, содержащаяся в нашем постоянном объеме, dV , изменилась), что мы запретили. Затем мы должны потребовать, чтобы материальная производная плотности обращалась в нуль, и, что эквивалентно (для ненулевой плотности), то же самое должно происходить и с дивергенцией скорости потока:

{\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.

Итак, начиная с сохранения массы и ограничения, согласно которому плотность внутри движущегося объема жидкости остается постоянной, было показано, что эквивалентным условием, необходимым для несжимаемого течения, является исчезновение дивергенции скорости потока.

Связь со сжимаемостью

В некоторых областях мерой несжимаемости потока является изменение плотности в результате изменений давления. Лучше всего это выражается через сжимаемость

\beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.

Если сжимаемость приемлемо мала, поток считается несжимаемым.

Связь с соленоидальным полем

Несжимаемое течение описывается соленоидальным полем скорости потока. Но соленоидальное поле, помимо нулевой дивергенции , также имеет дополнительный смысл наличия ненулевого ротора (т. е. вращательного компонента).

В противном случае, если несжимаемый поток также имеет нулевой ротор, так что он также является безвихревым , то поле скорости потока фактически является лапласовым .

Отличие от материала

Как было определено ранее, несжимаемым (изохорным) течением является поток, в котором

\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,

Это эквивалентно тому, что

{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0

т.е. материальная производная плотности равна нулю. Таким образом, если следовать материальному элементу, его массовая плотность остается постоянной. Обратите внимание, что материальная производная состоит из двух членов. Первый срок ${\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}$ описывает, как плотность материального элемента меняется со временем. Этот термин также известен как нестационарный член . Второй срок, $\mathbf {u} \cdot \nabla \rho$ описывает изменения плотности при перемещении материального элемента из одной точки в другую. Это термин адвекции (член конвекции для скалярного поля). Чтобы поток можно было считать несжимаемым, сумма приращений этих слагаемых должна обращаться в нуль.

С другой стороны, однородный несжимаемый материал имеет постоянную плотность по всей длине. Для такого материала $\rho ={\text{constant}}$ . Это подразумевает, что

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0

и

\nabla \rho =0

независимо .

Из уравнения неразрывности следует, что

{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\ \Rightarrow \ \nabla \cdot \mathbf {u} =0

Таким образом, однородные материалы всегда подвергаются несжимаемому течению, но обратное неверно. То есть сжимаемые материалы могут не испытывать сжатия в потоке.

Связанные ограничения потока

В гидродинамике поток считается несжимаемым, если дивергенция скорости потока равна нулю. Однако иногда можно использовать родственные формулировки, в зависимости от моделируемой системы течения. Некоторые версии описаны ниже:

Несжимаемый поток : ${\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ . Это может предполагать либо постоянную плотность (строгая несжимаемость), либо поток переменной плотности. Набор изменяющейся плотности допускает решения, включающие небольшие возмущения в полях плотности , давления и/или температуры, и может учитывать стратификацию давления в области.
Неупругий поток : ${\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}$ . Неупругое ограничение, используемое в основном в области атмосферных наук , расширяет применимость несжимаемого потока до стратифицированной плотности и/или температуры, а также давления. Это позволяет термодинамическим переменным релаксировать до «атмосферного» базового состояния, наблюдаемого в нижних слоях атмосферы, например, при использовании в области метеорологии. Это условие можно использовать и для различных астрофизических систем. ^[1]
Поток с малым числом Маха , или псевдонесжимаемость : $\nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta$ . Ограничение низкого числа Маха можно получить из сжимаемых уравнений Эйлера с использованием масштабного анализа безразмерных величин. Ограничение, как и предыдущее в этом разделе, позволяет устранить акустические волны, но также допускает большие возмущения плотности и/или температуры. Предполагается, что поток остается в пределах числа Маха (обычно меньше 0,3), чтобы любое решение, использующее такое ограничение, было действительным. Опять же, в соответствии со всеми несжимаемыми потоками отклонение давления должно быть небольшим по сравнению с базовым состоянием давления. ^[2]

Эти методы делают разные предположения о потоке, но все они учитывают общий вид ограничения. $\nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta$ для общих функций, зависящих от потока $\alpha$ и $\beta$ .

Численные приближения

Строгость уравнений течения несжимаемой жидкости означает, что для их решения были разработаны специальные математические методы. Некоторые из этих методов включают в себя:

Метод проекции (как приближенный, так и точный)
Техника искусственной сжимаемости (приблизительная)
Предварительная подготовка к сжатию

См. также

Ссылки

^ Дюрран, ДР (1989). «Улучшение неупругого приближения» (PDF) . Журнал атмосферных наук . 46 (11): 1453–1461. Бибкод : 1989JAtS...46.1453D . doi : 10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2 . ISSN 1520-0469 . ^{[ мертвая ссылка ]}
^ Альмгрен, А.С.; Белл, Дж.Б.; Рендлман, Калифорния; Зингале, М. (2006). «Моделирование сверхновых типа Ia с низким числом Маха. I. Гидродинамика» (PDF) . Астрофизический журнал . 637 (2): 922–936. arXiv : astro-ph/0509892 . Бибкод : 2006ApJ...637..922A . дои : 10.1086/498426 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 октября 2008 г. Проверено 4 декабря 2008 г.

[1] Дюрран, ДР (1989). «Улучшение неупругого приближения» (PDF) . Журнал атмосферных наук . 46 (11): 1453–1461. Бибкод : 1989JAtS...46.1453D . doi : 10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2 . ISSN 1520-0469 . ^{[ мертвая ссылка ]}

[2] Альмгрен, А.С.; Белл, Дж.Б.; Рендлман, Калифорния; Зингале, М. (2006). «Моделирование сверхновых типа Ia с низким числом Маха. I. Гидродинамика» (PDF) . Астрофизический журнал . 637 (2): 922–936. arXiv : astro-ph/0509892 . Бибкод : 2006ApJ...637..922A . дои : 10.1086/498426 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 октября 2008 г. Проверено 4 декабря 2008 г.

[1]

[2]