Афера Эйленберга-Мазура

В математике , мошенничество Эйленберга-Мазура названное в честь Сэмюэля Эйленберга и Барри Мазура , представляет собой метод доказательства, который включает парадоксальные свойства бесконечных сумм. В геометрической топологии оно было введено Мазуром ( 1959 , 1961 ) и часто называется мошенничеством Мазура . В алгебре его ввел Сэмюэл Эйленберг. и известен как обман Эйленберга или телескоп Эйленберга (см. Сумма телескопов ).

Афера Эйленберга-Мазура похожа на следующую известную шутку «доказательство» того, что 1 = 0:

1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0

Это «доказательство» недействительно в качестве утверждения о действительных числах, поскольку ряд Гранди 1 — 1 + 1 — 1 + ... не сходится , но аналогичный аргумент можно использовать в некоторых контекстах, где есть своего рода «сложение». определены для некоторых объектов, для которых бесконечные суммы имеют смысл,чтобы показать, что если A + B = 0, то A = B = 0.

Мазурское мошенничество

сложение, используемое в мошенничестве, обычно представляет собой связную сумму узлов В геометрической топологии или многообразий .

Пример ( Рольфсен 1990 , глава 4B): Типичным применением мошенничества Мазура в геометрической топологии является доказательство того, что сумма двух нетривиальных узлов A и B нетривиальна. Для узлов можно брать бесконечные суммы, делая узлы все меньше и меньше, поэтому, если A + B тривиально, то

$A=A+(B+A)+(B+A)+\cdots =(A+B)+(A+B)+\cdots =0\,$

поэтому A тривиально (и B по аналогичному рассуждению). Бесконечная сумма узлов обычно является диким , а не ручным узлом . см. ( Poénaru 2007 Дополнительные геометрические примеры ).

Пример : ориентированные n -многообразия имеют операцию сложения, заданную связной суммой, где 0 соответствует n -сфере. Если A + B — это n -сфера, то A + B + A + B + ... — это евклидово пространство, поэтому мошенничество Мазура показывает, что связная сумма A и евклидова пространства является евклидовым пространством, что показывает, что A — это 1 -точечная компактификация евклидова пространства и, следовательно, A гомеоморфна n -сфере. (В случае гладких многообразий это не показывает, что A диффеоморфно n- сфере, а в некоторых измерениях, например 7, существуют примеры экзотических сфер A с обратными, которые не диффеоморфны стандартной n -сфере. )

Афера Эйленберга

В алгебре в мошенничестве обычно используется сложение, представляющее собой прямую сумму модулей по кольцу .

Пример. Типичным применением мошенничества Эйленберга в алгебре является доказательство того, что если A — проективный модуль над кольцом R , то существует свободный модуль F такой, что A ⊕ F ≅ F . Чтобы убедиться в этом, выберите модуль B такой, что A ⊕ B свободен, что можно сделать, поскольку A проективен, и положите

F = В ⊕ А ⊕ В ⊕ А ⊕ В ⊕ ⋯.

так что

А ⊕ F знак равно А ⊕ ( B ⊕ А ) ⊕ ( B ⊕ А ) ⊕ ⋯ знак равно ( А ⊕ B ) ⊕ ( А ⊕ B ) ⊕ ⋯ ≅ F .

Пример : ( Eisenbud 1995 , стр.121) Конечно порожденные свободные модули над коммутативными кольцами R имеют четко определенное натуральное число в качестве размерности, которая аддитивна относительно прямых сумм, и изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Это неверно для некоторых некоммутативных колец, и контрпример можно построить, используя мошенничество Эйленберга, следующим образом. Пусть X — абелева группа такая, что X ≅ X ⊕ X (например, прямая сумма бесконечного числа копий любой ненулевой абелевой группы), и пусть R — кольцо эндоморфизмов X . Тогда левый R -модуль R изоморфен левому R -модулю R ⊕ R .

Пример : ( Lam 2003 , упражнение 8.16) Если A и B — любые группы, то мошенничество Эйленберга можно использовать для построения кольца R такого, что групповые кольца R [ A ] и R [ B ] являются изоморфными кольцами: возьмем R как групповое кольцо ограниченного прямого произведения бесконечного числа копий A ⨯ B .

Другие примеры

Доказательство теоремы Кантора-Бернштейна-Шредера можно рассматривать как предшественник мошенничества Эйленберга-Мазура. На самом деле идеи очень похожи. Если существуют инъекции множеств из X в Y и из Y в X , это означает, что формально мы имеем X = Y + A и Y = X + B для некоторых множеств A и B , где + означает непересекающееся объединение, а = означает, что существует биекция между двумя множествами. Дополняя первое вторым,

Икс знак равно Икс + А + В .

В этой биекции пусть Z состоит из тех элементов левой части, которые соответствуют элементу X в правой части. Эта биекция затем расширяется до биекции

Икс знак равно А + B + А + B + ⋯ + Z .

Подстановка правой части X в Y = B + X дает биекцию

Y знак равно B + А + B + А + ⋯ + Z .

Переключение каждой соседней пары B + A дает

Y знак равно А + B + А + B + ⋯ + Z .

Составление биекции для X с обратной биекцией для Y дает тогда

Х = Y.

Этот аргумент зависел от биекций A + B = B + A и A + ( B + C ) = ( A + B ) + C , а также от корректности определения бесконечного непересекающегося объединения.

Ссылки

• Басс, Хайман (1963), «Большие проективные модули бесплатны» , Illinois Journal of Mathematics , 7 : 24–31, doi : 10.1215/ijm/1255637479 , MR   0143789
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, вып. 150, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xvi+785, doi : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  0-387-94268-8 , МР   1322960
• Эклоф, Пол С.; Меклер, Алан Х. (2002), Почти бесплатные модули: теоретико-множественные модели , Elsevier, ISBN  0-444-50492-3
• Лам, Цит-Юэн (2003), Упражнения по классической теории колец , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-00500-3
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Springer, ISBN  0-387-98428-3
• Мазур, Барри (1959), «О структуре некоторых полугрупп классов сферических узлов» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 3 : 19–27, doi : 10.1007/bf02684388 , MR   0116347
• Мазур, Барри К. (1961), «О вложениях сфер», Acta Mathematica , 105 (1–2): 1–17, doi : 10.1007/BF02559532 , MR   0125570
• Поэнару, Валентин (2007), «Что такое... бесконечное мошенничество?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 54 (5): 619–622, MR   2311984.
• Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и звенья. Исправленная перепечатка оригинала 1976 года. , Серия лекций по математике, вып. 7, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., стр. xiv+439, ISBN.  0-914098-16-0 , МР   1277811

Внешние ссылки

• Экспозиция Теренса Тао о мошенничестве Мазура в топологии