Управляемость

Управляемость является важным свойством системы управления и играет решающую роль во многих задачах управления, таких как стабилизация неустойчивых систем с помощью обратной связи или оптимальное управление.

Управляемость и наблюдаемость — двойственные аспекты одной и той же проблемы.

Грубо говоря, понятие управляемости означает возможность перемещать систему во всем ее конфигурационном пространстве, используя лишь определенные допустимые манипуляции. Точное определение незначительно варьируется в зависимости от структуры или типа применяемых моделей.

Ниже приведены примеры вариаций понятий управляемости, которые были представлены в литературе по системам и управлению:

• Государственная управляемость
• Выходная управляемость
• Управляемость в поведенческих рамках

Государственная управляемость

Состояние . детерминированной системы , которое представляет собой набор значений всех переменных состояния системы (те переменные, которые характеризуются динамическими уравнениями), полностью описывает систему в любой момент времени В частности, для прогнозирования будущего не требуется никакой информации о прошлом системы, если известны состояния в настоящее время и известны все текущие и будущие значения управляющих переменных (тех, значения которых можно выбирать).

Полная управляемость состояния (или просто управляемость, если не указан другой контекст) описывает способность внешнего входа (вектора управляющих переменных) перемещать внутреннее состояние системы из любого начального состояния в любое конечное состояние за конечный интервал времени.

То есть мы можем неформально определить управляемость следующим образом: Если для любого начального состояния $\mathbf {x_{0}}$ и любое конечное состояние $\mathbf {x_{f}}$ существует входная последовательность для передачи состояния системы из $\mathbf {x_{0}}$ к $\mathbf {x_{f}}$ в конечном интервале времени система, моделируемая представлением в пространстве состояний, является управляемой. В простейшем примере непрерывной системы LTI размерность строки выражения пространства состояний ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$ определяет интервал; каждая строка вносит вектор в пространство состояний системы. Если таких векторов недостаточно, чтобы охватить пространство состояний $\mathbf {x}$, то система не сможет достичь управляемости. Возможно, потребуется изменить $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ чтобы лучше аппроксимировать основные дифференциальные отношения, которые он оценивает, для достижения управляемости.

Управляемость не означает, что достигнутое состояние можно поддерживать, а лишь то, что можно достичь любого состояния.

Управляемость не означает, что в пространстве состояний можно прокладывать произвольные пути, а лишь то, что путь существует в пределах заданного конечного интервала времени.

Непрерывные линейные системы

Рассмотрим непрерывную линейную систему

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).$

Существует контроль $u$ из штата $x_{0}$ во время $t_{0}$ заявить $x_{1}$ во время $t_{1}>t_{0}$ тогда и только тогда, когда $x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ находится в столбцов пространстве

$W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}dt$

где $\phi$ — матрица перехода состояний , и $W(t_{0},t_{1})$ – Грамиан управляемости .

Фактически, если $\eta _{0}$ это решение $W(t_{0},t_{1})\eta =x_{1}-\phi (t_{0},t_{1})x_{0}$ тогда управление, заданное $u(t)=-B(t)^{T}\phi (t_{0},t)^{T}\eta _{0}$ осуществил бы желаемый перевод.

Обратите внимание, что матрица $W$ определенный выше, имеет следующие свойства:

• $W(t_{0},t_{1})$ симметричен ​
• $W(t_{0},t_{1})$ является положительно полуопределенным для $t_{1}\geq t_{0}$
• $W(t_{0},t_{1})$ удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

${\frac {d}{dt}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T},\;W(t_{1},t_{1})=0$

• $W(t_{0},t_{1})$ удовлетворяет уравнению

$W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{T}$

Условие ранга управляемости

Грамиан управляемости включает интеграцию матрицы переходов состояний системы. Более простым условием управляемости является условие ранга , аналогичное условию ранга Калмана для стационарных систем.

Рассмотрим линейную систему с непрерывным временем $\Sigma$ плавно меняющийся в интервале $[t_{0},t]$ из $\mathbb {R}$:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).$

Матрица перехода состояний $\phi$ тоже гладкий. Введем матричную функцию nxm $M_{0}(t)=\phi (t_{0},t)B(t)$ и определить

$M_{k}(t)$ = ${\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1$.

Рассмотрим матрицу матриц-функций, полученную перечислением всех столбцов $M_{i}$, $i=0,1,\ldots ,k$:

$M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right]$.

Если существует ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ и целое неотрицательное число k такое, что $\operatorname {rank} M^{(k)}({\bar {t}})=n$, затем $\Sigma$ является управляемым.

Если $\Sigma$ также аналитически меняется в интервале $[t_{0},t]$, затем $\Sigma$ управляема на каждом нетривиальном подинтервале $[t_{0},t]$ тогда и только тогда, когда существует ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ и целое неотрицательное число k такое, что $\operatorname {rank} M^{(k)}(t_{i})=n$.

Вышеупомянутые методы все еще могут быть сложными для проверки, поскольку они включают в себя вычисление матрицы перехода состояний. $\phi$. Другое эквивалентное условие определяется следующим образом. Позволять $B_{0}(t)=B(t)$, и для каждого $i\geq 0$, определять

$B_{i+1}(t)$= $A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).$

В этом случае каждый $B_{i}$ получается непосредственно из данных $(A(t),B(t)).$ Система управляема, если существует ${\bar {t}}\in [t_{0},t]$ и неотрицательное целое число $k$ такой, что ${\textrm {rank}}(\left[B_{0}({\bar {t}}),B_{1}({\bar {t}}),\ldots ,B_{k}({\bar {t}})\right])=n$.

Пример

Рассмотрим систему, изменяющуюся аналитически по $(-\infty ,\infty )$ и матрицы

$A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}}$, $B(t)={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.$ Затем $[B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}}$ и поскольку эта матрица имеет ранг 3, система управляема на любом нетривиальном интервале $\mathbb {R}$.

Непрерывные линейные нестационарные (LTI) системы

Рассмотрим непрерывную линейную стационарную систему

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)$

где

$\mathbf {x}$ это $n\times 1$ «вектор состояния»,

$\mathbf {y}$ это $m\times 1$ "выходной вектор",

$\mathbf {u}$ это $r\times 1$ «входной (или управляющий) вектор»,

$A$ это $n\times n$ «матрица состояний»,

$B$ это $n\times r$ «входная матрица»,

$C$ это $m\times n$ «выходная матрица»,

$D$ это $m\times r$ «матрица сквозного (или прямого) распространения».

The $n\times nr$ Матрица управляемости имеет вид

$R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}$

Система является управляемой, если матрица управляемости имеет полный ранг строки (т.е. $\operatorname {rank} (R)=n$).

Дискретные линейные нестационарные (LTI) системы

Для с дискретным временем (т. е. временной переменной линейной системы в пространстве состояний $k\in \mathbb {Z}$) уравнение состояния

${\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)$

где $A$ это $n\times n$ матрица и $B$ это $n\times r$ матрица (т.е. $\mathbf {u}$ является $r$ материалы, собранные в $r\times 1$ вектор). Тест на управляемость заключается в том, что $n\times nr$ матрица

${\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}$

имеет полный ранг строки (т.е. $\operatorname {rank} ({\mathcal {C}})=n$). То есть, если система управляема, ${\mathcal {C}}$ будет иметь $n$ столбцы, которые линейно независимы ; если $n$ столбцы ${\mathcal {C}}$ , линейно независимы каждая из $n$ состояний достижимо путем предоставления системе соответствующих входных данных через переменную $u(k)$.

Вывод

Учитывая состояние ${\textbf {x}}(0)$ в начальный момент времени, условно обозначенный как k = 0, уравнение состояния дает ${\textbf {x}}(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0),$ затем ${\textbf {x}}(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=A^{2}{\textbf {x}}(0)+AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1),$ и так далее с повторными обратными заменами переменной состояния, что в конечном итоге дает

${\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)$

или эквивалентно

${\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{T}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{T}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{T}(0)]^{T}.$

Наложение любого желаемого значения вектора состояния ${\textbf {x}}(n)$ с левой стороны это всегда можно решить для составного вектора векторов управления тогда и только тогда, когда матрица матриц в начале правой части имеет полный ранг строки.

Пример

Например, рассмотрим случай, когда $n=2$ и $r=1$ (т.е. только один управляющий вход). Таким образом, $B$ и $AB$ являются $2\times 1$ векторы. Если ${\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}$ имеет ранг 2 (полный ранг), и поэтому $B$ и $AB$ и линейно независимы охватывают всю плоскость. Если ранг равен 1, то $B$ и $AB$ коллинеарны и не охватывают плоскость.

Предположим, что начальное состояние равно нулю.

Во время $k=0$: $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$

Во время $k=1$: $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$

Во время $k=0$ все достижимые состояния находятся на линии, образованной вектором $B$. Во время $k=1$ все достижимые состояния представляют собой линейные комбинации $AB$ и $B$. Если система управляема, то эти два вектора могут охватывать всю плоскость и делать это за время. $k=2$. Предположение о том, что начальное состояние равно нулю, сделано просто для удобства. Очевидно, что если во все состояния можно попасть из начала координат, то в любое состояние можно попасть из другого состояния (простой сдвиг координат).

Этот пример справедлив для всех положительных $n$, но случай $n=2$ легче визуализировать.

Аналогия на примере n = 2

Рассмотрим аналогию с предыдущим примером системы. Вы сидите в своей машине на бесконечной плоской плоскости лицом на север. Цель состоит в том, чтобы добраться до любой точки плоскости, проехав некоторое расстояние по прямой, полностью остановиться, развернуться и проехать еще одно расстояние, опять же по прямой. Если у вашей машины нет рулевого управления, вы можете ехать только прямо, а это значит, что вы можете двигаться только по прямой (в данном случае по линии север-юг, поскольку вы начали смотреть на север). Отсутствие рулевого корпуса было бы аналогично тому, когда звание $C$ равен 1 (два пройденных вами расстояния лежат на одной линии).

Теперь, если бы у вашей машины было рулевое управление, вы могли бы легко доехать до любой точки плоскости, и это было бы аналогично тому, когда ранг $C$ это 2.

Если вы измените этот пример на $n=3$ тогда аналогией будет полет в космосе для достижения любой позиции в трехмерном пространстве (игнорируя самолета ) ориентацию . Вам разрешено:

• лететь по прямой
• повернуть налево или направо на любую величину ( Yaw )
• направить самолет вверх или вниз на любую величину ( Pitch )

Хотя трехмерный случай представить труднее, концепция управляемости по-прежнему аналогична.

Нелинейные системы

Нелинейные системы в аффинной по управлению форме

${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}$

доступны локально примерно $x_{0}$ если распределение доступности $R$ пролеты $n$ пространство, когда $n$ соответствует рангу $x$ и R определяется как:

$R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.$

Здесь, $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ — это повторяющаяся операция со скобками Ли, определяемая формулой

$[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.$

Матрица управляемости линейных систем из предыдущего раздела фактически может быть получена из этого уравнения.

Нулевая управляемость

Если дискретная система управления нульуправляема, то это означает, что существует управляемая система управления. $u(k)$ так что $x(k_{0})=0$ для некоторого начального состояния $x(0)=x_{0}$. Другими словами, это эквивалентно условию существования матрицы $F$ такой, что $A+BF$ является нильпотентным.

Это легко показать с помощью управляемо-неуправляемого разложения.

Выходная управляемость

Управляемость выходом — это родственное понятие для выхода системы (обозначенное y в предыдущих уравнениях); управляемость выходом описывает способность внешнего входа перемещать выход из любого начального состояния в любое конечное состояние за конечный интервал времени. Не обязательно, чтобы существовала какая-либо связь между управляемостью по состоянию и управляемостью по выходу. В частности:

• Управляемая система не обязательно является управляемой по выходу. Например, если матрица D = 0 и матрица C не имеет полного ранга строки, то некоторые позиции вывода маскируются предельной структурой выходной матрицы и, следовательно, недостижимы. Более того, даже несмотря на то, что систему можно перевести в любое состояние за конечное время, могут существовать некоторые выходные данные, недоступные для всех состояний. В тривиальном числовом примере используется D =0 и матрица C хотя бы с одной строкой нулей; таким образом, система не способна выдавать ненулевой результат по этому измерению.
• Система, управляемая по выходу, не обязательно является управляемой государством. Например, если размерность пространства состояний больше размерности вывода, то для каждого отдельного вывода будет существовать набор возможных конфигураций состояний. То есть система может иметь значительную нулевую динамику , которая представляет собой траектории системы, не наблюдаемые на выходе. Следовательно, возможность перевести выходной сигнал в определенную позицию за конечное время ничего не говорит о конфигурации состояния системы.

Для линейной системы с непрерывным временем, такой как приведенный выше пример, описываемой матрицами $A$, $B$, $C$, и $D$, $m\times (n+1)r$ матрица выходной управляемости

${\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}$

имеет полный ранг строки (т.е. ранг $m$) тогда и только тогда, когда система является управляемой по выходу.

Управляемость при входных ограничениях

В системах с ограниченными полномочиями управления часто уже невозможно переместить какое-либо начальное состояние в любое конечное состояние внутри управляемого подпространства. Это явление вызвано ограничениями на входе, которые могут быть присущи системе (например, из-за привода насыщения) или наложены на систему по другим причинам (например, из-за проблем, связанных с безопасностью). Управляемость систем с ограничениями на вход и состояние изучается в контексте достижимости. и теория жизнеспособности .

Управляемость в поведенческих рамках

В так называемом подходе теории поведенческих систем, предложенном Виллемсом (см. Люди в системах и управлении ), рассматриваемые модели не определяют напрямую структуру ввода-вывода. В этой структуре системы описываются допустимыми траекториями набора переменных, некоторые из которых можно интерпретировать как входные или выходные данные.

В этом случае система определяется как управляемая, если любая прошлая часть поведения (траектория внешних переменных) может быть объединена с любой будущей траекторией поведения таким образом, что объединение содержится в поведении, т.е. является частью допустимого поведения системы.

Стабилизируемость

Несколько более слабым понятием, чем управляемость, является понятие стабилизируемости . Система называется стабилизируемой , когда все неконтролируемые переменные состояния могут иметь стабильную динамику . Таким образом, даже несмотря на то, что некоторые переменные состояния не могут контролироваться (как это определено вышеприведенным тестом на управляемость), все переменные состояния все равно останутся ограниченными во время поведения системы.

Доступный набор

Пусть T ∈ Т и x ∈ X (где X — множество всех возможных состояний, а Т — интервал времени). Множество достижимости от x за время T определяется как:

$R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\}$, где x T → z означает, что существует переход состояния от x к z за время T.

Для автономных систем набор достижимости определяется следующим образом:

$\mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B)$,

где R – матрица управляемости.

С точки зрения множества достижимости система управляема тогда и только тогда, когда $\mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}$.

Доказательство Имеем следующие равенства:

$R=[B\ AB....A^{n-1}B]$

$\mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])$

$\mathrm {dim(Im} (R))=\mathrm {rank} (R)$

Учитывая, что система управляема, столбцы R должны быть линейно независимыми . Так:

$\mathrm {dim(Im} (R))=n$

$\mathrm {rank} (R)=n$

$\mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}\quad \blacksquare$

Связанным с набором достижимости набором является управляемый набор, определяемый следующим образом:

$C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}$.

Связь между достижимостью и управляемостью представлена ​​Зонтаг:

(а) n-мерная дискретная линейная система управляема тогда и только тогда, когда:

$R(0)=R^{k}{(0)=X}$ (Где X — набор всех возможных значений или состояний x, а k — временной шаг).

(б) Линейная система с непрерывным временем является управляемой тогда и только тогда, когда:

$R(0)=R^{e}{(0)=X}$ для всех е>0.

тогда и только тогда, когда $C(0)=C^{e}{(0)=X}$ для всех е>0.

Пример Пусть система представляет собой n-мерную дискретно-инвариантную систему по формуле:

Φ(n,0,0,w)= $\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1)$ (Где определяется Φ(конечное время, начальное время, переменная состояния, ограничения) — это матрица перехода переменной состояния x от начального момента 0 к конечному моменту n с некоторыми ограничениями w).

Отсюда следует, что будущее состояние находится в $R^{k}{(0)}$ ⇔ это на изображении линейной карты:

Im(R)=R(A,B)≜ Im( $[B\ AB....A^{n-1}B]$),

какие карты,

$u^{n}$→X

Когда $u=K^{m}$ и $X=K^{n}$ мы отождествляем R(A,B) с матрицей размером в нм, столбцы которой являются столбцами $B,\ AB,....,A^{n-1}B$ в таком порядке. Если система управляема, то ранг $[B\ AB....A^{n-1}B]$ это н. Если это правда, то образ линейной карты R целиком состоит из X. Исходя из этого, мы имеем:

$R(0)=R^{k}{(0)=X}$ с XЄ $\mathbb {R} ^{n}$.

См. также

• Наблюдаемость
• Лемма Хатуса

Внешние ссылки

• Функция MATLAB для проверки управляемости системы. Архивировано 10 февраля 2012 г. на Wayback Machine.
• Функция Mathematica для проверки управляемости системы