Куча (математика)

В абстрактной алгебре полукуча состоящая — это алгебраическая структура, из непустого множества H с тернарной операцией, обозначаемой $[x,y,z]\in H$ который удовлетворяет модифицированному свойству ассоциативности: $$\forall a,b,c,d,e\in H\quad [[a,b,c],d,e]=[a,[d,c,b],e]=[a,b,[c,d,e]].$$

Биунитарный элемент h полукучи удовлетворяет условию [ h , h , k ] = = [ k , h , h ] для каждого k в H. k

Куча — это полукуча , в которой каждый элемент биунитарен. Ее можно рассматривать как группу , элемент идентичности которой «забыт».

Термин «куча» происходит от слова «груда», что по-русски означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своей «Теории обобщенных групп » (1937), которая оказала влияние на Виктора Вагнера , пропагандиста полукучек, куч и обобщенных куч. Груда противопоставляется группе ( группе ), которая была принята в русский язык транслитерацией. кучу называют groud . Действительно, в английском тексте )

Примеры

Двухэлементная куча

Повернуть $H=\{a,b\}$ в циклическую группу $\mathrm {C} _{2}$, определив $a$ идентификационный элемент и $bb=a$. Затем он создает следующую кучу:

$[a,a,a]=a,\,[a,a,b]=b,\,[b,a,a]=b,\,[b,a,b]=a,$

$[a,b,a]=b,\,[a,b,b]=a,\,[b,b,a]=a,\,[b,b,b]=b.$

Определение $b$ как элемент идентичности и $aa=b$ отдал бы такую ​​же кучу.

Куча целых чисел

Если $x,y,z$ являются целыми числами, мы можем установить $[x,y,z]=x-y+z$ чтобы создать кучу. Затем мы можем выбрать любое целое число $k$ быть идентификатором новой группы на множестве целых чисел с помощью операции $*$

$x*y=x+y-k$

и обратный

$x^{-1}=2k-x$.

Куча группы

Предыдущие два примера можно обобщить на любую группу G, определив тернарное отношение как $[x,y,z]=xy^{-1}z,$ используя умножение и обратное G .

Куча группоида с двумя объектами

Куча группы может быть снова обобщена на случай группоида , который имеет два объекта A и B, если рассматривать его как категорию . Элементы кучи можно идентифицировать с морфизмами от A до B, так что три морфизма x , y , z определяют операцию с кучей согласно $[x,y,z]=xy^{-1}z.$

Это сводится к куче группы, если в качестве тождества выбран конкретный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.

Гетерогенные отношения

Пусть A и B — разные множества и ${\mathcal {B}}(A,B)$ совокупность разнородных отношений между ними. Для $p,q,r\in {\mathcal {B}}(A,B)$ определить тернарный оператор $[p,q,r]=pq^{T}r$ где q ^Т является отношением q . обратным Результат этой композиции также находится в ${\mathcal {B}}(A,B)$ таким образом, математическая структура была сформирована тройной операцией. Виктор Вагнер был мотивирован на создание этой кучи своим исследованием карт переходов в атласе , которые являются частичными функциями . Таким образом, куча — это больше, чем просто модификация группы: это общая концепция, включающая группу в качестве тривиального случая.

Теоремы

Теорема : Полукуча с биунитарным элементом e может рассматриваться как инволютивная полугруппа с операцией, заданной ab = [ a , e , b ] и инволюцией a. ^–1 знак равно [ е , а , е ].

Когда приведенная выше конструкция применяется к куче, результатом фактически является группа. Обратите внимание, что идентификатор e группы может быть выбран в качестве любого элемента кучи.

Теорема : Любая полукуча может быть вложена в инволютивную полугруппу .

Как и при изучении полугрупп , структура полукучек описывается в терминах идеалов , при этом «i-простая полукуча» не имеет собственных идеалов. Мустафаева перевела отношения Грина теории полугрупп на полукучи и определила класс ρ как те элементы, которые порождают один и тот же принцип двустороннего идеала. Затем он доказал, что ни одна i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов.

Он также описал классы регулярности полукучи S :

$D(m,n)=\{a\mid \exists x\in S:a=a^{n}xa^{m}\}$ где n и m имеют одинаковую четность , а троичная операция полукучи применяется слева от строки из S .

Он доказывает, что S может иметь не более пяти классов регулярности. Мустафаев называет идеал Б «изолированным», когда $a^{n}\in B\implies a\in B.$ Затем он доказывает, что когда S = D(2,2), каждый идеал изолирован, и наоборот.

Изучая полукучку Z( A, B ) гетерогенных отношений между множествами A и B , в 1974 г. К. А. Зарецкий, следуя примеру Мустафаева, описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукучи.

Обобщения и родственные концепции

• Псевдокуча псевдогруд или . удовлетворяет частичному параассоциативному условию

  $[[a,b,c],d,e]=[a,b,[c,d,e]].$

• Операция Мальцева удовлетворяет закону тождества, но не обязательно параассоциативному закону. то есть тернарная операция $f$ на съемочной площадке $X$ удовлетворение личности $f(x,x,y)=f(y,x,x)=y$.
• Полукуча полугрунт или . должны удовлетворять только параассоциативному закону, но не обязательно подчиняться закону тождества

  является M — матриц фиксированного кольцо Примером полугруппы, которая вообще не является группой , размера с $$[x,y,z]=x\cdot y^{\mathrm {T} }\cdot z$$ где • обозначает умножение матрицы , а T обозначает транспонирование матрицы .

• Идемпотентная полукуча – это полукуча, в которой $[a,a,a]=a$ для всех а .
• или Обобщенная куча обобщенная груда — это идемпотентная полукуча, в которой $$[a,a,[b,b,x]]=[b,b,[a,a,x]]$$ и $$[[x,a,a],b,b]=[[x,b,b],a,a]$$ для всех а и б .

Полугруд является обобщенным, если отношение → определяется формулой $$a\rightarrow b\Leftrightarrow [a,b,a]=a$$рефлексивна антисимметрична и (идемпотентность ) . В обобщенной группе → является отношением порядка .

См. также

• n - и ассоциативность

Ссылки

• Антон Сушкевич (1929) «Об обобщении ассоциативного закона», Труды Американского математического общества 31 (1): 204–14. два : 10.1090/S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476
• Шейн, Борис (1979). «Инверсные полугруппы и обобщенные группы». В А.Ф. Лаврике (ред.). Двенадцать статей по логике и алгебре . амер. Математика. Соц. Перевод Том. 113. Американское математическое общество . стр. 89–182. ISBN  0-8218-3063-5 .
• Вагнер, В.В. (1968). «К алгебраической теории координатных атласов, II». Труди Сем. Вектор. Тензор. Анальный. (на русском языке). 14 : 229–281. МР   0253970 .

Внешние ссылки

• Сорт Мальцев в n Lab