Личность Софи Жермен

Эта статья о полиномиальном тождестве, приписываемом Софи Жермен. О псевдониме, использованном Жерменом, см. Антуан-Огюст Ле Блан .

В математике личность Софи Жермен представляет собой полиномиальную факторизацию, названную в честь Софи Жермен, утверждающую, что $${\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}$$Помимо использования в элементарной алгебре , его также можно использовать в теории чисел для факторизации целых чисел специального вида. $x^{4}+4y^{4}$и оно часто лежит в основе задач на соревнованиях по математике .

История

Хотя это имя приписывают Софи Жермен, оно не фигурирует в ее работах. Вместо этого в ее работах можно найти родственное тождество. $${\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}$$Модифицируя это уравнение, умножив $y$ к ${\sqrt {2}}$ дает $$x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},$$разность двух квадратов , из которой следует тождество Жермена. Неточное приписывание этого тождества Жермену было сделано Леонардом Юджином Диксоном в его «Истории теории чисел» , где также утверждалось (столь же неточно), что его можно было найти в письме Леонарда Эйлера Кристиану Гольдбаху .

Тождество можно доказать, просто умножив два члена факторизации вместе и проверив, что их произведение равно правой части равенства. применении теоремы Также возможно доказательство без слов, основанное на многократном Пифагора .

Приложения к факторизации целых чисел

Одним из следствий тождества Жермена является то, что числа вида $$n^{4}+4^{n}$$не может быть главным для $n>1$. (Для $n=1$, результатом будет простое число 5.) Очевидно, они не являются простыми, если $n$ четно, и если $n$ странно, что у них есть факторизация, заданная тождеством с $x=n$ и $y=2^{(n-1)/2}$. Эти числа (начиная с $n=0$) образуют целочисленную последовательность

1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (последовательность A001589 в OEIS ).

Многие проявления личности Софи Жермен на математических соревнованиях происходят из этого следствия.

Еще один частный случай тождества с $x=1$ и $y=2^{k}$можно использовать для факторизации $${\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}$$где $\Phi _{4}(x)=x^{2}+1$ — четвертый круговой полином . Как и в случае с круговыми полиномами в более общем плане, $\Phi _{4}$ является неприводимым многочленом , поэтому эта факторизация бесконечного числа его значений не может быть расширена до факторизации $\Phi _{4}$ как многочлен, что делает его примером факторизации Аурифейля .

Обобщение

Тождество Жермена было обобщено на функциональное уравнение $$f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )},$$которому по тождеству Софи Жермен удовлетворяет функция квадрата .