Алгебра эффектов

Алгебры эффектов — это частичные алгебры , которые абстрагируют (частичные) алгебраические свойства событий, которые можно наблюдать в квантовой механике . Структуры, эквивалентные алгебрам эффектов, были введены тремя различными исследовательскими группами в области теоретической физики и математики в конце 1980-х - начале 1990-х годов. С тех пор их математические свойства, физическое и вычислительное значение изучаются исследователями в области теоретической физики , математики и информатики .

История

В 1989 году Джунтини и Грейлинг представили структуры для изучения нерезких свойств , то есть тех квантовых событий, вероятность возникновения которых находится строго между нулем и единицей (и, таким образом, не является событием «или-или»). В 1994 году Чованец и Копка представили D-частотные множества как частично-определенные множества с частично определенной разностной операцией . статья Беннета и Фулиса «Алгебры эффектов и неточная квантовая логика» . В том же году была опубликована Хотя именно в этой последней статье впервые был использован термин «алгебра эффектов» , было показано, что все три структуры эквивалентны. Доказательство изоморфизма категорий D-частотных множеств и алгебр эффектов дано, например, Двуреченским и Пульманновой.

Мотивация

Операционный подход к квантовой механике принимает набор наблюдаемых (экспериментальных) результатов в качестве конститутивного понятия физической системы. То есть физическая система рассматривается как совокупность событий, которые могут произойти и, таким образом, оказать измеримое влияние на реальность. Такие события называются эффектами . Эта перспектива уже накладывает некоторые ограничения на математическую структуру, описывающую систему: нам нужно иметь возможность связать вероятность с каждым эффектом.

В формализме гильбертова пространства эффекты соответствуют положительным полуопределенным самосопряженным операторам, которые лежат ниже тождественного оператора в следующем частичном порядке: $A\leq B$ тогда и только тогда, когда $B-A$ является положительно полуопределенным. Условие положительной полуопределенности гарантирует, что значения ожидания неотрицательны, а нахождение ниже тождественного оператора дает вероятности. Теперь мы можем определить две операции над эффектами гильбертова пространства: $A':=I-A$ и $A+B$ если $A+B\leq I$, где $I$ обозначает тождественный оператор. Обратите внимание, что $A'$ положительно полуопределена и ниже $I$ с $A$ есть, поэтому оно всегда определяется. Можно подумать о $A'$ как отрицание $A$. Пока $A+B$ всегда положительно полуопределен, он не определен для всех пар: нам приходится ограничивать область определения для тех пар эффектов, сумма которых остается ниже единицы. Такие пары называются ортогональными ; ортогональность отражает одновременную измеримость наблюдаемых величин.

Определение

Алгебра эффектов — это частичная алгебра, состоящая из множества $E$, константы $0$ и $1$ в $E$, полная унарная операция $':E\rightarrow E$, бинарное отношение $\bot \subseteq E\times E$и бинарная операция $\oplus :\bot \rightarrow E$, такие, что для всех справедливы $a,b,c\in E$:

• коммутативность : если $a\perp b$, затем $b\perp a$ и $a\oplus b=b\oplus a$,
• ассоциативность : если $a\perp b$ и $(a\oplus b)\perp c$, затем $b\perp c$ и $a\perp (b\oplus c)$ а также $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c),$
• ортодополнение : $a\perp a'$ и $a\oplus a'=1$, и если $a\perp b$ такой, что $a\oplus b=1$, затем $b=a'$,
• закон нуля-единицы : если $a\perp 1$, затем $a=0$.

Унарная операция $'$ называется ортосуплементацией и $a'$ ортодобавка ​ ​ $a$. Область определения $\bot$ из $\oplus$ называется отношением ортогональности на $E$, и $a,b\in E$ называются ортогональными тогда и только тогда, когда $a\perp b$. Операция $\oplus$ называется ортогональной суммой или просто суммой .

Свойства

Следующее может быть показано для любых элементов $a,b$ и $c$ алгебры эффектов, предполагая $a\perp b,c$:

• $a''=a$,
• $0'=1$,
• $a\perp 0$, и $a\oplus 0=a$,
• $a\oplus b=0$ подразумевает $a=b=0$,
• $a\oplus b=a\oplus c$ подразумевает $b=c$.

Свойства заказа

Каждая алгебра эффектов $E$ следующим частично упорядочен образом: $a\leq b$ тогда и только тогда, когда существует $c\in E$ такой, что $a\perp c$ и $a\oplus c=b$. Этот частичный порядок удовлетворяет:

• $a\leq b$ тогда и только тогда, когда $b'\leq a'$,
• $a\perp b$ тогда и только тогда, когда $a\leq b'$.

Примеры

Ортоалгебры

Если последнюю аксиому в определении алгебры эффектов заменить на:

• если $a\perp a$, затем $a=0$,

получаем определение ортоалгебры . Поскольку из этой аксиомы следует последняя аксиома для алгебр эффектов (при наличии других аксиом), каждая ортоалгебра является алгеброй эффектов. Примеры ортоалгебр (и, следовательно, алгебр эффектов) включают:

• Булевы алгебры с отрицанием в качестве ортодополнения и соединением, ограниченным непересекающимися элементами в качестве суммы,
• ортомодулярные упорядоченные множества ,
• ортомодулярные решетки ,
• σ -алгебры с дополнением как ортодополнением и объединением, ограниченным непересекающимися элементами как сумма,
• гильбертового пространства Проекции с ортодополнением и суммой, определенной как для эффектов гильбертового пространства.

MV-алгебры

Любая MV-алгебра является алгеброй эффектов (но, вообще говоря, не ортоалгеброй) с унарной операцией в качестве ортодополнения и бинарной операцией, ограниченной ортогональными элементами в качестве суммы. В контексте MV-алгебр ортогональность пары элементов $a,b$ определяется как $a'\oplus b'=1$. Это совпадает с ортогональностью, когда MV-алгебра рассматривается как алгебра эффектов.

Важным примером MV-алгебры является единичный интервал $[0,1]$ с операциями $a'=1-a$ и $a\oplus b=\max(a+b,1)$. С точки зрения алгебры эффектов два элемента единичного интервала ортогональны тогда и только тогда, когда $a+b\leq 1$ а потом $a\oplus b=a+b$.

Набор эффектов унитальной C*-алгебры

Слегка обобщая мотивирующий пример эффектов гильбертова пространства, возьмем набор эффектов на единичной C*-алгебре. ${\mathfrak {A}}$, то есть элементы $a\in {\mathfrak {A}}$ удовлетворяющий $0\leq a\leq 1$. Операция сложения на $a,b\in [0,1]_{\mathfrak {A}}$ определяется, когда $a+b\leq 1$ а потом $a\oplus b=a+b$. Ортосуплементация осуществляется $a'=1-a$.

Типы алгебр эффектов

Были изучены различные типы алгебр эффектов.

• Алгебры интервальных эффектов , возникающие как интервал $[0,u]_{G}$ некоторой упорядоченной абелевой группы $G$.
• Алгебры выпуклых эффектов имеют действие действительного единичного интервала. $[0,1]$ по алгебре. Теорема о представлении Гаддера показывает, что все они возникают как алгебра интервальных эффектов вещественного упорядоченного векторного пространства.
• Алгебры с эффектом решетки, в которых структура порядка образует решетку.
• Алгебры эффектов, удовлетворяющие свойству разложения Рисса : MV -алгебра - это в точности алгебра с эффектом решетки со свойством разложения Рисса.
• Алгебры последовательных эффектов имеют дополнительную операцию последовательного произведения , которая моделирует произведение Людерса на C*-алгебре .
• Моноиды эффектов — это моноиды из категории алгебр эффектов. Это алгебры эффектов, которые имеют дополнительную ассоциативную единичную операцию дистрибутивного умножения.

Морфизмы

Морфизм эффектов из алгебры $E$ к алгебре эффектов $F$ задается функцией $f:E\rightarrow F$ такой, что $f(1)=1$ и для всех $a,b\in E$

$a\perp b$ подразумевает $f(a)\perp f(b)$ и $f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b)$.

Отсюда следует, что морфизмы сохраняют ортодополнения.

Алгебры эффектов, оснащенные такими морфизмами, образуют категорию , которая обладает следующими свойствами:

• категория булевых алгебр является полной подкатегорией категории алгебр эффектов,
• каждая алгебра эффектов является копределом конечных булевых алгебр.

операторные

В качестве примера того, как алгебры эффектов используются для выражения концепций в квантовой теории, определение положительной операторнозначной меры может быть выражено в терминах морфизмов алгебры эффектов следующим образом. Позволять ${\mathcal {E}}(H)$ — алгебра эффектов гильбертова пространства $H$, и пусть $\Sigma$ быть σ -алгеброй. Положительная операторно-значная мера (POVM) - это морфизм алгебры эффектов. $\Sigma \rightarrow {\mathcal {E}}(H)$ сохраняющий объединения счетных цепей. POVM является проекционнозначной мерой именно тогда, когда ее образ содержится в ортоалгебре проекций в гильбертовом пространстве. $H$.

Внешние ссылки

• Алгебра эффектов в n Lab