Логика классов

Логика классов — это логика в широком смысле, объекты которой называются классами. В более узком смысле о логике классов говорят только в том случае, если классы описываются свойствами их элементов. Таким образом, эта логика классов является обобщением теории множеств , которая допускает лишь ограниченное рассмотрение классов.

Логика классов в строгом смысле

Логика первого класса в строгом смысле этого слова была создана Джузеппе Пеано в 1889 году как основа его арифметики ( Аксиомы Пеано ). Он ввел термин «класс», который формально правильно описывает классы через свойства их элементов. Сегодня термин класса обозначается в форме {x|A(x)}, где A(x) — произвольное утверждение, которому соответствуют все члены класса x. Пеано впервые аксиоматизировал термин «класс» и использовал его в полной мере. Готтлоб Фреге также пытался установить арифметическую логику с помощью классовых терминов в 1893 году; Бертран Рассел обнаружил в нем в 1902 году конфликт, который стал известен как парадокс Рассела . В результате стало общеизвестным, что безопасно использовать классовые термины нельзя.

Чтобы решить эту проблему, Рассел разработал свою теорию типов с 1903 по 1908 год, которая допускала лишь ограниченное использование классовых терминов. Среди математиков теория типов Рассела была заменена альтернативной аксиоматизацией теории множеств, инициированной Эрнстом Цермело. . Эта аксиоматизация не является классовой логикой в ​​более узком смысле, поскольку в своей нынешней форме (Цермело-Френкеля или NBG) она не аксиоматизирует термин класса, а использует его только на практике в качестве полезной нотации. Уиллард Ван Орман Куайн описал теорию множеств «Новые основания » (NF) в 1937 году, основанную на теории типов, которая была задумана как альтернатива теории Цермело-Френкеля. В 1940 году Куайн усовершенствовал НФ до математической логики (ML). Поскольку антиномия Бурали -Форти была выведена в первой версии МЛ, Куайн уточнил ML, сохранив широкое использование классов, и принял предложение Хао Ванга. введя в 1963 году в свою теорию {x|A(x)} как виртуальный класс, так что классы, хотя и не являются еще полноценными терминами, но являются подтерминами в определенных контекстах.

После Куайна Арнольд Обершелп разработал первую полнофункциональную современную аксиоматическую логику классов, начиная с 1974 года. Она представляет собой последовательное расширение логики предикатов и позволяет неограниченное использование классовых терминов (таких как Пеано). он использует все классы, которые создают антиномии наивной теории множеств В качестве термина . Это возможно, поскольку теория не предполагает никаких аксиом существования классов. В частности, он предполагает любое количество аксиом, но также может использовать их и синтаксически правильно сформулировать в традиционно простой конструкции с терминами классов. Например, теория множеств Обершельпа развила теорию множеств Цермело–Френкеля в рамках логики классов. Три принципа гарантируют, что громоздкие формулы ZF можно перевести в формулы удобных классов; гарантируют логическое увеличение классов в языке ZF, образуя безколичественные аксиомы вместе с аксиомами логики предикатов, систему аксиом для простой логики общего класса.

Принцип абстракции ( Abstraktionsprinzip ) гласит, что классы описывают свои элементы через логическое свойство:

$\forall y\colon (y\in \{x\mid A(x)\}\iff A(y))$

Принцип экстенсиональности ( Extensionalitätsprinzip ) описывает равенство классов путем сопоставления их элементов и устраняет аксиому экстенсиональности в ZF:

$A=B\iff \forall x\colon (x\in A\iff x\in B)$

Принцип понимания ( Komprehensionsprinzip ) определяет существование класса как элемента:

$\{x\mid A(x)\}\in B\iff \exists y\colon (y=\{x\mid A(x)\}\land y\in B)$

Библиография

• Джузеппе Пеано : Начала арифметики. Новый метод экспозиции. Корсо, Турин, 1889 г. (Auch in: Джузеппе Пеано: Избранные произведения. Группа 2. Cremonese, Rom 1958, S. 20–55).
• Г. Фреге : Основные законы арифметики. Выведено концептуально. Том 1. Поле, Йена, 1893 г.
• Уиллард Ван Орман Куайн : Новые основы математической логики , в: American Mathematical Monthly 44 (1937), S. 70-80.
• Уиллард Ван Орман Куайн: Теория множеств и ее логика, исправленное издание. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1969 г. ISBN   0-674-80207-1 .
• Арнольд Обершельп: Элементарная логика и теория множеств (= университетские книги в мягкой обложке BI, 407–408). 2 тома. Библиографический институт, Мангейм и др., 1974–1978 гг. ISBN   3-411-00407-X (Корп. 1), ISBN   3-411-00408-8 (корп. 2).
• Альберт Менне, очерк формальной логики (= университетские книги в мягкой обложке, 59 ето по науке ). Шенинг, Падерборн, 1983 г., ISBN   3-506-99153-1 (переименован в Grundriß der Logistik , начиная с 5-го издания. В книге, среди других исчислений , показано возможное применение исчисления к логике классов, основанное на исчислении высказываний и исчислении предикатов и содержащее основные термины формальных систем. к логике классов. Здесь также кратко обсуждаются парадоксы и теория типов).
• Юрген-Михаэль Глубрехт, Арнольд Обершельп, Гюнтер Тодт: Логика классов. Библиографический институт, Мангейм и др., 1983 г. ISBN   3-411-01634-5 .
• Арнольд Обершельп: Общая теория множеств. BI-Wissenschaft-Verlag, Мангейм и др., 1994 г., ISBN   3-411-17271-1 .