Усреднение сигнала

Усреднение сигнала — это метод обработки сигнала , применяемый во временной области и предназначенный для увеличения мощности сигнала по сравнению с шумом , который его затеняет. Усредняя набор повторных измерений, отношение сигнал/шум (SNR) будет увеличено, в идеале пропорционально квадратному корню из количества измерений.

Получение SNR для усредненных сигналов

Предполагал, что

• Сигнал $s(t)$ не коррелирует с шумом, а шум $z(t)$ некоррелирован: $E[z(t)z(t-\tau )]=0=E[z(t)s(t-\tau )]\forall t,\tau$.
• Мощность сигнала $P_{signal}=E[s^{2}]$ является постоянным при повторных измерениях.
• Шум является случайным, со средним значением , равным нулю, и постоянной дисперсией в повторных измерениях: $E[z]=0=\mu$ и $0<E[\left(z-\mu \right)^{2}]=E[z^{2}]=P_{noise}=\sigma ^{2}$.
• Мы (канонически) определяем соотношение сигнал/шум как $SNR={\frac {P_{signal}}{P_{noise}}}={\frac {E[s^{2}]}{\sigma ^{2}}}$.

Мощность шума для дискретизированных сигналов

Предполагая, что мы отбираем шум, мы получаем дисперсию для каждой выборки

$\mathrm {Var} (z)=E[z^{2}]=\sigma ^{2}$.

Усреднение случайной величины приводит к следующей дисперсии:

$\mathrm {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\mathrm {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {Var} \left(z_{i}\right)$.

Поскольку дисперсия шума постоянна $\sigma ^{2}$:

$\mathrm {Var} (N_{\text{avg}})=\mathrm {Var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}z_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2}$,

демонстрируя, что усреднение $n$ реализация одного и того же некоррелированного шума снижает мощность шума в раз. $n$и снижает уровень шума в несколько раз. ${\sqrt {n}}$.

Мощность сигнала для дискретизированных сигналов

Учитывая $n$ векторы $V_{i},\,i\in \{1,\ldots ,n\}$ выборок сигнала длиной $T$:

$V_{i}=\left[s_{i,1},\ldots ,s_{i,T}\right],\quad s_{i,k}\in \mathbb {K} ^{T}$,

сила $P_{i}$ такого вектора просто

$P_{i}=\sum _{k=1}^{T}{s_{i,k}^{2}}=\left|V_{i}\right|^{2}$.

Опять же, усредняя $n$ векторы $V_{i},\,i=1,\ldots ,n$, дает следующий усредненный вектор

$V_{\text{avg}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{T}\sum _{i=1}^{n}s_{i,k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{T}s_{i,k}$.

В случае, когда $V_{n}\equiv V_{m}\forall m,n\in \{1,\ldots ,n\}$, мы видим это $V_{\text{avg}}$ достигает максимума

$V_{\text{avg, identical signals}}=P_{i}$.

При этом отношение сигнал/шум также достигает максимума,

${\text{SNR}}_{\text{avg, identical signals}}={\frac {V_{\text{avg, identical signals}}}{N_{\text{avg}}}}=n{\text{SNR}}$.

Это случай передискретизации , когда наблюдаемый сигнал коррелирует (поскольку передискретизация подразумевает, что наблюдения сигнала сильно коррелируют).

Сигналы с синхронизацией по времени

Усреднение применяется для улучшения синхронизированной по времени составляющей сигнала в зашумленных измерениях; синхронизация по времени подразумевает, что сигнал является периодическим для наблюдения, поэтому мы оказываемся в максимальном случае, описанном выше.

Усреднение нечетных и четных испытаний

Конкретный способ получения реплик состоит в усреднении всех нечетных и четных испытаний в отдельных буферах. Это имеет то преимущество, что позволяет сравнивать четные и нечетные результаты чередующихся испытаний. Среднее значение нечетных и четных средних дает полный усредненный результат, а разница между нечетными и четными средними, разделенная на два, представляет собой оценку шума.

Алгоритмическая реализация

Ниже приведена симуляция процесса усреднения в MATLAB:

N=1000;   % signal length
even=zeros(N,1);  % even buffer
odd=even;         % odd buffer
actual_noise=even;% keep track of noise level
x=sin(linspace(0,4*pi,N))'; % tracked signal
for ii=1:256 % number of replicates
    n = randn(N,1); % random noise
    actual_noise = actual_noise+n;
    
    if (mod(ii,2))
        even = even+n+x;
    else
        odd=odd+n+x;
    end
end

even_avg = even/(ii/2); % even buffer average 
odd_avg = odd/(ii/2);   % odd buffer average
act_avg = actual_noise/ii; % actual noise level

db(rms(act_avg))
db(rms((even_avg-odd_avg)/2))
plot((odd_avg+even_avg)); 
hold on; 
plot((even_avg-odd_avg)/2)

Вышеописанный процесс усреднения в целом приводит к оценке сигнала. По сравнению с необработанной трассой усредненный компонент шума уменьшается с каждым усредненным испытанием. При усреднении реальных сигналов основной компонент не всегда может быть столь четким, что приводит к повторяющимся средним значениям при поиске согласованных компонентов в двух или трех повторах. Маловероятно, что два или более последовательных результата будут получены случайно.

Коррелированный шум

Усреднение сигнала обычно в значительной степени основано на предположении, что шумовая составляющая сигнала является случайной, имеет нулевое среднее значение и не связана с сигналом. Однако бывают случаи, когда шум не является некоррелированным. Типичным примером коррелированного шума является шум квантования (например, шум, создаваемый при преобразовании аналогового сигнала в цифровой).