Умножение метода сетки

Метод сетки (также известный как метод коробки ) умножения — это вводный подход к вычислениям многозначного умножения, в которых используются числа больше десяти. Поскольку его часто преподают в математическом образовании на уровне начальной или начальной школы , этот алгоритм иногда называют методом начальной школы. ^[1]

По сравнению с традиционным длинным умножением , метод сетки отличается четким разбиением умножения и сложения на два этапа и меньшей зависимостью от разряда.

Хотя умножение по сетке менее эффективно, чем традиционный метод, оно считается более надежным , поскольку дети с меньшей вероятностью совершают ошибки. Большинство учеников продолжат изучать традиционный метод, как только освоят метод сетки; но знание метода сетки остается полезным «запасным вариантом» на случай путаницы. Также утверждается, что, поскольку в наши дни любой, кто много умножает, будет использовать карманный калькулятор, эффективность сама по себе менее важна; в равной степени, поскольку это означает, что большинство детей будут реже пользоваться алгоритмом умножения, им полезно ознакомиться с более явным (и, следовательно, более запоминающимся) методом.

Использование метода сетки стало стандартом в математическом образовании в начальных школах Англии и Уэльса с момента введения Национальной стратегии по математике с ее «часом счета» в 1990-х годах. Его также можно найти в различных учебных программах в других местах. По сути, тот же подход к расчетам, но без явного расположения сетки, также известен как алгоритм частичных произведений или метод частичных произведений .

Расчеты

Вводная мотивация

Метод сетки можно использовать, подумав о том, как сложить количество точек в регулярном массиве, например, количество квадратов шоколада в плитке шоколада. По мере того, как размер вычислений становится больше, становится легче начать считать десятками; и представить расчет в виде прямоугольника, который можно разделить, а не рисовать множество точек. ^[2]^[3]

На самом простом уровне учащихся можно попросить применить этот метод к вычислению, например, 3 × 17. Разбив («разделив») 17 на (10 + 7), это незнакомое умножение можно представить как сумму двух простых умножения:

×	10	7
3	30	21

итак 3×17 = 30 + 21 = 51.

Это структура «сетка» или «ящики», которая дала название методу умножения.

Столкнувшись с немного большим умножением, например 34 × 13, ученикам можно сначала предложить также разбить его на десятки. Итак, разложив 34 как 10 + 10 + 10 + 4 и 13 как 10 + 3, можно представить произведение 34 × 13:

×	10	10	10	4
10	100	100	100	40
3	30	30	30	12

Суммируя содержимое каждой строки, становится очевидным, что окончательный результат расчета равен (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.

Стандартные блоки

Как только учащиеся освоятся с идеей разделения всего произведения на вклады из отдельных ячеек, естественным шагом станет группировка десятков вместе, так что вычисление 34 × 13 становится

×	30	4
10	300	40
3	90	12

давая дополнение

поэтому 34 × 13 = 442.

Это наиболее распространенная форма расчета сетки. В таких странах, как Великобритания, где преподавание метода сетки является обычным, ученики могут тратить значительный период времени, регулярно проводя расчеты, подобные приведенным выше, пока метод не станет полностью удобным и знакомым.

Большие числа

Метод сетки напрямую распространяется на вычисления, включающие большие числа.

Например, чтобы вычислить 345 × 28, ученик мог построить сетку с помощью шести простых умножений.

×	300	40	5
20	6000	800	100
8	2400	320	40

чтобы найти ответ 6900+2760=9660.

Однако на этом этапе (по крайней мере, в стандартной современной педагогической практике Великобритании) ученикам может начать предлагаться производить такие вычисления, используя традиционную форму длинного умножения, без необходимости составлять сетку.

Традиционное длинное умножение можно связать с умножением по сетке, в котором только одно из чисел разбивается на десятки и части единиц, которые умножаются отдельно:

×	345
20	6900
8	2760

Традиционный метод в конечном итоге быстрее и гораздо компактнее; но для этого требуются два значительно более сложных умножения, с которыми учащиеся поначалу могут столкнуться с трудностями. ^{[ нужна ссылка ]}. По сравнению с методом сетки традиционное длинное умножение может быть более абстрактным. ^{[ нужна ссылка ]}и менее явно ясно ^{[ нужна ссылка ]}, поэтому некоторым ученикам труднее запомнить, что нужно делать на каждом этапе и почему. ^{[ нужна ссылка ]}. Поэтому ученикам можно на протяжении определенного периода времени предлагать использовать более простой метод сетки наряду с более эффективным традиционным методом длинного умножения в качестве проверки и запасного варианта.

Другие приложения

Фракции

Хотя метод сетки обычно не преподается как стандартный метод умножения дробей , его можно легко применить в простых случаях, когда легче найти продукт, разбив его на части.

Например, расчет 2 ⁠ 1 / 2 ⁠ × 1 ⁠ 1/2 ⁠ методом можно изложить сеточным

×	2	⁠ 1 / 2 ⁠
1	2	⁠ 1 / 2 ⁠
⁠ 1 / 2 ⁠	1	⁠ 1 / 4 ⁠

найти, что полученное произведение равно 2 + ⁠ 1 / 2 ⁠ + 1 + ⁠ 1 / 4 ⁠ = 3 ⁠ 3 / 4 ⁠

Алгебра

Метод сетки также можно использовать для иллюстрации умножения произведения биномов , например ( a + 3)( b + 2), стандартной темы начальной алгебры (хотя ее обычно не встречали до средней школы ):

×	а	3
б	аб	3 б
2	22а	6

Таким образом ( а + 3)( b + 2) = ab + 3 b + 2 a + 6.

Вычисление

В 32-битных процессорах обычно отсутствует инструкция для умножения двух 64-битных целых чисел. Однако большинство процессоров поддерживают инструкцию «умножить с переполнением», которая принимает два 32-битных операнда, умножает их и помещает 32-битный результат в один регистр, а результат переполнения — в другой, что приводит к переносу. Например, к ним относятся umull инструкция, добавленная в набор инструкций ARMv4t или pmuludq инструкция, добавленная в SSE2 , которая работает с младшими 32 битами регистра SIMD , содержащего две 64-битные полосы.

На платформах, поддерживающих эти инструкции, используется слегка модифицированная версия метода сетки. Отличия заключаются в следующем:

Вместо того, чтобы работать с числами, кратными 10, они работают с 32-битными целыми числами.
Вместо того, чтобы старшие биты умножались на десять, они умножаются на 0x100000000. Обычно это делается либо сдвигом влево на 32, либо помещением значения в определенный регистр, который представляет старшие 32 бита.
Любые значения, лежащие выше 64-го бита, обрезаются. Это означает, что умножать старшие биты не требуется, поскольку результат будет смещен за пределы 64-битного диапазона. Это также означает, что для более высоких кратных требуется только 32-битное умножение.

×	б	а
д	-	объявление
с	до нашей эры	и

Это будет процедура в C:

#include <stdint.h>

uint64_t multiply(uint64_t ab, uint64_t cd)
{
    /* These shifts and masks are usually implicit, as 64-bit integers
     * are often passed as 2 32-bit registers. */
    uint32_t b = ab >> 32, a = ab & 0xFFFFFFFF;
    uint32_t d = cd >> 32, c = cd & 0xFFFFFFFF;

    /* multiply with overflow */
    uint64_t ac = (uint64_t)a * (uint64_t)c;
    uint32_t high = ac >> 32; /* overflow */
    uint32_t low = ac & 0xFFFFFFFF;

    /* 32-bit multiply and add to high bits */
    high += (a * d); /* add ad */
    high += (b * c); /* add bc */
    /* multiply by 0x100000000 (via left shift) and add to the low bits with a binary or. */
    return ((uint64_t)high << 32) | low;
}

Это будет процедура сборки ARM:

multiply:
        @ a = r0
        @ b = r1
        @ c = r2
        @ d = r3
        push    {r4, lr}        @ backup r4 and lr to the stack
        umull   r12, lr, r2, r0 @ multiply r2 and r0, store the result in r12 and the overflow in lr
        mla     r4, r2, r1, lr  @ multiply r2 and r1, add lr, and store in r4
        mla     r1, r3, r0, r4  @ multiply r3 and r0, add r4, and store in r1
                                @ The value is shifted left implicitly because the
                                @ high bits of a 64-bit integer are returned in r1.
        mov     r0, r12         @ Set the low bits of the return value to r12 (ac)
        pop     {r4, lr}        @ restore r4 and lr from the stack
        bx      lr              @ return the low and high bits in r0 and r1 respectively

Математика

Математически способность разбивать умножение таким способом известна как распределительный закон , который можно выразить в алгебре как свойство, что a ( b + c ) = ab + ac . Метод сетки использует свойство распределения дважды для расширения продукта: один раз для горизонтального фактора и один раз для вертикального фактора.

Исторически расчет сетки (немного измененный) был основой метода, называемого решеточным умножением , который был стандартным методом многозначного умножения, разработанным в средневековой арабской и индуистской математике. Решетчатое умножение было введено в Европу Фибоначчи в начале тринадцатого века вместе с самими арабскими цифрами; хотя, как и в случае с цифрами, предложенные им способы вычислений поначалу не прижились. Кости Непера были вспомогательным средством для расчетов, введенным шотландцем Джоном Непером в 1617 году для облегчения расчетов методом решетки.

См. также

Ссылки

Роб Истауэй и Майк Аскью, «Математика для мам и пап» , Square Peg, 2010. ISBN 978-0-224-08635-6 . стр. 140–153.

Внешние ссылки

Длинное умножение — Метод Box , Математика онлайн .
Длинное умножение и деление , BBC GCSE Bitesize

[1] ttps://tspiteri.gitlab.io/gmp-mpfr-sys/gmp/Algorithms.html#Multiplication-Algorithms ^{[ мертвая ссылка ]}

[2] Длинное умножение — метод Box

[3] Длинное умножение и деление

[1]

[2]

[3]