Таблица умножения
В математике таблица умножения (иногда, менее формально, таблица умножения ) — это математическая таблица, используемая для определения умножения операции для алгебраической системы.
Десятичная . таблица умножения традиционно преподавалась как неотъемлемая часть элементарной арифметики во всем мире, поскольку она закладывает основу для арифметических операций с числами с основанием десять Многие педагоги считают, что необходимо запоминать таблицу до 9×9. [1]
История
[ редактировать ]Досовременные времена
[ редактировать ]
Древнейшие известные таблицы умножения использовались вавилонянами около 4000 лет назад. [2] Однако они использовали базу 60. [2] Самые старые известные таблицы с основанием 10 - это китайская таблица десятичного умножения на бамбуковых полосках, Китая датируемая примерно 305 годом до нашей эры, в период Воюющих царств . [2]
Таблицу умножения иногда приписывают древнегреческому математику Пифагору (570–495 до н.э.). Ее также называют Таблицей Пифагора на многих языках (например, французском, итальянском и русском), иногда на английском. [4] Греко -римский математик Никомах (60–120 гг. н. э.), последователь неопифагорейства , включил таблицу умножения в свое «Введение в арифметику» , тогда как самая старая из сохранившихся греческих таблиц умножения находится на восковой табличке, датированной I веком нашей эры и в настоящее время размещенной в Британский музей . [5]
В 493 году нашей эры Викторий Аквитанский написал таблицу умножения из 98 столбцов, которая давала ( римскими цифрами ) произведение каждого числа от 2 до 50 раз, а строки представляли собой «список чисел, начинающихся с тысячи, убывающих на сотни до единицы». сто, затем по убыванию десятков до десяти, затем по единицам до одного, а затем дроби до 1/144». [6]
Новое время
[ редактировать ]В своей книге «Философия арифметики» 1820 года [7] математик Джон Лесли опубликовал таблицу умножения размером до 1000×1000, которая позволяет умножать числа попарно за раз. Лесли также рекомендовала юным ученикам запоминать таблицу умножения до 50×50.
На иллюстрации ниже показана таблица размером до 12 × 12 — размер, который в настоящее время обычно используется в англоязычных школах.
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 |
| 10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 |
| 11 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 |
| 12 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 |
Поскольку умножение целых чисел коммутативно , во многих школах используется таблица меньшего размера, как показано ниже. Некоторые школы даже удаляют первый столбец, поскольку 1 — это мультипликативное тождество . [ нужна ссылка ]
| 1 | 1 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 4 | |||||||
| 3 | 3 | 6 | 9 | ||||||
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | |||||
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | ||||
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | |||
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | ||
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Традиционное заучивание умножения основывалось на запоминании столбцов таблицы, расположенных следующим образом.
0 × 0 = 0 | 0 × 1 = 0 | 0 × 2 = 0 | 0 × 3 = 0 | 0 × 4 = 0 |
0 × 5 = 0 | 0 × 6 = 0 | 0 × 7 = 0 | 0 × 8 = 0 | 0 × 9 = 0 |
0 × 10 = 0 | 0 × 11 = 0 | 0 × 12 = 0 |
Такая форма записи таблицы умножения столбиками с полными числовыми предложениями до сих пор используется в некоторых странах, например, в Боснии и Герцеговине, [ нужна ссылка ] вместо современных сеток выше.
Схемы в таблицах
[ редактировать ]В таблице умножения есть закономерность, которая поможет людям легче запомнить таблицу. Он использует приведенные ниже цифры:
| → | → | |||||||||
| ↑ | 1 | 2 | 3 | ↓ | ↑ | 2 | 4 | ↓ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 5 | 6 | ||||||||
| 7 | 8 | 9 | 6 | 8 | ||||||
| ← | ← | |||||||||
| 0 | 5 | 0 | ||||||||
| Рисунок 1: Нечетное | Рисунок 2: Четный | |||||||||
Рисунок 1 используется для чисел, кратных 1, 3, 7 и 9. Рисунок 2 используется для чисел, кратных 2, 4, 6 и 8. Эти шаблоны можно использовать для запоминания кратных любого числа от 0 до 10. кроме 5. Как и в случае с числом, которое вы умножаете, при умножении на 0 вы остаетесь на 0 (0 является внешним, поэтому стрелки не влияют на 0, в противном случае 0 используется как ссылка для создания вечного цикла ). Шаблон также работает с числами, кратными 10: начиная с 1 и просто добавляя 0, получая 10, затем просто применяйте каждое число в шаблоне к единице «десятки», как вы обычно делаете, как обычно, к единице «единицы».
Например, чтобы вспомнить все числа, кратные 7:
- Посмотрите на цифру 7 на первой картинке и следуйте за стрелкой.
- Следующее число по направлению стрелки — 4. Итак, подумайте о следующем числе после 7, которое заканчивается на 4, то есть 14.
- Следующее число в направлении стрелки — 1. Итак, подумайте о следующем числе после 14, которое заканчивается на 1, то есть 21.
- Достигнув вершины этой колонны, начните с нижней части следующей колонны и двигайтесь в том же направлении. Это число — 8. Итак, подумайте о следующем числе после 21, которое заканчивается на 8, то есть 28.
- Продолжайте таким же образом до последней цифры 3, соответствующей 63.
- Затем используйте 0 внизу. Это соответствует 70.
- Затем снова начните с цифры 7. На этот раз она будет соответствовать цифре 77.
- Продолжайте в том же духе.
В абстрактной алгебре
[ редактировать ]Таблицы также могут определять бинарные операции над группами , полями , кольцами и другими алгебраическими системами . В таких контекстах их называют таблицами Кэли .
Для каждого натурального числа n сложение и умножение в Zn n , кольцо целых чисел по модулю , описывается таблицей n на n . (См. Модульная арифметика .) Например, таблицы для Z 5 такие:
|
|
Другие примеры см. в группах и октонионах .
Китайская и японская таблицы умножения
[ редактировать ]Моккан, обнаруженный во дворце Хэйдзё, позволяет предположить, что таблица умножения могла быть представлена в Японии через китайские математические трактаты, такие как Суньцзы Суаньцзин , поскольку их выражение таблицы умножения разделяет иероглиф 如 в произведениях меньше десяти. [8] В китайском и японском языках используется схожая система из восьмидесяти одного короткого, легко запоминающегося предложения, которому обучают учащихся, чтобы помочь им выучить таблицу умножения до 9 × 9. В настоящее время предложения, выражающие произведения меньше десяти, включают в себя дополнительную частицу в обоих случаях. языки. В современном китайском языке это 得 ( дэ ); а по-японски это が ( га ). Это полезно для тех, кто практикует вычисления с помощью суанпана или соробана , поскольку предложения напоминают им о необходимости сдвинуть один столбец вправо при вводе произведения, которое не начинается с цифры десятков . В частности, в японской таблице умножения в некоторых конкретных случаях используется нестандартное произношение чисел (например, замена сан-року на сабуроку ).
| × | 1 это | 2 это | 3 сан | 4 его | 5 идти | 6- й курс | 7 шичи | 8 га | от 9 до |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 в | Инъичи га ичи | вот я | человек знает | инши га ши | Инго нет | инроку га року | иншичи га шичи | Инхачи га хачи | вот, пожалуйста |
| 2 это | ни ичи га ни | я видел его | ни сан га року | ни ши га хачи | это слишком много | ни року джуни | ни шичи дзюши | ни хати дзюроку | умереть дзухати |
| 3 сан | Сан Ичи Га Сан | Сан-ни-га-року | я увижу тебя | Сан Ши Джуни | Сан го юго | Сабуроку Дзухати | Сан Сити Нидзюичи | Санпа Нидзюси | Сан ку Нидзюшичи |
| 4 его | ши ичи га ши | Ши ни га хачи | Ши Сан Джуни | ши ши дзюроку | Ши Го Нидзю | Ши року Нидзюси | ши шичи нюхати | хе ха санджуни | он ты сандзюроку |
| 5 идти | иди, ичи га, иди | иди в Джу | иди Сан Джуго | иди Ши Нидзю | иди, иди, Нидзюго | в этом году Санджу | го шичи сандзюго | го-ха шию | гокку Сидзюго |
| 6- й курс | року ичи га року | року ни джуни | Року Сан Джухати | Року Ши Нидзюси | год вперед, сандзю | год сандзюроку | року шичи сидзюни | Року Ха Сидзюхати | Рокку Годзюси |
| 7 шичи | шичи ичи га шичи | шичи ни дзюши | Сити Сан Нидзюичи | шичи ши нюхати | шичи го сандзюго | шичи року сидзюни | шичи шичи сидзюку | шичи ха годзюроку | шичи ку рокудзюсан |
| 8 хати | хачи ичи га хачи | хати ни дзюроку | Хати Сан Нидзюси | Хати — это санджуни | хати го шию | хати року шиюхати | Хати Шичи Годзюроку | хаппа рокудзюси | Хакку Шичидзюни |
| от 9 до | пожалуйста | умер в Джухати | ку сан нидзюшичи | ты мой сандзюроку | ку го Сидзюго | где Року Годзюси | ку шичи рокудзюсан | ку ха шичидзюни | ку ку хатидзюичи |
Бамбуковые пластинки для десятичных чисел воюющих государств
[ редактировать ]Связка из 21 бамбуковой пластинки, датированная 305 годом до нашей эры в период Воюющих царств , в коллекции бамбуковых пластинок Цинхуа (清華簡) является самым ранним известным в мире примером десятичной таблицы умножения. [9]
Реформа математики, основанная на стандартах, в США
[ редактировать ]В 1989 году Национальный совет учителей математики (NCTM) разработал новые стандарты, основанные на убеждении, что все учащиеся должны овладевать навыками мышления более высокого порядка, которые рекомендовали уменьшить акцент на преподавании традиционных методов, основанных на механическом запоминании, таких как как таблица умножения. В широко принятых текстах, таких как «Исследования в числах, данных и пространстве» (широко известных как TERC по имени их создателя, Исследовательских центров технического образования), в ранних изданиях не использовались такие вспомогательные средства, как таблицы умножения. NCTM ясно дал понять в своих координаторах 2006 года , что основные математические факты необходимо изучать, хотя нет единого мнения о том, является ли механическое запоминание лучшим методом. В последние годы был разработан ряд нетрадиционных методов, помогающих детям изучать факты умножения, в том числе приложения и книги в стиле видеоигр, целью которых является обучение таблице умножения с помощью историй, основанных на персонажах.
См. также
[ редактировать ]- Ведическая площадь
- IBM 1620 , ранний компьютер, который использовал таблицы, хранящиеся в памяти, для выполнения сложения и умножения.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Триветт, Джон (1980), «Таблица умножения: нужно запомнить или освоить!», Для изучения математики , 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697 .
- ^ Jump up to: а б с Цю, Джейн (7 января 2014 г.). «Таблица древних времен, спрятанная в полосках китайского бамбука» . Новости природы . дои : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289 .
- ^ Wikisource: Страница: Ежемесячный том 26 Popular Science.djvu/4
- ^ например, в «Элементарном трактате по арифметике» Джона Фаррара.
- ^ Дэвид Э. Смит (1958), История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики . Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 года), ISBN 0-486-20429-4 , стр. 58, 129.
- ^ Дэвид В. Махер и Джон Ф. Маковски. «Литературные свидетельства римской арифметики с дробями». Классическая филология , 96/4 (октябрь 2001 г.), с. 383.
- ^ Лесли, Джон (1820). Философия арифметики; Демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику вычислений с таблицами умножения чисел до тысячи . Эдинбург: Абернети и Уокер.
- ^ «Таблица умножения была завезена в Китай… Деревянная табличка была раскопана в руинах дворца Хэйдзё» 4 декабря 2010 г. Архивировано из оригинала 7 декабря 2010 г.
- ^ о природе Статья Матрица, которой 2300 лет, является старейшей в мире десятичной таблицей умножения.
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
