Гипотеза парной корреляции Монтгомери

Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году.

В математике гипотеза парной корреляции Монтгомери — это гипотеза , высказанная Хью Монтгомери ( 1973 ), о том, что парная корреляция между парами нулей дзета- функции Римана (нормализованной так, чтобы иметь средний единичный интервал) равна

$1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},$

которая, как указал ему Фримен Дайсон , совпадает с парной корреляционной функцией случайных эрмитовых матриц .

Гипотеза

В предположении, что гипотеза Римана верна.

Позволять $\alpha \leq \beta$ быть зафиксировано, то гипотеза утверждает

$\lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ and }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u$

и где каждый $\gamma ,\gamma '$ — мнимая часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана , то есть ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma$.

Объяснение

Неформально это означает, что вероятность найти ноль в очень коротком интервале длиной 2π L /log( T ) на расстоянии 2π u /log( T ) от нуля 1/2+ iT примерно в L раз превышает выражение выше . (Коэффициент 2π/log( T ) является коэффициентом нормализации, который неформально можно рассматривать как среднее расстояние между нулями с мнимой частью относительно T .) Эндрю Одлызко ( 1987 ) показал, что гипотеза была подтверждена крупномасштабными компьютерными расчетами нули. Гипотеза была распространена на корреляции с более чем двумя нулями, а также на дзета-функции автоморфных представлений ( Рудник и Сарнак 1996 ). В 1982 году ученик Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле. А.Е. Озлюк ( 1982 )

Связь со случайными унитарными матрицами могла бы привести к доказательству гипотезы Римана (РГ). Гипотеза Гильберта – Полиа утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям , линейного оператора и подразумевает RH. Некоторые считают, что это многообещающий подход ( Эндрю Одлизко ( 1987 )).

Монтгомери изучал преобразование Фурье F ( x ) парной корреляционной функции и показал (при условии гипотезы Римана), что эторавен | х | для | х | < 1. Его методы не смогли определить это за | х | оно равно 1 ≥ 1, но он предположил, что для этих x , а это означает, что парная корреляционная функция такая же, как указано выше. Он также руководствовался идеей о том, что гипотеза Римана — это не кирпичная стена, и можно смело делать более сильные предположения.

Гипотеза F(α) или гипотеза сильной парной корреляции

Пусть еще раз ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma$ и ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma '$ обозначают нетривиальные нули дзета-функции Римана. Монтгомери ввел функцию

$F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')$

для $T>2,\;\alpha \in \mathbb {R}$ и некоторая весовая функция $w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}$.

Монтгомери и Голдстон согласно гипотезе Римана было доказано, что для $|\alpha |\leq 1$ эта функция сходится равномерно

$F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .$

Гипотеза Монтгомери, известная сейчас как гипотеза F(α) или гипотеза сильной парной корреляции , гласит, что для $|\alpha |>1$ у нас есть равномерная сходимость

$F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty$

для $\alpha$ в ограниченном интервале.

Численный расчет Одлизко

Действительная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа GUE. Синие точки описывают нормированные расстояния между нетривиальными нулями дзета-функции Римана, первые 10 ⁵ нули.

В 1980-х годах, движимый гипотезой Монтгомери, Одлизко начал интенсивное численное исследование статистики нулей ζ( s ). Он подтвердил распределение расстояний между нетривиальными нулями с помощью подробных численных расчетов и продемонстрировал, что гипотеза Монтгомери будет верной и что это распределение будет согласовываться с распределением расстояний между собственными значениями случайной матрицы GUE с использованием Cray X-MP . В 1987 году он сообщил о своих расчетах в статье Андрея Одлыжко ( 1987 ).

Для нетривиального нуля, 1/2 + iγ _n , пусть нормированные интервалы равны

$\delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.$

Тогда мы ожидаем, что следующая формула будет пределом для $M,N\to \infty$:

${\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du$

На основе нового алгоритма, разработанного Одлызко и Арнольдом Шенхаге , который позволил им вычислить значение ζ(1/2 + i t ) в среднем за время t ^е шагов Одлыцко вычислил миллионы нулей на высотах около 10 ²⁰ и дал некоторые доказательства гипотезы GUE.

На рисунке представлены первые 10 ⁵ нетривиальные нули дзета-функции Римана. Чем больше нулей отбирается, тем больше их распределение приближается к форме случайной матрицы GUE.

См. также

• Пара Лемера

Ссылки

• Озлюк А.Е. (1982), Парная корреляция нулей L-функций Дирихле , Кандидатская диссертация, Анн-Арбор: Univ. Мичиган, MR   2632180
• Кац, Николас М .; Сарнак, Питер (1999), «Нули дзета-функций и симметрия», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 36 (1): 1–26, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1 , ISSN   0002-9904 , МР   1640151
• Монтгомери, Хью Л. (1973), «Парная корреляция нулей дзета-функции», Аналитическая теория чисел , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXIV, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 181–193, MR   0337821.
• Одлыжко А.М. (1987), «О распределении расстояний между нулями дзета-функции», Mathematics of Computation , 48 (177): 273–308, doi : 10.2307/2007890 , ISSN   0025-5718 , JSTOR   2007890 , MR   0866115
• Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1996), «Нули главных L-функций и теория случайных матриц», Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi : 10.1215/S0012-7094-96-08115-6 , ISSN   0012- 7094 , МР   1395406