Принцип Гарнака

В математической области уравнений в частных производных принцип Гарнака или теорема Гарнака является следствием неравенства Гарнака , которое касается сходимости последовательностей гармонических функций .

Дана последовательность гармонических функций $u 1, u 2, ...$ на открытом связном подмножестве $G$ евклидова пространства $R н$ , которые поточечно монотонно неубывают в том смысле, что

u_{1}(x)\leq u_{2}(x)\leq \dots

для каждой точки $x$ группы $G$ то предел

\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)

автоматически существует в расширенной строке действительных чисел для каждого $x$ . Теорема Гарнака утверждает, что предел либо бесконечен в каждой точке $G$ либо конечен в каждой точке $G.$ , В последнем случае сходимость равномерна на компактах и предел является гармонической функцией на $G$ . ^{[ 1 ]}

Теорема является следствием неравенства Гарнака. Если $u n (y)$ является последовательностью Коши для любого конкретного значения $y$ , то неравенство Харнака, примененное к гармонической функции $um un -, означает$ , что для произвольного компакта $D,$ содержащего $y$ , $sup D | ты м - ты п |$ сколь угодно мало для достаточно больших $m$ и $n$ . Это и есть определение равномерной сходимости на компактах. Другими словами, неравенство Харнака — это инструмент, который напрямую переносит свойство Коши последовательности гармонических функций в одной точке на свойство Коши во всех точках.

После установления равномерной сходимости на компактных множествах гармоничность предела является непосредственным следствием того факта, что свойство среднего значения (автоматически сохраняется благодаря равномерной сходимости) полностью характеризует гармонические функции среди непрерывных функций. ^{[ 2 ]}

Доказательство равномерной сходимости на компактных множествах одинаково хорошо выполняется для любого линейного эллиптического уравнения в частных производных второго порядка условии , что оно линейно, так что $- um un решает при$ то же уравнение. Единственное отличие состоит в том, что необходимо использовать более общее неравенство Харнака, справедливое для решений эллиптического УЧП второго порядка, а не только для гармонических функций. После установления равномерной сходимости на компактных множествах свойство среднего значения недоступно в этой более общей ситуации, и поэтому для доказательства сходимости к новому решению вместо этого необходимо использовать другие инструменты, такие как оценки Шаудера .

Ссылки

^ Курант и Гильберт 1962 , стр. 273–274; Гилбарг и Трудингер, 2001 , Теорема 2.9; Проттер и Вайнбергер, 1984 , раздел 2.10.
^ Гилбарг и Трудингер 2001 , Теоремы 2.7 и 2.8.

Источники

Курант, Р .; Гильберт, Д. (1962). Методы математической физики. Том II: Уравнения в частных производных . Нью-Йорк – Лондон: Издательство Interscience . дои : 10.1002/9783527617234 . ISBN 9780471504399 . МР 0140802 . Збл 0099.29504 .
Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Классика математики (переиздание изд. 1998 г.). Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-61798-0 . ISBN 3-540-41160-7 . МР 1814364 . Збл 1042.35002 .
Проттер, Мюррей Х .; Вайнбергер, Ганс Ф. (1984). Принципы максимума в дифференциальных уравнениях (исправленное переиздание оригинального издания 1967 года). Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4612-5282-5 . ISBN 0-387-96068-6 . МР 0762825 . Збл 0549.35002 .

Внешние ссылки

Камынин, Л.И. (2001) [1994], «Теорема Гарнака» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[FOOTNOTECourantHilbert1962273–274GilbargTrudinger2001Theorem_2.9ProtterWeinberger1984Section_2.10-1] Курант и Гильберт 1962 , стр. 273–274; Гилбарг и Трудингер, 2001 , Теорема 2.9; Проттер и Вайнбергер, 1984 , раздел 2.10.

[FOOTNOTEGilbargTrudinger2001Theorems_2.7_and_2.8-2] Гилбарг и Трудингер 2001 , Теоремы 2.7 и 2.8.

[ 1 ]

[ 2 ]