Гипотеза Абхьянкара
В абстрактной алгебре гипотеза Абхьянкара — это гипотеза Шрирама Абхьянкара , выдвинутая в 1957 году о Галуа полей алгебраических функций характеристики p группах . [ 1 ] Разрешимый случай был раскрыт Серром в 1990 году. [ 2 ] и полная гипотеза была доказана в 1994 году работой Мишеля Рейно и Дэвида Харбатера . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]
Заявление
[ редактировать ]В задаче участвуют конечная группа G , простое число p и функциональное поле K(C) неособой целочисленной алгебраической кривой C, определенной над алгебраически замкнутым полем K характеристики p .
Вопрос касается существования расширения Галуа L группы K ( C ) с G как группой Галуа и с указанным ветвлением . С геометрической точки зрения L соответствует другой кривой C ′ вместе с морфизм
- π : C ′ → C .
Геометрически утверждение о разветвленности π на конечном множестве S точек на C означает, что π, ограниченное дополнением к S в C, является этальным морфизмом . Это аналогично случаю римановых поверхностей . В гипотезе Абхьянкара S фиксирована, и вопрос в том, чем G. может быть Следовательно, это особый тип обратной задачи Галуа .
Результаты
[ редактировать ]Подгруппа p ( G ) определяется как подгруппа, порожденная всеми силовскими подгруппами группы G для простого числа p . Это нормальная подгруппа , а параметр n определяется как минимальное количество образующих
- Г / п ( Г ).
Рейно доказал случай, когда C — проективная прямая над K. Гипотеза утверждает, что G может быть реализована как группа Галуа группы L , неразветвленная вне S и содержащая s + 1 точку, тогда и только тогда, когда
- п ≤ с .
Общий случай был доказан Харбатером, в котором g является родом C когда и G может быть реализован тогда и только тогда,
- п ≤ s 2 г. +
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Абхьянкар, Шрирам (1957), «Покрытия алгебраических кривых», Американский журнал математики , 79 (4): 825–856, doi : 10.2307/2372438 .
- ^ Серр, Жан-Пьер (1990), «Построение плоских покрытий аффинной прямой в характеристике p», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (на французском языке), 311 (6): 341–346, Zbl 0726.14021
- ^ Рейно, Мишель (1994), «Revêtements de la droite affine en caractéristique p > 0», Inventiones Mathematicae , 116 (1): 425–462, Бибкод : 1994InMat.116..425R , doi : 10.1007/BF01231568 , Zbl 0798.14013 .
- ^ Харбатер, Дэвид (1994), «Гипотеза Абхьянкара о группах Галуа над кривыми», Inventiones Mathematicae , 117 (1): 1–25, Bibcode : 1994InMat.117....1H , doi : 10.1007/BF01232232 , Zbl 0805.14014 .
- ^ Фрид, Майкл Д.; Жарден, Моше (2008), Полевая арифметика , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 11 (3-е изд.), Springer-Verlag , с. 70, ISBN 978-3-540-77269-9 , Збл 1145.12001